В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Формула 00 Пенчил 4. Сооертенный гог с постолнными теплоемностлми Формула (4.11) показывает, что ср имеет смысл количества теплоты, которое нужно подвести к совершенному газу, чтобы нагреть его на 1 градус при постоянном давлении. Рассмотрим уравнение состояния совершенного газа в исходных переменных р, е, з.
Для этого формулы (4.4), (4.5) и (4.6) запишем так е = е(Т) = с,Т = с,— не с1Х (4.12) и проинтегрируем данное дифференциальное уравнение: е1е е — сг с1Х (4.13) Интеграл уравнения (4.13) имеет вид (4.14) Х = с 1п е + С = з + с1!и р. Параметры в некотором состоянии снабдим индексом нуль. Тогда имеем (константа С определяется по параметрам с индексом 0) з — го+ Й1п — = с, 1п —. е (4.15) Ро ео Полагая ео = с,То и разрешая (4.15) относительно е, получим е = с,То — ехр, 7 = — о. (4.16) е(Х) с,Т Т р Ро с То с 7о То ро р Имеем — — — = ехр, — = — ехр (4.17) Если теперь рассмотрим так называемые изэнтропические движения газа, т.е.
такие движения, для которых энтропия Легко проверить, что задание одной только функции (4.16) полностью определяет модель совер1иенного газа с постоянными теплоемкостлми. Выразим теперь с помощью (4.16) энтропию через плотность и давление, выполнив следующую замену: З1 Совершенный гвз с постолнпыми теплоемпостлми в каждой индивидуальной частице остается постоянной, то из второй формулы (4.17) сразу получим (4.18) Величины ро, ро характеризуют некоторое прошлое состояние данной частицы, т. е. также постоянны для нее. Тогда (4.18) запишется так р = Срз.
(4.19) Из уравнения притока тепла для идеального газа легко получить, что свойство (4.19) для непрерывных движений соответствует адиабатическому движению, когда Жис1 = О, т. е. немеханический приток тепла в жидкую частицу отсутствует. Лекция 5 СОВЕРШЕННЫЙ ДВУХАТОМНЫЙ ГАЗ С РЕЛАКСАЦИЕЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ Закон равнораспределения энергии. Квантовый гармонический осциллятор, формула для колебательной энергии в равновесии. Две независимые локально равновесные подсистемы; поступательно-вращательная и колебательная.
Колебательная температура; уравнение для производства энтропии; скорость колебательной релаксации. 1!олная система уравнений движения невязкого однородного двухатомного газа с колебательной релаксацией. Закон равнораспределения энергии (газ с постоянными теплоемкостями) Обратимся к некоторым простейшим сведениям по кинетической теории газов, чтобы ввести несколько более сложную модель реального воздуха.
Как уже отмсчалосгь модель идеального газа допускает произвольную зависимость внутренней энергии от температуры. Рассмотрим покоящийся идеальный газ, находящийся в равновесном состоянии. Нусть каждая молекула газа состоит из п атомов.
Такая молекула имеет всего Зп степеней свободы, из них 3 поступательных, 3 вращательных (для линейных молекул 2) и 3п — 6 колебательных (для линейных молекул 3п — 5). Точные методы классической статистики приводят к известному закону равнораспределения, согласно которому на каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится величина внутренней энергии кТ/2, а на каждую колебательную кГ. Внутренняя энергия газа на единицу массы получается как сумма вкладов всех степеней свободы молекул, умноженная на число молекул в единице массы газа, равное М/ги, где Ж число Авогадро, т .
молекулярный вес. Так получаем модель совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Закон равнораспределения ограничен областью применимости классического приближения. Это условие для вращательных Коаносооый гармонический осиилллтор и колебательных степеней свободы выглядит так: зз Из этой таблицы видно, что для воздуха в нормальных условиях нельзя применять классическую формулу для колебательных степеней свободы. Квантовый гармонический осциллятор, формула для колебательной энергии в равновесии Уже упоминалось о том, что подходящей моделью молекулы компонент воздуха является абсолютно твердая гантель.
При температурах выше нормальной в окрестности Т* подходящей моделью молекул компонент воздуха является квантовый гармонический осциллятор (КГО). Задача о КГО одна из немногих задач для уравнения П!редингера, имеющих точное решение [101. Опуская выкладки, приведем полученное из этого решения выражение для колебательной энергии единицы массы газа, находящегося в равновесии: 0 = —. Т е = ЯТ, В со — 1 (5.2) Из (5.2) видно, что при малых Т, т.е. при О» 1, е, - Ве ~гсТ. (5.3) Энергия е стремится к нулю очень быстро (как экспонента), и модель КГО переходит в модель жесткой гантели. При больших Т, т.е. при 0 « 1, имеем (5.4) е, — ЯТ. Колебательная энергия стремится к величине, соответствующей закону равнораспределения.
Итак, воздух с равновесным воз- буждением колебательных степеней свободы молекул дает при- мер совершенного газа с переменными тсплоемкостями. 3 В.П. Стулов 52 )и 1 врали = ~ -с ии 1 «олеб. = Т = ~ 15.1) 21/с ' й ' где 1 — момент инерции молекулы, ы собственная частота колебаний, 6 — гюстоянная Планка, и -- постоянная Больцмана. Для типичных газов имеем 34 Лекция д.
Сооершеикмй доухатомкый гаг с релаксацией Выпишем формулу для полной внучренней энергии единицы массы двухатомного газа: е = ее+ е„+ е, = — КТ+ РеТ+ е, = — РеТ+ е,(Т). (5.5) 3 5 2 2 Как мы уже говорили при изучении уравнений сохранения, можно выписать уравнение баланса для частного вида энергии. Разумеется, в условиях полного равновесия необходимость в уравнении баланса не возникает, так как количество энергии любого вида определяется локальными термодинамическими переменными как, например, в уравнении (5.5). Две подсистемы: поступательно-вращательная и колебательная При движении газа могут встретиться такие условия, когда возникают неравповесные распределения полной энергии газа между частными видами энергии. Это может произойти из-за замедлешюй скорости передачи энергии от одного частного вида к другому.
П р и м е р 1. Пусть некоторый объем двухатомного газа внезапно нагрет, например, путем резкого сжатия в ударной волне. Каковы пути повышения его внутренней энергии? Вначале резко увеличится энергия поступательных и вращательных степеней свободы молекул газа и, следовательно, его температура. После этого путем столкновений энергия поступательных степеней свободы будет постепенно передаваться в колебательное возбуждение; величина е, будет стремиться к значению (5.2). Опыты показывают, что на передачу энергии от поступательных степеней свободы к колебательным в количестве (5.2) требуется значительное число соударений (до 100000 в зависимости от условий и типа газа).
Данный процесс при движении газа и следует описывать балансовым уравнением, выведенным ранее. Пример 2. В баллоне, снабженном каналом для истечения газа с заслонкой, газ покоится и нагрет до высокой температуры. После открытия заслонки происходит истечение газа, при этом его внутренняя энергия переходит в кинетическую энергию направленного движения. Прежде всего уменьшается поступательная энергия хаотического движения молекул из-за роста средней скорости, т.е. скорости направленного движения.
Вращательная энергия также быстро уменьшается из-за высокой эффективности перехода вращательной энергии в поступательную в столкновениях. В то же время эффективность дезактивации колебательных степеней свободы в столкновениях невелика. Из- Калебатальвая температура за этого в определенной части канала образуется избыток колебательной энергии по сравненик> с ее равновесным значением в уже сильно охлажденном газе (см.
формулу (5.3)). На этом опытном факте основано действие газодинамического лазера. Рассмотрим термодинамику, т. е. уравнение состояние двух- атомного газа, находящегося в процессе неравновесного возбуждения (либо дезактивации) его колебательных степеней свободы. Здесь мы пойдем по тому же пути, что и в общем случае. Будем считать, что, несмотря на наличие неравновесных состояний в системе в целом вследствие наличия необратимых процессов перехода поступательной энергии в колсбатсльную, газ в определешюм смысле подчиняется закономерностям равновесной термодинамики. Будем рассматривать газ как две подсистемы, обменивающиеся энергией: первая подсистема представляет собой совокупность поступательной и вращательной степеней свободы всех молекул газа; вторая подсистема совокупность колебательной степени свободы всех молекул. Подсистемы обмениваются энергией.
Будем считать, что, хотя обмен энергией носит нсравновесный характер, каждая из подсистем на любом этапе процесса подчиняется закономерностям равновесной термодинамики. Здесь очевидна аналогия с общим подходом. Описание уравнения состояния первой подсистемы дано в предыдущем пункте: это есть совершенный однородный газ с постоянными теплосмкостями. Здесь существует аналогия с неравновссным обменом между различными элементами газового континуума, каждый из которых в то же время остается термодинамически равновесной системой.
Колебательная температура Рассмотрим термодинамику второй подсистемы. Возможность такого подхода ко второй подсистеме основывается на том опытном факте, что если передача энергии от первой подсистемы ко второй подсистеме замедленна, то распределение уже поступившей энергии во второй подсистеме происходит очень быстро. Это позволяет вернуться к модели квантового гармонического осциллятора, полная колебательная энергия которого теперь уже определяется нс общей температурой газа (как в полном равновесии), а колебательной энергией, даваемой как решение уравнения баланса частного вида энергии. Иначе говоря, можно ввести так называемую колебательную температуру 36 Леицил о. Соверигеииый двухатомнып гаг с релаксацией второй подсистемы и записать 7" в,= —. Т, еи=е (7;)= в ' Л7'„ е' — 1 (5.6) 15.7) Т с1в, = с1е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
