В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Рассматриваются одномерные стационарные и нестационарные течения, двумерные стационарные течения и задачи внешней аэродинамики, включая аэродинамические задачи космических спускаемых аппаратов. Практически во всех разделах анализируются проблемы релаксационной газовой динамики и демонстрируются физические эффекты, полученные в этом анализе. Курс лекций существенно обновлен по сравнению с классическими курсами лекций по газовой динамике.
В связи с развитием ракетно-космической техники и космическими экспериментами во второй половине прошлого века существенно расширен раздел по аэродинамике затупленных и плохо обтекаемых тел. Моделирование газовой среды строится исходя из общефизических представлений о структуре газа. Поэтому классическая модель совершенного газа с постоянным отношением теплоемкостей представлена в курсе как частный случай общего подхода.
В курсе широко представлены достижения релаксационной газовой динамики, совершенно необходимые при расчете и проектировании современных аэродинамических аппаратов и устройств. Эти результаты широко используя>тся также в смежных разделах науки; в теории газодинамических лазеров, метсоритике, некоторых разделах астрофизики. Данный курс лекций читается автором в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова с 1977 г. В новых разделах курса использованы собственные результаты автора. Это относится к сверхзвуковой аэродинамике затупленных тел и задачам релаксационпой газовой динамики: одномерной теории сопла, распространению возмущений в стационарных сверхзвуковых потоках.
Лекция 1 ВВЕДЕНИЕ Свойство сжимаемости сплошной среды. Роль скорости звука. Нелинейные волны. Приложения газовой динамики: тсплообмен на спускаемом аппарате, орбитальный самолет многоразового действия; теория газовых машин, сопло реактивного двигателя; газодинамические лазеры; космическая газодииамика, звезды и межзвездная среда, физика метеоров. Физические особенности среды Сжимаемость Рассмотрим стационарное движение сплошной среды. Уравнение импульсов в проекции на касательную к линии тока можно записать в следующем виде: сЬ 1 с1р о — + — — = О. ак р ал (1.1) Здесь о — модуль скорости газа, р — — плотность, р давление, л — координата вдоль линии тока. При некоторых частных законах связи между тсрмодинамическими переменными, описывающими газ, можно найти первый интеграл уравнения (1.1), который имеет вид зависимости между переменными е, р, р, выполняющейся в любой точке стационарного потока.
Рассмотрим два частных случая; 1) несжимаемая жидкость, р = сопв1; 2) сжимаемый газ, адиабатическое течение, р = С(1 ) рт (последняя зависимость ниже будет выведена из общих законов газовой динамики и термодинамики). Найдем первые интегралы уравнения (1.1) в этих случаях и сравним их между собой.
Газовая динамика изучает движение сплошной среды с учетом сжимаемости. В гидродинамике этим свойством сплошной среды пренебрегают. Учет сжимаемости приводит к целому ряду качественно новых явлений, первое место среди которых занимают ударные волны. Ленцов В Введение 1) Для несжимаемой жидкости — ~ — +-) =О, р+ =ро(1). еЬ 2 Р 2 (1.2) Здесь ро — давление в той точке линии тока, где и = О. 2) Для сжимаемого газа — — + — — =О, — — + — р (1.3) =О оо Р ое 7 Р 7 Ро — — + — =О, — + еЬ\ 2 у — 1р! ' 2 'у — 1р 'у — 1Ро Индексом нуль отмечены параметры в точке торможения.
Так как ро/Роу — — Р,УР7, то из последнего уравнения (1.3) получим ,2 (з-п)уз +1= —— 7Р!Р Р Ро У,Р/ Отсюда 7У7 — У Ро У 7 — ! ио ™ = ~1+ Р ~ 2 7Р/Р (1.4) Ро ° ' 7 ( 7 11(7 — 1) 2Р 7 — 1 17 — 1 1 2 4 (7Р)Р)' = 1+ 1+ + .. (1 5) Формулу для несжимаемой жидкости можно записать так; 2 — = 1+ —. (1.6) Р 2Р/Р 2 Видно, что при « 1 формулы (1.5) и (1.6) совпадают.
7ру'Р Здесь 7 .. отношение удельных теплоемкостей газа. Представим последнюю формулу в виде, близком к случаю 1). Для этого правую часть разложим в ряд Тейлора при малых значениях о~((7р(р). Имеем Нелинейные. волны Пример. Воздух, 7 = 1.405, Т = 273 К. Величины ро/р для двух случаев будут различаться менее чем на 1% при о < < 66.4 м/с. При больших скоростях (для данного примера) свойство сжимаемости среды существенно влияет на параметры течения.
Роль скорости звука В дальнейшем мы узнаем, что величина ур/р в совершенном газе равна квадрату скорости звука: 2 7Р а Р (1.7) где а скорость распространения малых возмущений (звука) в покоящемся газе с параметрами состояния р и р. В потоке газа величина а -- скорость распространения возмущений относительно движущегося газа. Из формулы (1.5) (или из (1.4)) видно, что влияние сжимаемости существенно, когда скорость газа становится одного порядка со скоростью звука, вычисленной по локальным параметрам состояния. Их отношение о/а = = М называют числом Маха.
В газовой динамике различают три типа течений: 1) дозвуковые (и < а всюду в потоке; М < 1); 2) трансзвуковые (о — а всюду в потоке; М вЂ” 1); 3) сверхзвуковыо (о > а всюду в потоке; М > 1). Как мы увидим ниже, все три типа течений описываются одними и теми же системами уравнений, однако математические свойства этих уравнений существенным образом зависят от типа течения. Соответственно этому и методы исследования существенно различаются. Нелинейные волны Как уже отмечалось, в сжимаемом газе малые возмущения произвольного профиля распространяются со скоростью звука.
То обстоятельство, что скорость газа во всей области течения (или в ее части) превышает скорость звука (т.е. скорость малого возмущения), приводит к появлению качественно нового явления ударных волн, па которых состояние и движение газа могут резко изменяться на величины, сравнимые с самими значениями параметров. Лекция В Введение 10 Изучение свойств ударных волн, их влияния на параметры течения газа представляет собой одну из главных тем газовой динамики. На простом примере рассмотрим распространение малых возмущений в течении газа и с его помощью постараемся понять закономерность образования ударных волн.
Пусть имеем однородный поток со скоростью у. В какомто месте потока происходит малое возмущение, распространяющееся по газу со скоростью а (во все стороны). Рассмотрим характер распространения возмущения в неподвижной системе координат с центром в точке О. Очевидно, скорость возмущения запишется вектором у + ап, где п — произвольный единичный вектор. Абсолютная скорость возмущения у + ап зависит от направления и и от соотношения между и и а. Гели и < а, то, как видно из левой части рис. 1.1, малое возмущение будет рас- М<1 М>1 Рвс.
1.1. Распространение слабых возмущений в однородном потоке газа пространяться во все стороны от исходной точки О; например, вправо со скоростью и + а 1> О), а влево скоростью е — а (< О). Иное дело при г > а. Тогда влево (от точки О) возмущение распространиться не может. Геометрическое место возмущения в каждый момент времени 1 представляет собой сферу радиуса а1 с центром на расстоянии и1 правее точки О. Легко видеть, что огибающей таких сфер является конус с углом полураствора вшсе = а/с, се = агсвш11,1М). Этот конус называется конусом Маха. Аналогичная, но более сложная картина течения возникает при болыпом (не малом) возмущении потока. Пусть, например, поток обтекает тело конечных размсров, например сферу. Если поток дозвуковой, то нарушение однородности течения (возмущение от сферы) распространится во все стороны.
Если Применен н а аэродинамике Применения в аэродинамике В связи с подготовкой и осуществлением космических полетов возникла необходимость возвращения аппаратов с орбиты на поверхность Земли. Это привело к развитию аэродинамики очень больших скоростей, включая орбитальные скорости. Здесь основной задачей является достижение минимального аэродинамического нагрева в некотором заданном диапазоне траекторий возвращения, а также уменьшение перегрузок в пилотируемых спускаемых аппаратах. Попробуем определить из простых соображений, какие классы тел отвечают минимальному нагреву. Пусть тело массы т входит в атмосферу планеты со скоростью Г,. Уравнение движения имеет вид е1И, 1 т — =Е = — с — рЪ Ю *2 (1.8) Я вЂ” — площадь миделева сечения.
Здесь сила тяжести не учитывается, так как начальная скорость очень велика. Уравнение притока тепла имеет вид з — = сь — РГ 9. еИ 2 (1.9) Из теории пограничного слоя известно, что коэффициент теплообмена сь пропорционален коэффициенту трения с,б который определяется через силу трения: Г 1= с,1 (1/2)рй'~Я. Имеем с, = с р + с б гДе с,р — коэффиЦиент волнового сопРотивления.
Положим для определенности сь = (1/2)с ь Исключая сь же поток сверхзвуковой, то вперед возмущения не проникают, а скапливаются у передней части сферы и сносятся в некоторую область вниз по потоку. В случае произвольного возмущения нельзя в простом виде представить процесс скапливания и сноса возмущений в силу его нелинейности. Этот процесс описывается точными уравнениями газовой динамики. Однако можно предположить, что скапливание возмущений приводит к появлению пакета волн, на котором параметры газа резко изменяются: до пакета имеется однородный поток, ничего «не знающий» о наличии препятствия, а после пакета поток уже подстроился для поворота около препятствия.
Данный пакет и представляет собой ударную волну. Детали такой картины обтекания мы выясним позже путем решения точной системы уравнений газовой динамики. Лево,ил Ь Введсние из уравнения (1.9), получим ИЯ 1 с,~ Н(ш~'/2) (1.10) аг 2 с, сй Считая отношение с ~/с постоянным вдоль траектории и интегрируя (1.10) от момента входа Яо = О, Ъ' = 'г',) до момента приземления (Ъ~ = О), получим 1 сы 1 2 2 с, 2 (1.11) Итак, в тепло переходит доля начальной кинетической энергии, равная половине отношения коэффициента трения к полному коэффициенту сопротивления. Для снижения аэродинамического нагрева необходимо уменьшить роль трения в полном сопротивлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
