В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Уравнение энергии Выделим снова неподвижный объем $с и рассмотрим для него баланс энергии. Поскольку энергия системы не может рождаться самопроизвольно, уравнение баланса полной энергии единицы массы Е имеет вид с1 ~ дрЕ с11 рЕ сЛ' = с1Ъ' = Лн с1сс. (2.15) д1 Обычное преобразование с использованием формулы Гаусса— Остроградского позволяет свести (2.15) к дивергентной форме д(рЕ) с11ч Д е ° д1 (2.16) Здесь Р -- тепзор напряжений, Р = р11 — о', где и .-- тензор вязких напряжений, р — — гидростатическое (термодинамическое) давление (т. е.
давление в состоянии покоя при тех же значениях прочих параметров). Тождественными преобразованиями уравнение (2.13) можно привести к дивергентной форме Ууевиение энергии Энергия единицы массы газа складывается из кинетической энергии и внутренней энергии: 2 Е= +е. 2 (2.17) д(рЕ) ., дЕ „„др д1 +с11ч(рчЕ) = р + рч. УЕ+ Š— + Ес1ч(ръ) = дс дс =р '+ч.чЕ =р — ' для любой скалярной величины Е. С использованием полной производной уравнение (2.18) можно записать так: с1Е р — = — 61ч (Р .
ч) — с11ч с1. (2.19) пс Умножая (2.13) скалярпо на ъ, получим уравнение живых сил р = — йч (Р . ч) + Р: —, д ~'/2, дч сй дг (2.20) Здесь Е = О. Вычитая (2.20) из (2.19), получим уравнение притока тепла /Н6 1 др1, дч р ~ — — ) = — с11чс1+и: '1, 11 р 11) дг ' (2.21) Здесь сс = е+ р/р -. энтальпия смеси. Использовано равенство рс1: дч~дг = р с11ч ч. Аналогично можно получить уравнения сохранения для частных видов энергии. Из физики известно, что внутренняя энергия газа может состоять из энергии поступательного движения молекул, энергии вращательного движения, энергии колебательного движения, энергии электронных уровней и т.д. Поток энергии складывается из конвективного переноса энергии рчЕ, работы поверхностных сил Р ч (скалярное произведение тензора Р на вектор ч) и потока тепла с1.
Здесь (Р ч)„= ~ Р дед — сс-компонента вектора (Р ч). Внешние Ф силовые поля не учитываются. Таким образом, уравнение (2.16) принимает вид др (е + ч2 ~2) = — д1ч(рчГ+ Р ч+ с1) . (2.18) дс Справедлива формула 20 Лекция 2. Мцогокомионеногная химически реагируиоигая газовая смесь В уравнениях сохранения частного вида энергии необходимо учесть источниковые члены, выражающие скорость перехода одного вида энергии в другой.
Например, при столкновениях молекул может происходить частичное неупругое преобразование энергии относительного поступательного движения в энергию молекулярных колебаний. Скорость преобразования энергии из одного вида в другой (т.е. количество энергии, преобразованной в среднем за единицу времени) зависит от физических (молекулярных) свойств рассматриваемого газа. Например, рассмотрим баланс колебательной энергии е„.
единицы массы г-й компоненты. Введем снова фиксированный об ьем К Имеем ~Ц,Ргс и) — р,е„, сй: =,' — '* сгг' = — Л„. до+ иг„дК (2.22) г г у Здесь Лог = Ргиге.„ + с~го согг -- скоРость обРазованиЯ колебательной энергии внутри объема, п,,г --неконвективпый (пемеханический) поток колебательной энергии. Проделывая обычные преобразования, получим р, --' †' + Л; ясаке„ + Жи и„ = иㄠ— е гиге.
(2.23) Ж Здесь Л;, иг; --- собственно диффузионный поток и скорость образования г-й компоненты. В однокомпонентном газе Л; = О, игг = 0 и колебательная энергия изменяется за счет переноса с1, и перехода иг, из других видов энергии. Понятие энтропии, уравнение производства энтропии Для систем, состоящих из огромного числа элементов, термодинамика позволяет ввести еще одну функцию состояния энтропию. При обратимых процессах в изолированных системах энтропия сохраняется, при необратимых возрастает. Обратимый процесс это процесс, в течение которого система проходит цепь равновесных состояний.
Для незамкнутой термодинамической системы прирост энтропии состоит из вклада, поступающего из окружающей среды, и вклада, возникающего в самой системе. Введем энтропию единицы массы смеси в. В качестве термодинамической системы рассмотрим частицу газа, не столь большую, чтобы ее можно было считать однородной и достаточно большую, чтобы она содержала много молекул газа. Тогда с энтропией можно обращаться так же, как с плотностью или внутренней энергией.
Понятие энтропии, урпонение проилоодетоо энтропии 21 Выбирая неподвижный объем Ъ; подсчитаем изменение со временем энтропии этого объема, учитывая перенос энтропии с газом через границу объема и «рождение» ее внутри объема ~ д(рэ) ей ) д1 — Рэ Ий' = еП' = — Л, е(а+ 1ое оеар'.
(2.24) Переходя к малому объему, для непрерывных движений получим д(р, ) д1 = — е(1чЛ, + оэ„оэ, > О. (2.25) Поток Л, состоит из конвективного переноса (рче) и других видов пеРеноса энтРопии: Ло = Рчэ + с1,. Разумеется, использование только фундаментальных законов физики нс позволило пам получить замкнутую систему уравнений движения сплогнной среды.
Для этой цели необходимо привлечение дополнительных гипотез. Уравнение (2.25) можно записать также через полную производную: (2.26) Лекция 3 УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ Гипотеза о локальном термодннамическом равновесии. Общая связь между энтропией, внутренней энергией, плотностью и концентрациями. Соотношение Гиббса, эквивалентное определению новых термодннамических переменных для движущейся частицы.
Обоснование принятой гипотезы: опытные данные, простейшие микроскопические модели. Уравнение производства энтропии. Поток и источник энтропии. Термодинамические силы и термодинамические потоки, линейная связь между ними. Гипотеза об уравнении состояния До сих пор использовались лишь законы сохранения, справедливые для сплошной среды как материального континуума.
Законы сохранения не дают достаточной информации для получения замкнутой системы уравнений. Для этой цели необходимо привлечь дополнительные данные, индивидуализирующие материальную среду. В качестве основного замыкающего условия принимается, что движущаяся жидкая частица (элемент континуума) ведет себя как термодинамическая система, т.е.
для нее справедливы выводы термодинамики, полученные для равновесных систем. Это предположение иногда называют гипотезой о локальном термаданамаческвм равновесии (ЛТР). Движущаяся жидкая частица считается системой, допускающей последовательное термодинамическое описание, т. е. использование фундаментальных законов термодинамики (применительно ко всей системе или ее макроскопичсским подсистемам) и правил аддитивности (а также, например, закона Дальтона). При таком обобщении рассмотрение жидкой частицы как термодинамической полностью равновесной системы является частным случаем. Итак, предполагается, что между параметрами, описывающими макроскопическое состояние жидкой частицы и се подсистем, сущсствует связь, справедливая для состояния полного термодинамического равновесия каждой подсистемы. Это означает, что все взаимодействия между подсистемами и с внешней средой протекают гораздо медленнее, чем процесс установления Выоод уроовенио сохраненья энтрооии полного равновесия в каждой подсистеме.
В случае многокомпо- нептной смеси газов с неравновесными химическими реакциями эта связь может быть представлена в виде о = о (е, р, о1,..., ао1 1) (3.1) М вЂ” 1 сЬ де о1(1/р) х- да1 о11 Ж Ж ~-~ ' Ю (3.2) Здесь д1 — химический потенциал г-й компоненты. Таким образом, мы привлекаем закономерности равновесной термодинамики к описанию заведомо неравновесных процессов. Это оправдано тем, что в рассматриваемых условиях континуума влияние неравновесности процессов невелико, так что оно может быть учтено посредством применения в формуле (3.2) выписанных ранее законов сохранения.
l[анная гипотеза может быть оправдана двумя способами: а) справедливостью выводов, получаемых с ее использованием; б) последовательным рассмотрением закономерностей неравновесной термодинамики на простейших микроскопических моделях. Соотношение (3.2) фактически выражает следующую мысль. Энтропия жидкой частицы хотя и изменяется вследствие необратимых процессов (вязкости, диффузии и прочего), но это изменение происходит не произвольным (собственным) путем, а через изменение характеристик среды е, р., о;, которые подчиняются законам сохранения. Вывод уравнения сохранения энтропии Определим структуру членов с1„ы, уравнения (2.26). Лринятая гипотеза позволяет выразить скорость производства энтропии через процессы и виды взаимодействия, учтенные при составлении уравнений сохранения. и называется уравнением состояния среды. Из предположения о совокупности термодинамически равновесных подсистем следует также, что не только переменные, входящие в (3.1), связаны соотношением для термодинамического равновесия, этому же правилу подчиняются и другие термодинамические переменные, определенные по (3.1) из термодинамического тождества Гиббса.
Считаем, что при движении среды для элемента континуума вдоль траектории центра масс справедливо соотношение Лекция о. Ураенеете состояния Итак, подставим уравнение притока тепла и уравнение сохранения 4-й компоненты в правую часть уравнения (3.2). Вначале эти уравнения представим так: (с16 1 с1р 1 (де с1(11р) 1 . дъ Р ~ — — — — ( = р ( — + р ) = — дйчЧ+и: —, (3.3) '1,41 р 11) (,а дс дг р ' = — ей1чЛ1+ сос. ~~Ос Ю (3.4) Подставим (3.3), (3.4) в (3.2), переходя одновременно в (3.4) от скорости образования компоненты а11 к скорости химической реакции соо: Х Де 1, 1 дч кк 1ее р — = — — ЙУЧ+ — и: —, + еэ — (бйчЛ1 а11) = си — Т Т д, 2- ° Т 1Ч е ейчс1 1 дч х-~ рс .
х Ае — + — и: — + ~ — ' с11чЛ1 — 7 — 1 со . (3.5) Т Т дг ~Т ' ~Т 1=1 3=1 Здесь А . — химическое сродство реакции с номером 1: Я Аз =,'е р11 111) таК КаК Ыс = Х ~Ее11 Ы., ГДЕ сес — СтЕХИОМЕтРИЧЕСКИЕ КОЭффИЦИ1=1 енты 1чй химической реакции. Соотношение (3.5) можно представить в виде, подобном уравнению (2.26), т. е, выделить дивергенцию и источник. Запишем равенства Ч стад Т о'ч — = — сс'ч Ч Ч ' Т Т Тг (3.7) бйч = с41УЛ, + Л; .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
