В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 5
Текст из файла (страница 5)
бган Подставляя (3.7) в (3.5), получим р —. = — с(1ч — с1 — р,исЛ; — с1 — — + — и: —— Ж (Т1 )~ Т~ Т дг 1=1 ес е — ~~> Л; . йгас1 — ' — ~е — ' со . (3.8) Т Т «Сали» и «потоки», их линейаал салль Теперь первое слагаемое правой части (3.8) обозначим через — «11ч с!„а следующие четыре слагаемых через а1, и сопоставим с уравнением (2.26). Итак, (3.9) ч а! ас! Т 1 дч х-«1«! со, = -с1.
+ — и: — — — р Лс.йгао— Та Т ' дг «- ' Т А! Т «=1 1 \ 1 = — — с! .агас1Т вЂ” -„-~ Л .йгас1Д + -„-,и Т ' Т ' ' Т дч 1х — — — са А дг Т 7=! (3.10) «Силы» и «потоки», их линейная связь шч = ~ 71Л«1 « (3.11) Формула (3.10) для скорости производства энтропии а!, имеет вид суммы произведений некоторых выражений двух типов. К первому типу относятся потоки тепла с! и диффузии Л;, тензор вязких напряжений и и скорости химических реакций со .. Назовем их термодииа ическими «потоками» (в обобщенном смысле). Члены второго типа ягас1 Т, ягас1 д;, дч/дг, А назовем термодинамическими «сил ми».
Последние имеют вид изменений термодинамических и динамических переменных. Естественно предположить, что эти изменения и порождают термодинамическую неравновесность, закл!очающуюся в появлении термодинамических «потоков» и, как следствие, в производстве энтропии жидкой (газообразной) частицы. Опыт показывает, что в диапазоне применимости модели материального континуума термодинамические потоки являются линейными функциями термодинамических сил. Это второе основное предположение связывает потоки, входящие в полученные ранее уравнения сохранения, с градиентами термодинамических переменных, которые были введены гипотезой об уравнении состояния.
Тем самым полная постановка задачи о движении сплошной среды оказывается замкнутой. Выражение для производства энтропии а!, в новых терминах можно записать так: 26 Лекция о. Уравнение еоетпоятю а линейные соотношения примут вид (3.12) где,7,, Хь -" декартовы компоненты потоков и сил соответственно, 1;ь -- коэффициенты переноса. Разумеется, область справедливости линейного представления (3.12) не является одинаковой для всех неравновесных процессов. Так, перенос тепла за счет теплопроводности практически всегда пропорционален градиенту температуры, в то время как скорость химической реакции пропорциональна величине химического сродства лишь в узкой части около равновесной области.
В остальной области применимости модели континуума скорость химической реакции является экспонентой от величины химического сродства. Если подставить (3.12) в (3.11), для производства энтропии получим квадратичную форму ы,= ~~ ГеьХеХь (3.13) по компонентам термодипамических сил. Так как ы, ) О, эта форма должна быть положительно определенной. Достаточным условием этого является требование, чтобы все главные миноры симметричной матрицы с элементами А;ь + 1ы были положительны (или неотрицательны). Это означает, что диагональные элементы положительны, а недиагональныс удовлетворяют условию 1пЬьь ) 0.25 (Л;ь + 1ы)2. Данное требование накладывает некоторые ограничения на коэффициенты переноса Ьею Лекция 4 СОВЕРШЕННЫЙ ГАЗ С ПОСТОЯННЫМИ ТКПЛОКМКОСТЯМИ Однородный невязкий нетеплопроводный газ.
Совершенный газ с постоянными теалоемкостями. Уравнение Клапейрона. Внутренняя энергия. Теплоемкости, формула Майера. Уравнение состояния, связывающее энтропию, внутреннюю энергию и плотность. Однородный невязкий газ Для получения замкнутой системы уравнений нужно определить все входящие в нее выражения.
Общие правила выбора этих выражений сформулированы в предыдущей лекции. Ниже будут рассмотрены некоторые простейшие модели газовой среды. На их примере будут показаны конкретные приемы применения общих правил. В данном курсе лекций основное внимание уделяется влиянию внутренней молекулярной структуры газа на его движение. Наиболее распространенной моделью среды в газовой динамике является однородный невязкий нетеплопроводный газ.
Изза больших скоростей движения газа вязкость и теплопроводность в основном потоке оказываются несущественными и их часто можно отбросить. Таким образом., тензор вязких напряжений и и вектор немеханического переноса тепла ц будем считать тождественно равными нулю. Диффузия в однородном газе также отсутствует.
Совершенный газ с постоянными теплоемкостями Простейшей моделью газовой среды является идеальный газ. В физике идеальным газом называют газ, взаимодействие между молекулами которого настолько слабо, что им можно пренебречь, т.
е. это есть газ свободно движущихся молекул. Реальный газ можно рассматривать как идеальный, если средняя потенциальная энергия взаимодействия молекул много меньше средней кинетической энергии молекул. Точные методы статистической 28 Левкин 4. Сооерженнмй гаг с ностионнннми тенлоемноснисми физики дают следующую формулу для состояния идеального газа (4.1) р=РйТ, Т«1э = с1е + р с! ( — ) . /1'! Р (4.2) Подставляя (4.1) в (4.2), получим Тдв = с1е + рйТс! 1 — ), с!е = Т д (в + й !и Р) .
(4.3) /1! Р В силу уравнения состояния общего вида е = е(е, р) величина с!е в (4.2) полный дифференциал. Тогда из (4.3) следует, что е является функцией только г = э + й !и р, т.е. функцией одной причем внутренняя энергия единицы массы зависит только от температуры и не зависит от плотности (удельного объема). Последний вывод является очевидным, так как уменьшение объема, занимаемого свободно движущимися молекулами, естественно, не должно сказаться на внутренней энергии газа, которая представляет собой сумму энергий молекул. Исторически уравнение (4.1) было получено на основе опытных данных, точнее, известных опытных законов Бойля- Мариотта (р1г = сонэ! при Т = сопв!) и Гей-Люссака (!гс = = $'о(1 + с«,Т) при р = сопэ1) французским ученым (инжснером) Клапейроном в 1834 г. Этот результат был получен без использования данных о молекулярной структуре газа.
Отметим здесь, что термин «идеальный газ» или «идсальная жидкость» часто применяется в механике сплошной среды для обозначения невязкой среды. Нужно сказать, что здесь нет никакой связи с использованным выше понятием идеального газа (один и тот же термин используют для обозначения двух разных понятий). Вернемся к уравнению состояния (4.1).
В (4.1) р —. давление, р плотность, Т температура, й газовая постоянная, й = йо/т, где йо абсолютная газовая постоянная, гп -- молекулярный вес газа. Если давление измерять в атмосферах, р в г/см~, Т в К, т в г/моль, то йо = 82.06 атм . сма/(К. моль). Например, для воздуха й = = 2.834 атм. смз/(К г).
Рассмотрим тождество Гиббса применительно к модели однородного совершенного газа (4.1). Имеем Сооеригенний гаг с ностпояюгими теплоеиностями переменной, а Т = с1еггс11~ также функция переменной т = е+ + Л 1п р. Таким образом, из (4.3) имеем е = е(т)+сопв$, Т = Т(т) = --~ . (4.4) де ~ дх( Исключая из (4.4) переменную 1с, получим е = е(Т) + сопэ1 . (4.5) Иначе говоря, внутренняя энергия совершенного газа является функцией только температуры. В частном случае эта функция линейная; (4.6) е = ~.,Т+ сопэ1. Рассмотрим энтальпию (далее примем сопэ1 = О): 6 = е+ — = с,Т+ ЙТ = (с, + Л) Т = срТ.
Р (4.7) (4.8) ср сг называется формулой Майера. Поясним физический смысл с, и ср на простом термодинамическом примере. Рассмотрим систему, состоящую из некоторого объема совершенного газа и применим к ней первый закон термодинамики. Получим де + рс1 — = с1д1'1; (4.9) здесь дс71'1 — внешний приток тепла к объему, а рс1(1/Р) работа внутренних сил над внешними телами (работа расширения).
Пусть подвод тепла происходит при постоянном объеме, т. е. 1/р = сопв1, так как масса постоянна. Тогда сге = с, с1Т = ДЧ('). (4.10) Иначе говоря, с, означает количество теплоты, которое нужно подвести к совершенному газу, чтобы нагреть его на 1 градус при постоянном объеме. Будем теперь нагревать газ при сохранении давления. Из (4.9) имеем де + с1 — = с1е + с1ре Т = с, ЙТ + Л ЫТ = ср ЙТ = е1е1 ' . (4.11) ,.Р, Величины с, и ср называются удельными теплоемкостями при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
