В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Имеем аг = Йа пзи — !сг. пги = Й, и — ив — и . (6.16) гс ца С помощью уравнений состояния определим теперь зависимость числа частиц и; от химического сродства. Из определения (6.6) и уравнений состояния идеального газа (4.7), (4.14) получим гггг = ггг 7 яг = срг7 7С; — с г7 !и сч Г+ К 7!п(тгиг) = = Лг7' !и пг + гггг(7 ), (6 17) причем грг(Т) содержит только молекулярные константы г;й компоненты (С;, сгм т;) и температуру. Общая формула связи химического сродства реакции с химическим потенциалом (формула (3.6)) для бинарной смеси (т1 = т, та = 2т) дает (6.18) А = 2т (рс1 — ргг). Выразим из (6.17) п; через се, и подставим в (6.16).
С учетом (6.18) получим аг = !с„пп1~ — ' ехр 2т ехр — ' 2т — 1 (6.19) аг = йсп п1~ — ехр 2т ' ~ ехр — — — 1 Из выражения (3.10) для ы, следует, что в состоянии полного равновесия должно быть А = О, так как иге в равновесии должно обращаться в нуль. Кроме того, в равновесном состоянии выра- Одеалыеа диееациируиггций гаа жение в квадратных скобках в (6.19) также равно нулю, посколь- ку скорости прямой и обратной реакций одинаковы. Отсюда —" ехр 2т " =1. (6.20) Отношение — = Ке(Т) = ехр ( — 2т г 11аТ (6.21) ш = депп, ехр — — — -- — 1 (6.22) Вблизи равновесия, т.
е. при А(йоТ « 1, выражение в квадратных скобках можно разложить в ряд и получить иг = — lе„(Т) пп~ (6.23) ЙаТ ' т.е. скорость реакции пропорциональна величине химического сродства, как это следует из общего подхода в термодинамике необратимых процессов, выраженного формулой (6.12). Концентрации и, в (6.23) вычисляются, естественно, в состоянии равновесия. Итак, химическая кинетика дает более общие выражения для скоростей химических реакций, чем принципы термодинамики необратимых процессов. Идеально диссоциируюпгий газ Для приближенного исследования движения диссоциирующего воздуха в литературе часто употребляется модель идеально диссоциирующего газа, предложенная Лайтхиллом [12].
Модель представляет собой некоторое упрощение формул, приведенных в данной лекции. Газ считается бинарной смесью атомов и молекул. Уравнение состояния (6.9) принимает вид Йа(1+ о), р=р-- — — — -Т, 2т (6.24) является функцией только температуры и называется константой равноеесил реакции. Поскольку левая часть (6.20) не зависит от концентраций, это соотношение можно считать справедливым и при неравновесном протекании реакций в рассматриваемой модели химически реагирующих идеальных газов.
Тогда формула (6.19) запишется так: Лскииа д. Химиисски рсагируюигаа смесь идеальных газов где о = р1/р концентрация атомарной компоненты, т атомный вес. Предполагается, что колебательная степень свободы молекулярной компоненты возбуждена наполовину своего предельного значения, т.е. е (Т) = — — Т. 1 ссо (6.25) 2 2т При этом формула для внутренней энергии смеси (6.10) принимает вид е = е1сг + ез(1 — сг) = ( — Т + 6 ) сг + /6 Ло о'1 (,2 т + (~ ~о Т+ о Т+ о Т) (1 „) (626) ~2 2гп 2т 2 2т 2рс / Та '~ Кс(Т) = — — ехр ( — — ); Т)' (6.28) здесь рд - - так называемая плотность диссоциап1ии. Для компо- нент воздуха рекомендуются следующие значения: Константа скорости рекомбинации в модели идеально диссоциирующего газа обычно принимается в виде степенной функции температуры к,=АТ ' (г>0).
Наконец, выпишем скорость химической реакции (6.16) в принятых здесь переменных: =й,(Т)(1 — ') Рг К,(Т),т —, . (6.20) есс — — Т+И, о, 3йо,, о 2 т где Ьо энергия диссоциации. Удобно записать (6.26) через температуру диссоциации Тд. с Т вЂ” с 3 — +О, Тд= йо бо Тв Ло! (2т) (6.27) Константа равновесия К,(Т) (6.21) аппроксимируется следующей формулой: Одеальио диегоциируииций газ Итак, в лекциях 4 — 6 мы рассмотрели три конкретных примера применения общего подхода к построению моделей сжимаемой сплошной среды. Эти модели наиболее употребительны в приложениях газовой динамики в различных областях науки и техники. Кроме того, в общетеоретических исследованиях свойств течений сжимаемого газа часто употребляется так называемая двупараметричеекал модель, обладающая основными чертами модели совершенного газа с постоянными теплоемкостями, однако не ограниченная конкретным видом уравнения состояния в основных переменных е, е, .р.
Иначе говоря, вместо уравнения состояния (4.16) рассматривается более общая функция двух переменных е = е(е, р), на которую, тем не менее, накладываются некоторые ограничения. Такой подход широко используется, например, в одном из недавно вышедших учебников по газовой динамике [26). В наших лекциях двупарамстрическая модель также будет использована в ряде разделов (теория звука, теория ударных волн, гиперзвуковые течения и т. п.). Однако автор считает, что ограничение только двупараметрической моделью оставляет вне поля зрения исследователей огромное множество реальных газодинамических явлений.
Лекция 7 ТЕОРИЯ ЗВУКА. ДИСПЕРСИЯ И ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВ'УКА В РЕЛАКСИРУ1ОЩЕМ ГАЗЕ Звук в газе без релаксации. Решение Даламбера. Звук в релаксирующем газе. Уравнение распространения малых возмущений. Предельные случаи. Дисперсионное соогношение. Дисперсия и поглощение. Зависимость фазовой скорости и коэффициента загухания от параметра релаксации. Рассмотрим движение газа с малыми возмущениями. Будем считать, что основное состояние отвечает состоянию покоя, а амплитуды возмущений и их производные по времени и координатам малы, так что произведениями указанных величин и их степенями выше первой можно пренебречь. Вязкостью и теплопроводностью пренебрегается. Звук в газе без релаксации Запишем уравнение состояния в форме, связывающей энтропию, давление и плотность.
Считается, что энтропия каждой частицы газа остается постоянной во все время движения. Поскольку в начальный момент энтропия считается одинаковой для всего газа, таковой она останется и в последующие моменты времени. Система уравнений движения имеет вид др, г1ч 1 — +сг1ч(рч) = О, — + — дгаг1р = О, р = р(р, э), э = сопзФ. д1 гй (7.1) Будем искать решение, слабо отклоняющееся от состояния покоя. Положим Р = Ро+ Р Р = Ро+ Р. (7.2) Подставляя (7.2) в (7.1) и отбрасывая малые величины порядка выше первого, получим дР .
г дч 1 г г др †- + Ро г1гч ч = О, — + — ягаг1 р = О, р = — р . (7.3) д1 Ро дР Уравнения (7.3) описывают нестационарное движение газа с малыми возмущениями. Звук в геле бее релакеации у = ягае1 уг, (7.4) т. е. ввести потенциал скорости. Подставляя (7.4) во второе урав- нение (7.3), получим 8тад + 8гае1р = О, р = -ро дгг 1 ! г дФ дг Ра де (7.5) при соответствующих граничных условиях. Первое уравнение в (7.3) принимает вид др' — — + ро Ь~р = О.
де (7.6) Обозначим а~ = др/др~,. Исключая р' из третьего уравнения (7.3) и второго уравнения (7.5) и подставляя р' в (7.6), получим волновое уравнение для потенциала скорости д' ~ — а елр = О. де (7.7) Рассмотрим для простоты одномерное течение (точнее, течение с плоскими волнами).
Пусть все величины зависят только от одной координаты х и времени $: дуг оду , — а дг' дх (7.8) Вводя характеристические переменные ~ = х — а1, г1 = х + а1, получим = О. д( дд Общее решение этого уравнения содержит две произвольные функции ~р = 1г(х — а1) + 1я(х + а1). (7.10) Решение представляет собой сумму двух функций типа бегущей волны. Произвольная функция )4 имеет одинаковые значения в двух точках, .х1 и хз, в моменты времени 1г и 1з, связанные соотношением (7.11) х~ — агг = хв — агз.
4 В. П. Стулов Из второго уравнения (7.3) видно, что д(го1и')/д1 = О, т. е. выражение гоФ и' = 7 (х, у, з) не зависит от времени. Принимаем, что в начальный момент времени гоФ ъ' = О. Тогда течение будет безвихревым, и можно принять Лепщик 7. Теория ооукл. Дисперсия и поглощение 50 Отсюда следует, что расстояние т2 — х1 проходится фазой волны (т.е. заданным значением функции 11) за время 12 — 1~ со скоростью а. Величина а = (друдр[,) называется скоростью 1/2 звука. Аналогично, Г2 описывает волну, бегущую в отрицательном направлении оси т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
