В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Одномерные ззеетацноззарззые течения еаоа и инварианты Римана принимают вид 2 а ~ и = сопэ1 На на — = и ~ а. (з1 (8.24) Очевидно, формулы (8.21), (8.22) или (8.24) можно трактовать как распространение волны: комбинация искомых функций р, р, о, равная 2а,('(у — 1) + и, оставаясь постоянной, распространяется по газу со скоростью а в направлении движения газа; комбинация искомых функций р, р, и, равная 2а('(у — 1) — и, оставаясь постоянной, распространяется по газу со скоростью а в направлении, противоположном направлению движения газа.
Простая волна 2 2ао а — и = сопэ1 = — у — 1 (8.25) Здесь ао скорость звука в той точке, где скорость газа равняется нулю. В этом случае имеем два первых интеграла уравнений движения; соотношения (8.20) и (8.25). Легко себе представить, что в этом случае две из трех искомых функций можно выразить через третью и свести задачу к нахождению этой третьей функции. Выразим р и и через р. Имеем р=Ср', а = ~~ = уСр" р (8.26) з з.
3. ( ) з. ((р)( '((' (8.27) б) Кинематичесная волна. Для окончательного решения задачи, т.е. для определения р используем уравнение неразрывности, в котором учтем, что и есть функция р др (з(рз() др дз Нр да (8.28) Рассмотрим один частный класс одномерных нестационарпых течений, именуемых простыми волнами. Для определенности сразу будем рассматривать север(пенный газ с постоянными теплоемкостями.
а) Определение с помои1ью инвориантов Римана. Рассмотрим течения газа, для которых один из инвариантов Римана (8.24) остается постоянным во всей области движения. Пусть Проглпав волна Вычислим д(ро)/др. Можно было бы сразу дифференцировать ро с о из (8.27), но луч1пе упростить выкладки. Имеем д(ро) Но = о+Р 1р 1р' йо 2 да 2 Н а (8.29) 4р -~ — 1 4р з-1 Ф Р Н(ро) а =о+р †=о. ар Р Уравнение (8.28) перепишем так: — + (о+ а) — = О.
др др д1 д* (8.30) Получили уравнение простой волны. Оно означает, что постоянное значение плотности р распространяется со скоростью о + а. Иначе говоря, 0р ~И вЂ” =0 на — =о+а Нх Ю (8.31) х = с(р) 1+ Г(р), (8.32) где г'(р) -- произвольная функция плотности. Формулу (8.32) следует рассматривать как искомое решение р = р(о, г) уравнения (8.30), а произвольную функцию г (р) находить из начальных и граничных условий. Разумеется, решение (8.32) можно найти с использованием только инвариаптов Римана, поскольку они являются полным эквивалентом исходных уравнений.
В самом деле, имеем 2 Но а+ о = сопв1 на — = о+ а, (8.33) а не всюду, как второй инвариант (8.25). Поскольку для всей области и, в частности, вдоль линий до/Ж = о+ а справедливо соотношение 2 2 а — о= ао, 7 — 1 У вЂ” 1 (сравните с трактовкой инвариантов Римана, приведенной после формул (8.24)). Поскольку вдоль линий, описываемых уравнением ди/Ю = = о + а, плотность остается постоянной, а правая часть уравнения этих линий зависит только от р (о + а, = с(р) ), то указанные линии прямые, описываемые уравнением Лекция 8. Одномерные неетациоиарные игеиения газа то немедленно получаем (складывая и вычитая инварианты Римана на Йх(гзе = и + а) дх и = сопвФ и о = сопэФ на — = и+а.
(8.34) Ж Иначе говоря, вновь получаем, что характеристики Сз в рассматриваемой простой волне — прямые линии. Конкретные значения констант в (8.34), которые изменяются от одной характеристики к другой, получаются из граничных и начальных условий. Если общий случай это волны некоторых комбинаций искомых функций (инварианты Римана), то простая волна это волна самих искомых функций и, р, р. Здесь рассмотрена простая волна, бегущая в одном направлении с движением газа.
Разумеется, можно рассмотреть и простую волну, движущуюся в противоположном направлении, нужно только считать константой вместо (8.25) другой инвариант Римана. ,Лекция 9 ПРИМЕНЕНИЕ РЕШЕНИЙ ТИПА ПРОСТОЙ ВОЛНЫ К АНАЛИЗЪ' НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ СОВЕРШЕННОГО ГАЗА Задача о поршне, выдвигающемся из трубы, заполненной газом.
Центрированная волна разрежения. Максимюп ная скорость газа при несгвциоварном истечении. Течение в области, граничащей с областью постоянного течения (или покоя) описывветгя ренн вием типа простой волны. Опрокидывание простой волны сжатия. Характеристики уравнений одномерных нестационарных течений ралвксирующего газа. Предельный переход к равновесному течению. Дадим некоторые приложения решений типа простой волны. Рассматриваются волны разрежения. Показано, что в самом решении типа простой волны заложена возможность ее опрокидывания, т. е.
образования течения с разрывами. Задача о поршне, выдвигающемся из трубы, заполненной газом л = Х(1). (9.1) 5 В. П. Стулов Решим эту задачу методом характеристик. Иначе говоря, будем пользоваться характеристическими переменными, в которых основные уравнения имеют вид ипвариантов Римана. Рассматриваем случай совершенного газа, для которого формулы имеют простой вид. Задача ставится следующим образом.
Пусть имеем бесконечную трубу, в которую помещен поршень. Справа от поршня труба заполнена газом. В качестве искомых функций для удобства записи решения возьмем скорость и, скорость звука а и знтропию в. Очевидно, а и в взаимно однозначно связаны с давлением р и плотностью р через уравнение состояния. Рассматривается нестационарное непрерывное адиабатическое течение невязкого совершенного газа с плоскими волнами произвольной амплитуды. Такое течение описывается уравнениями (8.1)--(8.4).
Пусть в момент времени 1 = О поршень, находящийся в точке л = О, начинает двигаться по закону 66 Лекция р. Применение решений типо простой волна Начальные условия имеют вид (9.2) и=О, а,=ао, в=во при 1=0, т. е. газ покоится. Граничное условие е = Х(1) при х = Х(й) (9.3) 2а 2ао — р = у — 1 у — 1' (9.4) т.с.
имеем течение типа простой Рассмотрим характеристики Для них константа также равна волны. Сл., начинающиеся па оси Ох. 2ао,У( у — 1), т.е. 2а 2ао + с = у — 1 у — 1' (9.5) показывает, что газ, прилегающий к поршню, повторяет движение поршня. Изобразим область течения на диаграмме (х, 1) (рис. 9.1). Ось Ох соответствует начальному состоянию газа. Поскольку поршень выдвигается из газа, его траектория располагается ,р, „р,ц„„,, П, поршня служит одновременно траекторией частицы газа.
С„ Траектории всех частиц Р начинаются из состояния покоя, т.е. на прямой Ох. Пот Срор скольку начальная энтропия С всех частиц одинакова и в те- Р чении энтропия каждой час- тицы сохраняется, то тече- О х ние изэнтропическое. Можно воспользоваться инвариантами Римана. Рассмотрим расположе- ние характеристик С и С ц. Легко видеть, что С идут из линии покоя Ох в сторону трасктоРии поРшнЯ (Рух,УЖ = — а < О), а Сэ в пРотивоположном напРавлении. ПосколькУ на С. величина с1хусде меныпе, чем на траектории Р (е — а < и при а ) О), то все С наеинаются на оси От в невозмущенной области и идут влево. Иначе говоря, инвариант Римана со знаком минус, остающийся постоянным на каждой С , будет абсолютной константой Задача о поршне, выдвигаюшемел из трубы, заполненной газом 67 и = Х(т) (9.8) и сохраняет постоянное значение. Уравнение характеристики Сз имеет вид х = Х(т) + (ай+ Х(т)~ (1 — т) (9.9) (прямая с угловым коэффициентом ао + (( е + 1)/2) Х(т), проходящая через точку х = Х(т), 1 = т).
Искомые функции запишутся так: и = Х (т), а, = ао + Х (т), з = зо. (9.10) Формулы (9.9), (9.10) дают параметрическую зависимость с, а, з от х, 1 через параметр т. Как уже отмечалось, р и р легко выразить через а и ес 1!(7-1) з з!(з — 1) В верхней части рис. 9.1 показана труба, заполненная газом с правой стороны от помещенного в ней поршня. Штрихами сле- Из (9.4) и (9.5) получаем, что для этих характеристик у = О, а = ао, т.е.
они являются прямыми линиями х — хо = аой Последняя такая характеристика выходит из начала координат. На рисунке она обозначена С+ . х = ао1. Выше этой характе- (0) ристики начинается область переменного течения. Для характеристик Сз, начинающихся па поршне, имеем 2а е1х + с = сопв1 на С>. — = и+ а. (9.6) 7 1 ей Вычитая (9.4) из (9.6), как и ранее, получим 4х — 1 7+1 с = сопв1 на С,: — = у+ ао+, и = ао+ с.
(9.7) ей 2 2 Последнее равенство получено с использованием (9.4). Очевидно, искомая константа в (9.7) определяется законом движения поршня. Как уже отмечалось ранее для произвольной простой волны, в данной задаче характеристики Сз — прямые линии с угловым коэффициентом 7+1 ао + с. На характеристике Сз, пересекающейся с траекторией поршня в момент времени 1 = т, скорость газа равна 68 Ленино р.
Применение решений типо простой волны ва показано положение поршня при ! = т, а штриховой прямой справа показано положение переднего фронта волны разрежения х = аот. Если движение поршня замедляется, то характеристики могут пересекаться; это приводит к образованию разрывов. Центрированная волна разрежения Рассмотрим частный случай разобранной выше задачи, когда поршень выдвигается с постоянной скоростью — И (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
