В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Это равновесное состояние описывается формулами (11.5), в которых следует положить Т = Т„, при этом последнее (дифференциальное) уравнение отпадает. Иначе говоря, к первым трем уравнениям (11.5) следует добавить соотношение (11.6) Подставляя его в третье уравнение (11.5), получим три уравнения для определения из, рв, рз. В общем случае в газе может протекать несколько неравновесных процессов с различными характерными временами релаксации (например, несколько химических реакций).
В этом случае зона релаксации имеет так называемую «полосатую» структуру. Разумеется, и в этом случае можно построить численное решение задачи путем решения системы уравнений типа (11.3), содержащей соответствующее количество дифференциальных уравнений. Однако, если характерные времена релаксации процессов (или групп процессов) сильно различаются, то решение можно упростить. Покажем это на примере двух релаксационных процессов.
Имеем модельные уравнения й~" — ч"' дсР й~" — ч'" (В (з) сиз т~ ~ Здесь и далее верхние индексы (1) и (2) означают номера релаксационных процессов. Последнее неравенство показывает, что в зоне релаксации первого процесса второй процесс фактически заморожен. Тогда решается первое уравнение при условии, что д"= опэ1=4"=д1(" После этого решение строится во второй зоне релаксации, где (1) изменяется д1 ), а д~ ~ = и, , так как релаксация первого про- 00 Лекция 11. Ударные волны в газе с релаксацией цесса завершилась.
Начальным условием для 00 ) служит значе(г) ние с)1 , так как и в первой зоне релаксации не изменяется. Во второй зоне релаксации происходит окончательный пе- (2) реход к равновесию, поэтому в конце этой зоны с) = с), Во второй зоне релаксации параметр с)~~) изменяется равновесно. Толщины двух зон релаксации удовлетворяют неравенству 1~1) << Р).
Аналогичную структуру имеет решение при произвольном количестве неравновесных процессов, для которых т1 « тг « ... « ти. Наконец, рассмотрим произвольное течение газа с ударными волнами. Можно ввести три характерных времени: время ударной волны т„характерное время течения тг = В/и и время релаксации т. В рамках механики сплошной среды обычно справедливы неравенства (11.8) т,«т, т,«тг. В зависимости от соотношения т и тг рассматриваются различные типы течений: т « тг равновесное течение; т тг — неравновесное течение; т» тг замороженное течение.
Неравновесные течения реализуются в том случае, когда длина зоны релаксации порядка характерного размера задачи. 'Ударные волны с полной дисперсией *) Запишем уравнения одномерного стационарного течения вязкого теплопроводного газа: сс(ри) Йи д 1' 4 сги ') (11.9) г Существуют непрерывные и гладкие решения этих уравнений, описывающие сжатие и торможение газа между стационарными состояниями. После некоторых упрощений решение для рас- *) Изложение этого вопроса достаточно близко к тексту п. 6.10 монографии ]9).
Ударные полны с полной дисперсией 91 пределсния скорости имеет вид (все коэффициенты считаются постоянными) и1 — и х = й!и .— —, из < и < иы и — иа (11.10) 2д ~4 ( у — 1)Л1 р(у+1)(и1 — и2) (3 дср Это решение в литературе называют структурой ударной волны. Рассматривается аналогичное решение уравнений движения совершенного двухатомного газа с колебательной релаксацией.
Вязкость и теплопроводность газа не учитываются. Одномерное стационарное течение описывается уравнениями (11.3). Для простоты будем считать все теплоемкости постоянными: ее(Т) = е,Т, е = сопэФ. е,(Тх) = ехТ„ Исключая го р, р, получим (аг — и ) — + (! — 1)ие, " = О, 2 2 да, ЙТе дх дх (11.! 1) дТ, дТ„ди дТ ср — +е, +и — =О, ти =Т вЂ” Т,, дх дх дх ' дх Из этой системы уравнений исключим ЫТ(с1х и е1Т,(е1х, в результате получим нелинейное уравнение для и. Сначала исключим МТ,~г1х из первого и третьего уравнений (11.11): (а~~ — и ) — + ( е — 1)е„' = О. (11.12) Дифференцируя (11.12) по х и подставляя в результат еО')е1х и е1Т (дх из первого и второго уравнений (11.11), после приведения подобных членов получим — ти — ~(от — и) — ~+(а,— и) — =О, с,=с +е,.
д з з е!и о з да с„дх ~ дх~ ' дх (11.13) Используя первые интегралы системы (11.11) + 2 р ри=сд, и следующее из них равенство Лекцил 11. Ударные волны в саве с релаксацией и деля на и, перепишем уравнение (11.13) в следующем виде: — —" ~(,' — '( — "~ е ~к ( — ' — ) — ~ — ' = ° . (п.|е( а(и ае песе; — = О Йт. и=и запишется так: е г(4-"(-"Е('-( -1(("-.'-( '- '„)= С е (11.15) Поскольку далеко вниз по потоку от ударной волны также долж- но быть е(и/е(х = О, уравнение (11.15) можно переписать в сле- дующем виде: —" т (а1 — и ) — = — — ((, + 1) (и — и,) (и — и), (11.16) се 2 2 ееи 1 Сее е(х где и, — скорость позади волны.
Это уравнение получено следующим образом. Преобразуем выражение в фигурных скобках из уравнения (11.15) с учетом формулы для а,,: — ( 1, — 1)(и — и ) + а, — а, = — (у, — 1)(и — и ) + 2 2 2 2 1 2 2 + 7е — — и — ('е = (и — и, ) — — (1,+1)(и+ и )+ у, 1 1л'( = — — ( 1е+ 1)(и — ие„) (и+ и„,— Определяя 2 1, Р' и,= — — и 'у,+1 Я получим уравнение (11.16).
Это уравнение описывает монотонное изменение скорости в волне сжатия, т. е. и уменьшается от и до и,. Поэтому производная ((и/е(х всегда отрицательна и конечна, т. е. всегда должно быть и ( аь Иначе говоря, ударные волны с полной дисперсией Первый интеграл этого уравнения с учетом граничных условий далеко впереди ударной волны Ударные оолны с полной дисперсией 93 движутся по покоящемуся газу (или газ втекает в ударную волну) со скоростью, меньшей замороженной скорости звука.
Используя данное выше определение и,, и формулу для а„ 2 легко получить следующие равенства: и — и,— 2(и — а, ) 2(а„— и,) (! 1.17) ( ~, + 1)и (7, + 1)и, Так как и„> и„то и, > а, и и„< а„. Учитывая, что имеет место и„< ае, можно получить (11.18) аеоо < и„, < ас Это неравенство определяет область существования волн с полной дисперсией. Скорость волны по газу незначительно превьппает а, , так как а, и ан как правило, близки.
Поэтому ударная волна с полной дисперсией неизбежно должна быть слабой. Интегрирование уравнения с разделяющимися переменными (11.16) позволяет получить профиль скорости в ударной волне с полной дисперсией. Отметим, что он становится более крутым в передней части волны по мере приближения и, к ае Если и превосходит песо, получаем ударную волну с частичной дисперсией. Лекция 12 НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕт1ЕНИЯ С вДАРНЫМИ ВОЛНАМИ Задача о поршне, вдвигающемся в гвз.
Распад произвольного разрыва: простейшая модель течения в ударной трубе. Задача о сильном взрыве. Здесь рассмотрим относительно простые пестационарпые течения газа с ударными волнами. Как уже отмечалось, в реальных условиях газовых потоков почти всегда присутствуют ударные волны. Задача о поршне, вдвигающемся в газ Пусть в момент времени 1 = О газ покоится в полубесконечпой трубе, с одного конца закрытой поршнем, а сам поршень начинает вдвигаться в газ со скоростью о'.
Поскольку указанное движение, очевидно, приведет к сжатию газа, то его температура повысится и увеличится скорость звука. Напомним, что уравнение характеристики Ст (прямолинейной, если решение описывается простой волной, а это именно так, поскольку область возмущенного течения граничит с областью покоя) имеет вид дя ~Й вЂ” - = Г+ и, т.е. т — (lт = (1/+ а) (1 — т). (12.1) Поскольку У > О и а > ао, характеристика С направлена в сторону граничной характеристики х = ао1.
Произойдет пересечение этих характеристик, приводящее к неоднозначности решения, так как, например, на граничной характеристике в = О, а на Ст имеем в = К Это пе что иное как уже известное нам опрокидывание простой волны сжатия. Заметим, что при законе движения поршня я = Ю, 11 = сопв1 эти рассуждения справедливы для любой характеристики С.ь, сколь угодно близко лежащей к начальной точке. Таким образом, решение данной задачи должно содержать разрыв. Построим решение с ударной волной. Очевидно, уравнениям и граничным условиям удовлетворяет следу1ощео решение: впереди поршня, движущегося со скоростью 11, со скоростью Г (зарапее не известной) движется ударная волна; между поршнем Распад проагоооьпого раорыоа 95 и ударной волной газ движется с постоянной скоростью 1г'; впереди ударной волны гвз покоится.
Состояние покоящегося газа известно; давление ры плотность рь Определим состояние газа за ударной волной и скорость ударной волны 1'. Для этого используем соотношения на прямом скачке. Скорости газа относительно скачка запишутся так: и1 = — 1г, и2 = — Ь'+ Г, М = —. (12.2) 2 о Подставим (12.2) в выражение для отношения скоростей на пря- мом скачке. Получим (7+ 1)Ъ' /а~ (12.3) 1 — б 2 + (.„ Ц1 ~/аоо' Сокращая на 1' (1~ ф 0), получим квадратное уравнение для определения 1' — — — -- с' ~' — ао = О.
,+1 2 2 (12.4) Решение имеет вид Распад произвольного разрыва Как мы уже видели, на газодинамических разрывах (ударных волнах) должны выполняться определенные соотношения между газодинамическими величинами. Если эти соотношения не выполняются, разрыв существовать не может, он должен распасться. 1/ = 17+ + а2. (12.5) 16 Соответственно траектории ударной волны и поршня имеют вид +1 + 11~~/~ 17+ (~ ) +,,' 1) 1, = 171 (12.6) 16 (легко убедиться, что ударная волна обгоняет поршень и ее скорость больше скорости звука ао).
Подставляя (12.6) в условие на скачке для давления, получим р за ударной волпои: р, 2ЗМ' 7 — 1 7(-~+1) б' и (7+1)' 17' 2 + 2 + р1 '1 + 1 7 + 1 4 ао ао 16 аг (12.7) Ленция 1е. Нестаниоббарньбе течения с ударными волнами Рис. 12.1. Распад произвольного раз рыва о=О, р=ры р=ры а=а1 Й Центрированная волна разрежения: о = — 1, а = +1, (12.8) Рассмотрим один важный частный случай распада произвольного разрыва: пусть два столба покоящегося газа разделены перегородкой; например, в правом столбе р = р1, р = ры а в левам Р = Р5, Р = Р5, пРичем Р1 > Р5, Р1 > Р5. Такое устройство широко используется в технике газодинамического эксперимента и называется ударной трубой. В момент времени 1 = О перегородка снимается. В ударной трубе обычно Т1 = Тэ, это соотношение связывает разрывы плотности и давления. Легко себе представить, что после снятия перегородки начнется движение газа в сторону меньшего давления.
Поскольку задача не имеет характерной длины (или времени), а характерная скорость имеется (это скорость звука в покоящемся газе), можно ожидать из соображений размерности, что все течение будет зависеть только от комбинации хДа1), т. е, скорости образующихся при распаде произвольного разрыва поверхностей газодинамических разрывов будут постоянными. Так как задача сохраняет одномерный характер (параметры О постоянны по сечению тру- 4 0»»0 0 б) ся, и плоскость их раздела, Р Р б — 0 в точке х = О, будет двигаться с постоянной скоростью.
Это наводит на мысль О х построить искомое решение задачи как комбинацию решений двух задач о вдвигании и выдвигании поршня из трубы, рассмотренных ранее. Изобразим течение в физической плоскости и в координатах (х, 1) (рис. 12.1). На основании полученных ранее решений выпишем формулы для параметров газа во всех пяти областях. Для простоты будем считать первоначально разделенные газы одинаковыми, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
