В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Имеем Ь = ср7"— с р с р у р с Р Лр ср — с,р у — 1р' с (ср — с, = Н). (13.10) Из формулы (13.8) получим — + — = Но(1) 'у Р 2 у — 1 р (13.11) Используя уравнение состояния совершенного газа в перемен- ных р, р, а, можно записать — — ехр ', в = во(1), р = С(1.) р'.
(13.12) рг ! рг г ! с„ Последняя формула выражает адиабату Пуассона. Таким образом, для совершенного газа имеем два первых интеграла, (13.11) и (13.12). Свойства движения Из соотношений (13.11) и (13.12) следует, что вдоль линии тока с увеличением скорости давление и плотность падают. Из уравнения Клапейрона и (13.12) вытекает, что падает также и температура. Важные определения Пара етры торможения. Мы уже ввели энтвльпию торможения Но. Введем также температуру торможения из условия Но = срТо.
Затем можно с помощью уравнения Клапейрона и последней формулы (13.12) определить ро и ро. Заметим, что температура торможения определяется только полным теплосодержанием (энтальпией торможения Но), а ро и ро зависят еще от энтропии во. Если на линии тока есть точка, где о = О, то в этой точке р = ро, р = ро, Т = 7"о. Если же такой точки пет, то параметры Важные опредееения 105 = ~уе2 Но.
(13.13) Иначе говоря, максимальная скорость соответствует истечению в вакуум. Из уравнения Клапейрона и последней формулы (13.12) следует, что при р = О имеем р = Т = О. Важно отметить, что условие (13.13) существенно связано со стационарным характером течения. Скорость звука, критические параметрьь Как мы знаем из теории звука, скорость звука в газе определяется по формуле з дР а др (13.! 4) Иначе говоря, мы должны записать уравнение состояния в виде функции р = р(р, в) и взять одну частную производную. Ис- пользуем последнюю формулу (13.12) и получим а = — = Сур' др --у ~Р др Р (13.15) Тогда интеграл Бернулли (13.11) можно записать так: 2 2 2 о ьепах — + = Но =— 2 у — 1 2 (13.16) Отсюда видно, что с увеличением скорости и скорость звука а убывает.
Из уравнения Клапейрона можно записать а = уНТ. (13.17) Последняя формула позволяет легко связать скорость звука с энтальпией. Имеем а2 а = уЛТ= — срТ= ' ' 6=(у — 1)6, 6= ср ср у — 1 (13.18) Из (13.17) легко также убедиться, что максимальное значение скорости звука соответствует точке торможения ао — — у ЛТо, 2 (13.19) торможения вводятся фиктивно как параметры, которые имела бы частица газа, если бы ее из данного состояния затормозить непрерывно и адиабатически до состояния покоя.
Макс мальная скорость истечения. Из уравнения (13.11) видно, что на линии тока максимальная скорость реализуется при условии р = О. Имеем 106 Лекция 18. Общие свойсгава сгааииояариаго адиабагиическаго те гения а минимальное, равное нулю, возникает при истечении в вакуум. Таким образом, вдоль линии тока при монотонном разгоне потока скорость о увеличивается от О до о ,„, а скорость звука убывает от значения (13.19) до О. Поэтому существует точка, в которой о = а.
Значение скорости газа, равное скорости звука в этой же точке, называется критической скоростью о„. Значение критической скорости через параметры торможения (или о,) легко получить из (13.16): 2 2 2 *+ ' =Но= "' о2=2З Н = 7 оз (13,20) 2 1 0 2 ' * +1 " +1 п3ах' Можно выразить о„через скорость звука в заторможенном состоянии: (13.21) — +1 о Выразим другие критические параметры через соответствующие параметры торможения. Полагая о, = а„и используя формулу (13.17) в (13.21), получим т, = То. 2 (13.22) г + 1 Из уравнения Клапейрона и адиабаты Пуассона получим (13.
23) Подставляя (13.22) в (13.23) и решая два уравнения, получим lт+1 7 — 1 (13.25) Число Маха, козффициент скорости. Важным критерием служит отношение скорости газа к местной скорости звука, т. е. число Маха М. Поскольку с монотонным ростом скорости местная скорость звука монотонно убывает, то условию М ( 1 соответствует условие о(а, ( 1, а условиго М > 1 соответствует условие о/а„> > 1. Поэтому наряду с М рассматривается коэффициент скорости Л = о/а„. У числа М вдоль линии тока изменяется знаменатель и числителгь а у числа Л только числитель. Из предыдущих формул очевидны неравенства Веяражения дяя параметроо потопа через параметры торможения 107 Установим связь между параметрами М и Л.
Запиупем из (13.16) и (13.20) и а у+1 о, — + =770= 2 у — 1 у — 1 2 Деля обе части (13.26) на а2, получим М' 1 у+11 Ма + (13.27) 2 'у — 1 'у — 12 Лз Разрешая (13.27) относительно Л2, получим (13.28) Выражения для параметров потока через параметры торможения и числа М и Л Первый интеграл в (13.12) и уравнение Клапейрона позволяют установить зависимости, аналогичные (13.23): (13.29) Формулы (13.29) позволяют выразить отношения давлений и плотностей через отношение температур; (13.30) 2 + срТ = срТ0, а срТ = у — 1 (13.31) Деля (13.31) на срТ, с учетом второго равенства получим у — 1М2+1 Т, 2 Т (13.32) М Л2= 2 1+ М 2 Вернемся к интегралу Бернулли С учетом (13.29) имеем — ' = (1+ М2) Ро у 'у 1 р 2 Л2 = 2 ) — 1+ М2 о У1 + — М2~ р (, 2 (13.33) 10о Лекция И.
Общие свойсгава стационарного адиабатичесного течения Разделим теперь (13.31) на срТе. и Ч 1 'о ч — 1 + — =1, — =1 — =1 — Л 2срТо То То 2Но 'у+1 (13.34) согласно (13.20). Снова из (13.29) получим — 1 — — -Л, — = 1 — — — -Л (13.35) Выражения (13.32) — (13.35) называются газодииамическими 4рнкциями. Подчеркнем, что до сих пор мы изучали лишь связи между параметрами стационарного непрерывного адиабатического течения совершенного невязкого газа, не рассматривая конкретные течения. Ниже мы рассмотрим простейшее одномерное течение; разумеется, приведенные выше соотношения будут справедливы в одномерном течении.
Лекция 14 ОДНОМКРНАЯ ТКОРИЯ СОПЛА ЛАВАЛЯ Течение в трубке тока. Уравнение обращения воздействия. Переход через скорость звука. Сопло Лаваля. Формула сопла Лаваля. Течение релаксирующего газа — пример веизэнтропвческого течения. Замороженная скорость звука. Течение газа через простое сопло. Течение через сопло Лаваля с уменьшением протнводавления: расчетный и нерасчетный режимы. Рассмотрим в стационарном потоке сжимаемого газа замкнутую линию, например окружность малого (по сравнению с характерным размером потока) диаметра.
Проведем линии тока через каждую точку этой окружности. Поверхность, образованная этими линиями, называется трубкой тока Поскольку трубка тока считается тонкой, то распределение параметров по сечению л, нормальному к некоторой воображаемой оси, можно считать постоянным. Сечение о' ориентируется по нормали к скорости газа.
Течение в такой трубке называется одномерным. Закон сохранения массы для одномерного течения запишется так: (14.1) рпо' = 14 = сопз1 . Эта формула получается из исходного закона сохранения массы в интегральной форме, если в качестве объема взять отрезок трубки тока, ограниченный сечениями о1 и лз, и учесть, что поток массы через поверхность трубки тока отсутствует. Соотношение (14.1) вместе с первыми интегралами Бернулли и адиабатичпости составляет замкнутую систему уравнений для описания одномерного стационарного течения. Ъ равнение обращения воздействия Для анализа свойств течения воспользуемся, однако, уравнениями в дифференциалах.
Уравнение импульса в стационарном течении 1ч У)ч + — атас1 р = О ! (14.2) Р Лепная Ц. Одполеерпая теория сопла Лаваля 110 с помощью известной из векторного анализа формулы (ч ч') ч + ч х го1 ч = — 8гае1 и 2 2 (14.3) запишется следующим образом: 2 1 — 8гае1 и — ч х го1ч+ — йгабр = О. 2 Р (14.4) Вычисляя проекцию на линию тока и заменяя производные вдоль линии тока дифференциалами, получим и ди + — е1р = О. 1 (14.5) Р Запишем уравнение адиабаты Пуассона в дифференциалах вдоль линии тока; др = С-1р~-~1р = ~ Р,1р = ~~ др = а~йр, Р Р Наконец, запишем в дифференциалах уравнение (14.1); (14.6) саар с1р се Я + + ч р Я (14.7) Здесь е1Я вЂ” дифференциал площади поперечного сечения. Ис- ключим е1р из (14.5) и (14.6): 2 иди = — — др, Р (14.8) а затем е1р из последних двух формул: 2 иди+а ( — — — — ( =О, — ди — — — —,=О.
(14.9) о( а о Используя число Маха, получим — "" (М' — 1) = — "' . (14.10) Это уравнение называют уравнением обращения воздействия. Пусть скорость потока увеличивается вдоль трубки тока, т.е. ди > О. Тогда при дозвуковой скорости (М < 1) сечение трубки тока должно уменьшаться (е1Я < 0), а при сверхзвуковой скорости увеличиваться (дЯ > 0). Самое узкое сечение (е1Я = 0) соответствует звуковой скорости, т.е.
М = 1. Указанное свойство является способом достижения сверхзвуковой скорости потока. Необходимо выполнить канал в виде сужающейся-расширяющейся трубы. Тогда при выполнении Формула сопла Лаоалл 2 (Р«-')«пах = Р«г« = ~!7рсрс . (14.11) ~" ) Из (14.11) следует, что максимально возможное значение расхода газа через трубку тока равно ( 2 , Ь-~ 1)ДзЬ-1И 0и«их = (Ре)и|их Кп1и = -") «ЯРоРо зови. (14.12) Формула сопла Лаваля Определим теперь изменение числа Маха вдоль трубки тока. Напомним, что, имея такую зависимость, изменения других параметров найдем с помощью так называемых газодинамических функций Т вЂ” 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
