В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Поэтому для промежуточной секции естественно принять ТГ Таас т. е. имеем типичный случай неравновесного течения. В выходной секции сопла газовая смесь, как правило, достигает высокой степени разреженности. Температура, плотность и давление падают, а скорость в выходном сечении наибольшая. Поэтому локальное значения характерного времени течения Т1 невелико, а время релаксации сильно увеличивается из-за разреженности потока. Течение продолжает развиваться в канале переменного сечения, поэтому здесь по-прежнему Т1 Таас ° В выходной секции справедливо неравенство — »1, ~1 122 Лепцил 15. Оегввпввеснве течение в сопле Лавале т.е. реализуется почти замороженное течение. Значения релак- сационных параметров типа функции с1 «замораживаются» на уровне, достигнутом где-то в переходной области между проме- жуточной и выходной секциями.
Метод мгновенного замораживания 1 Й~. 1 че(1) ь1 т~Ре~ ~«) (15.10) Во входной секции сопла, т.е. выше по потоку от сечения, определяемого условием (15.10), течение считается полностью равновесным (релаксация отсутствует). В самом сечении (15.10) происходит мгновенное замораживание потока, и в выходной секции ниже по потоку все релаксационные параметры остаются постоянными и равными своим значениям в сечении (15.10). Иначе говоря, течение в выходной секции полностью заморожено.
Легко видеть, что изложенный здесь метод существенно упрощает расчет неравновесного течения в сопле Лаваля, поскольку исключает необходимость решения уравнений релаксации типа (15.1). Параметры релаксации используются лишь для определения положения сечения мгновенного замораживания из условия (15.10) и для определения всех параметров газа в этом сечении. Пример расчета течения в сопле методом мгновенного замораживания показан на рис. 15.1 и рис. 15.2.
Расчет проведен для случая течения идеально диссоциирующего газа. По оси абсцисс Описанный выше качественный характер течения в сопле с релаксацией позволил сформулировать приближенный метод мгновенного замораживания для расчета течения. Метод был опубликован в конце 50-х годов: русский перевод вышел из печати в 1962 г.
Р]. Основная идея метода состоит в замене реального течения в сопле предельным течением, состоящим только из входной и выходной секций. Иначе говоря, предполагается, что длина промежуточной секции пренебрежимо мала, а течение как бы скачком переходит от почти равновесного (входная секция) к почти замороженному (выходная секция).
Напомним, что во входной секции т(т„„« 1, а в выходной секции т~т1 >> 1, т,„тб т. е. т~т,вс >> 1. Считая изменение переменных характерных времен вдоль сопла непрерывным, определим положение бесконечно узкой промежуточной секции из условия т = т,в„: Метод мгновенного гамори1сивавил 123 на двух рисунках отложена относительная площадь поперечного сечения сопла. Сплошные линии показывают точное численное решение, штриховые линии --- решение методом мгновенного замораживания.
На рис. 15.1 показано распределение концентрации атомов сг, на рис. 15.2 распределение температуры газа. а=0 11) 3 10" 3. 1010 — э со (е) 1010 3 1010 а — + со (е) Рдв 10' 10' 100 1"! К* 10' 10' 10' 100 К!К* Рис. 15.1. Распределение концепт- Рис. 15.2. Распределение темпе- рации атомов о вдоль сопла ратуры У вдоль сопла Использовано обозначение а = т,„(т. Буквами е и 1'обозначены равновесное и замороженное течения соответственно. Видно, что для двух основных параметров газового потока приближенный метод хорошо согласуется с численным решением. Лекция 16 ДВУМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ТЕс1ЕНИЯ СЯ~ИМАЕМОГО ГАЗА Плоские и осесиммстричныс стационарные течения.
Функция тока. Естественная система координат. Физический смысл функции тока. Теорема Крокко о вихрях. Образование завпхреииостп в потоке сжимаемого газа за счег ударных воли переменной интенсивности. Потенциальные течения, уравнение для потенциала. Переменные годографа. Уравнение Чаплыгина. Двумерные стационарные течения: плоские и осесимметричные Пусть движение не зависит от времени 1. В общем случае остаются три пространственныс независимые переменные.
Дальнейшее упрощение достигается для класса течений, зависящих только от двух независимых переменных. Здесь имеется два типа течений. Плоское течение. Пусть движение зависит только от двух переменных г, у, а в любой плоскости з = сопз1 параметры течения одинаковы. Тогда можно положить о, = 0 (путем соответствующего выбора системы координат), и система уравнений адиабатического движения совершенного газа принимает вид д(ри) д(рп) + дз ду ди ди 1 др и —,+и — = — — —, дя ду р дя дп дп 1 др и —,+и — = — — —, дя ду р ду ' (16.1) „д Мк') + „д (~!р') дя ду Значительное упрощение задач о движении сжимаемого газа достигается за счет уменьшения числа независимых переменных. Мы уже рассматривали одномерные стационарные и одномерные нестационарные течения, причем в ряде случаев получали решения задач в явном виде.
Теперь рассмотрим класс двумерных стационарных течений. Доулеерные стационарные. течения: плоские и осесиилсегпричные 12о д(риу) д(риу) дх ду + (16.2) Удобно записать оба случая в единой форме: д(риу~ ) д(риу" ) (16.3) где и = 1, 2 для плоского и осесимметричного течений соответственно. Уравнение (16.3) позволяет для рассматриваемого класса течений ввести функцию тока ер риу = —, риу дср 1 д~ (16.4) ду ' д*' Приведем уравнения двумерного стационарного течения к естественной системе координат, в которой в качестве координатных линий принимаются линии тока и нормали к ним. В этих переменных функция тока ф получает естественное истолкование; дед представляет собой расход массы газа через прямоугольное поперечное сечение трубки тока, имеющей единичную ширину (единица длины в плоском случае и один радиан в осесимметричном) и ограниченной линиями еР и еР + с1у1.
Замена переменных имеет вид д д . д — = созд —, — япд —, дх ' да ' д.' д . д д — = япд —, + созд —, ду де дп' и = и1япд. и = ю сов д, Здесь ю, О модуль скорости газа и ее угол с осью Ох соответственно. Подставляя (16.5) в уравнения (16.1) и (16.3), полу- чим 1 д(р ) дд 1 ду-' дю 1др — — + — +, =О, ю — + — — =О, рю де ди у ' де ' де р де """'=О де з дд 1 др ю — + — — =О, де р дн (16.6) Осесиылеетричиое течение. Запишем уравнения стационарного адиабатического движения газа в цилиндрических координатах (у, у, х) и будем считать, что течение не зависит от окружной координаты у.
Если дополнительно положить и = О, получим осесимметричное течение с осью Ох. Уравнения совпадают с (16.1) за исключением уравнения неразрывности, которое теперь имеет вид 126 Лекциа 16. Деумсрнъсе стационарные течение соссимасмого гоза Из третьего уравнения (16.6), в частности, видно., что на прямолинейном участке линии тока (дд/сдв = 0) имеем др(дп = О. Записпем производные от функции тока уц дУ дй . д~ — = сов д — — всп д — = — ру ю всп д, дх дг дп (16.7) — = эшд — +спад — = ру~ юсоэд. дср .
дф дф ду дг дн Из (16.7) находим дф дф — =О, —,=рюу дг ' дп (16.8) Теорема Крокко о вихрях Остановимся на одном важном свойстве стационарных течений сжимаемого газа. Его можно рассмотреть в произвольном трехмерном случае; разумеется, оно будет справедливо и в рассматриваемых здесь двумерных течениях. Мы уже видели ранее, что уравнение стационарного течения газа 1 (и 17) и+ — 8тас1 р = 0 Р (16.9) можно записать с помощью формулы (и. сйс)и+ ъ х го$ у = — йгас1 и 2 (16.10) с использованием вектора вихря гоФ у: 1 1 2 у х говну = — бган р + †, бгас1 е . Р 2 (16.11) откуда вытекает сделанное выше утверждение о физическом смысле функции тока ср.
Кроме того, из первой формулы (16.8) следует, что функции тока ф постоянна на линиях тока. Напомним, что в адиабатических стационарных течениях невязкого газа энтропия е и константа Бернулли Нв (полная энтальпия) остаются постоянными вдоль линии тока. Таким образом, эти величины в потоке газа можно считать однозначными функциями от функции тока ф, которая в силу свойства (16.8) монотонно изменяется при переходе от одной линии тока к другой.
Имеем з = з(с)г), Нв = НоЯ). Теорема Крокко о оихрох Напомним, что уравнение состояния газа во всем поле течения записывается в виде (16.12) э = э(р, е). Входящие в него функции можно рассматривать как непрерыв- ные (или разрывные) функции координат. Вычислим из (16.12) величину ягае1 ж де до р 1 йгаг1о = — йгаг1 р + — йгад е = — а йгас1 Р + — йгад е, др де РТ Т (16.13) ! 1 Т ягад е = р игаса — + ясаке = ягае1 1е — — ягае1р. Р Р Исключая из (16.11) слагаемое (1/р) игаса р с помощью второй формулы (16.13), получим а и х го1 у = ягас1 6 + — ~ — Т ягае1 е = ягас1 Но — Т ягае1 э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
