В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(17.12) Применяя (17.12) к уравнению (17.11), получим дифференциальное уравнение для характеристик 71п — 1=0, (17.13) решениями которого служат полукубические параболы В ~ '- Оз7' = С. 3 (17.14) Напомним, что такой вид имеют характеристики в плоскости годографа. В прошлые десятилетия интенсивно исследовались частные решения уравнения Эйлера-Трикоми, особешю в окрестности начала координат и = О, д = О. Приведем пример. Если искать решение в виде () 4ц (17.15) (на такой вид решения указывает однородность исходного уравнения (17.11) относительно преобразования д~ — + ад~, г1з — + аг1з), то для функции ((~) получаем гипергеометрическое уравнение с(1 — с)~' + ~ — — 2Й вЂ” с ( — — 2Й)) ~' — й (Й вЂ” — ) ~ = О.
В полуплоскости и > 0 это уравнение гиперболического типа, а при з1 ( 0 -- эллиптического типа. Напомним, что характеристики общего уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными Ураапепие длл потенциала плоепого потопа газа зггл)з ь з 6 + 66 С Здесь ~© — произвольная функция, С вЂ” произвольный контур, на концах которого ~'(~) принимает одинаковые значения. Уравнение для потенциала плоского почти однородного трансзвукового потока газа Напомним уравнение для потенциала р плоского течения в декартовых координатах: Упростим это уравнение в случае трансзвукового почти одно- родного течения. Будем считать, что (17.17) и = ~ра — а — а„и = ~ри << а.
Напомним трансзвуковой аналог уравнения Бернулли (так как и» и, то вместо модуля скорости подставим и): (17.18) Тогда первый коэффициент (17.16) принимает вид и / и1 1 — —,, =(7+1) а а,) (17.19) Подставляя оценки (17.17), (17.19) в (17.16), получим (7+1) 1 — р + рии — — О. (17.20) Наконец, введем новый потенциал скоростей (потенциал возму- щений относительно однородного звукового потока) ~р = а„(л + ~р1), (17. 21) Более того, общее решение уравнения (17.11) можно выписать в виде интеграла по контуру в плоскости комплексного переменного ю 136 Леню,ия 17. Трансгвуновые течения сжимаемого гага Подставляя (17.21) в (17.20), получим уравнение для потенциала трансзвукового потока 17 + 1)'Р1а'Р1аа = Уг1уу (17. 22) Это уравнение служит основой для исследования многих важных особенностей перехода через скорость звука в плоском стационарном потоке газа. Как правило, решения этого уравнения находятся методом разделения переменных.
Лекция 18 СВЕРХЗВ э'КОВЫЕ ТЕх1ЕНИЯ Линии Маха и их свойства. Случаи потенциального течения. Характеристики в плоскости годографа для потенциальных течений: эпициклоиды. Течение типа простой волны. Обтекание выпуклой стенки однородным сверхзвуковым потоком. Обтекание выпуклого угла; цеитрироваииая волна разрежения.
Ъ'равнения характеристик и «условия на характеристиках» Существует несколько способов получения уравнений характеристик для системы, описывающей двумерное стационарное течение сжимаемого газа. Здесь для такого вывода воспользуемся уравнениями в естественных переменных, приведя их к характеристическому виду. Одновременно это позволяет выявить все характеристические направления. Напомним уравнения в естественных переменных (э, п): 1 д(рш) дд 1 др' рю дэ дп Р' ' дэ дю 1др =О, гг —,+ — — =О, да р дэ (18.1) д Мк') ю — ---- — = О. дэ дВ 1 др — +---,-э — =О, да рю дп Как уже отмечалось во вводной лекции, свойство сжимаемости газа проявляется в конечной скорости распространения малых возмущений (скорости звука) и, как следствие, в существенном изменении свойств сверхзвукового стационарного течения по сравнению с дозвуковым потоком.
Изучение сверхзвуковых течений является основным предметом газовой динамики. На примере трансзвукового уравнения Эйлера-Трикоми мы уже видели, что в сверхзвуковом случае имеем уравнение гиперболического типа с действительными характеристиками. Сейчас мы покажем, что это свойство сохраняется при любой сверхзвуковой скорости. Лекция 1о. Сверхзвуковые течения Последнее уравнение можно записать так; ар , др — — о — = О. дв дв (18.2) Исключим диз/дв и др/дв из первого уравнения (18.1) с по- мощью второго уравнения (18.1) и уравнения (18.2) соответст- венно.
Получим 1 ды 1 др 1 др М вЂ” 1др 1 д(риз) 1 др + рю дв р дв из дв ра дв рю дв рю дв (18.3) — О. дв ар ав д + а + и — 1 Ъ1М вЂ” 1 1еар 1 ар'1 (ад 1 ад 1 — — -2 — —,~ — — — ~ + + ри12 )1 дв 1 Я2 1 дп) 1 дв,Я~ 1 дп) иРМ2 1 у Напомним, что в силу (16.5) ду/дв = в1пд. Уравнения (18.4) имеют характеристическую форму, т.е. каждое из уравнений содержит производные лишь в одном из направлений: д д 1 д (18.5) дй дв „м, д Запишем окончательно всю систему уравнений для четырех неизвестных и, д, р, р в характеристической форме: ъ'М2 — 1 др дд 1 1 ду' ри12 д1~ д1~ /М2 1 у" дв ди1 1 др а (р!р ') из — + — — =О, и1 = О. дв р дв дв Отсюда видно, что исходные уравнения имеют три семейства характеристик; линии тока в и липин Маха 1.-. То обстоятельство, что линии, определяемые формулами (18.5), представляют Теперь комбинация третьего уравнения (18.1) и (18.3) позволит записать исходную систему (18.1) в характеристической фор- ме.
Умножим уравнение (18.3) на 11'~/М вЂ” 1, а третье уравне- ние (18.1) на ~ 1 и сложим. Получим Вывод уравнений для харанепериетин из уравнения для поепенчиала 139 собой линии Маха, легко показать следующим образом. Из фор- мул 118.5) следует, что 1 18се = ~ ъ'М (18.7) (по определению производной по направлению), где се — угол между линией 1л и линией тока в 1напомним, что исходные пе- ременные — естественные координаты в и п). Из формулы (18.7) легко получить гйп о— Ф8 ее 1 — — (18.8) 1 ои' — 1 о1+ 1/~м' — о т.
е. угол о равен углу Маха. Изобразим взаимное расположение линий тока и линий Маха в физических переменных (рис. 18.1). Индексами Сэ и С обозначаются два семейства линий Маха в физи- У 1 С ческой плоскости. п / + Заметим,что на линии перехода (М = 1) линии Маха ортогопальее ны линиям тока. Легко вычислить нормальную к характеристике составляющую скорости газа.
Име/ ем ип ее и в1п се = у/М = а. Таким образом, нормальная составляющая всегда равна скорости звука. Иногда в литературе харак- Х теристическую форму уравнений газовой динамики (18 б) называ- Рис. 18.1. Взаимное Расположение линий Маха и линий ют условиями на характеристиках.
Подчеркнем еще раз, что здесь мы имеем дело просто с другой формой исходных уравнений, полученной линейным преобразованием. В этом смысле в заголовке данного пункта использованы кавычки. Вывод уравнений для характеристик из уравнения для потенциала Уравнения характеристик в частном случае потенциальных течений легко получить из уравнения для потенциала, которое в плоском случае имеет вид — р, + 1 —, руу —,*" = й.
(18.й) Леиция 1В. Сверхзвуковые течения 140 Применяя стандартную формулу характеристических направле- ний для уравнений в частных производных второго порядка, получим следующее уравнение: у + 2 + (18.10) Решая (18.10), получим его корни: еу + ЕЗ~' — ' (18.11) и — а 2 2 Характеристики в плоскости годографа для потенциальных течений Определим характеристические направления в плоскости годографа в частном случае потенциальных течений. Для этого обратимся к уравнению Чаплыгина дФ ю~ дФ дФ + — + ю — = 0 (Ф = — р+ хи+ уп) .
дй2 1 — ю2(а' дю2 дю (18.12) Используя стандартную формулу, получим — — — — 1 . (18. 13) дю ю7а Уравнения (18.13) можно проинтсгрироватеч если воспользоваться уравнением Бернулли для исключения скорости звука: а 1ч+1 — + а„, 2 т — 1 2 у †(18.14) 2 а 1— у+1 ю — а, ю2 — а2 1 — 1 7+1 2 2 а,— ю 1 — 1 ° 1+1 Видно, что правые части уравнений (18.13) зависят только от ю.
Интегрирование дает у+1 ( а,1 д1, = а + агсе4п —; — - ~1 — --'- ~— 2 1 ю~/ С помощью элементарных формул тригонометрии легко устано- вить, что кривые, определяемые дифференциальным уравнени- ем (18.11), составляют с осью Ох углы О ~ о. Течение типа простой ооони 7+1 . '~' — 1 — е,1 агсв1п — — 1 = сопвФ . (18.15) 2 1 а~ Характеристики (18.15) в плоскости годографа Ге и Г являются отображениями характеристик Се. и С . в физической плоскости. Поэтому формулы (18.15) можно трактовать как комбинации искомых функций го, д, остающиеся постоянными вдоль характеристик Се и С в физической плоскости (аналог инвариантов Римана). Разумеется, зти формулы справедливы лишь в случае потенциальных течений, для которых верно исходное уравнение (18.12).
Подчеркнем, что конечные формулы (18.15) не зависят от конкретного течения, т. е. пе зависят от граничных условий задачи, а являются универсальными соотношениями. Кривые (18.15) называются эпициклоидими. Они располагаются в кольце 6+1 а,<го< а„=штах 1/з-1 (18.16) катящейся по окружности радиуса а„без скольжения в одну и другую сторону.
Течение типа простой волны Дадим следукпцее определение: простой волной будем называть течение, в котором один из инвариантов Римана (18.15) является абсолютной константой. Иначе говоря, комбинация искомых переменных ао, 0 одинакова на всех линиях Маха одного семейства. Другими словами, вся область течения в физической плоскости отображается в одну зпициклоиду. Для краткости формулу (18.15) перепишем так: ,7~ = О ~ ~(т) = сопв1, (18.17) 7+1/ а,1 ф(го) = агсв1п ----- 1 — ---* — агсв! и — — 1 и представляют собой траектории точки окружности радиуса Лввция 1В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
