В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Поскольку решение зависит только от О, получим систе- му обыкновенных дифференциальных уравнений др, дие 2гри„в1п д + геб яп д — + рг яп д + робг сов д = О, (21.1) е1о„ие е1ое о, ие 1 Нр Нр з др е10 ' е ЫО г рг НО' Ю е10 Исключая давление их двух последних уравнений (21.1): а ЙР ( Йие ') (4и„4 о 4и„ р 10 1 00 " 1 1 10,10а 10 -- — еб --- + егид = — — — "- — —.'- + — —" ие, (21.2) и подставляя второе уравнение (21.1) и уравнение (21.2) в первое уравнение (21.1), получим одно уравнение для радиальной составляющей скорости е,.: е„+,' = а," + " саид+ 2и, (21.3) Скорость звука а вычисляется из уравнения Бернулли а2 7 1 7+1а2 о2 '1и.
Поставим граничные условия: на конусе (еб = 0) е10 — — =0 при 0=0,; на ударной волне, которая из-за отсутствия характерного линейного размера также имеет форму кругового конуса с углом полураствора д„ е„= ю1 сов О, 1о„. /у — 1 2 = ю1япд ~ + при 0 — О, ОО ~,'у+1 (у+1)М~в1о Оу Имеем замкнутую краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка (21.3). Лишнее граничное условие (их всего три) используется для определения заранее не известного значения угла ударной волны О,.
Краевая задача 11 В.П. Стулов 162 Лекция е1. Неноеаорые вросшие тененил с ударными волнами решается численно при различных значениях у, М, д,. Имеются многочисленные издания таблиц обтекания конуса. Как и в случае обтекания клина, имеется предельный угол конуса д, , вьппе которого автомодельное решение отсутствует. Течение около вогнутой поверхности Пусть стенка искривляется с непрерывным изменением касательной в сторону потока. Поскольку образуется течение торможения, угол линий Маха вниз по потоку будет расти, и это может привести к их пересечению. решение при этом станет физически бессмысленным, так как каждая прямолинейная линия Маха несет на себе свои значения параметров потока. Трудность разрешается введением криволинейу ной ударной волны, зарождающейся внутри потока.
Начало ударной волны опреде- С~ ~ ляется первой точкой пересечения — н- С, бй линий Маха. Пусть для простоты эта точка располагается на первой линии Маха, отделяющий однородН1 ' ный поток от области возмущенно- Н77Т,О, ~ а го течения (рис. 21.4). Сформулиру- ем условие пересечения характерис- ~ "с.
21.4 Обтека""е "ог"у тик. Будем двигаться вдоль прямой л = сопв$ в сторону увеличения р. При этом движении пересекаем характеристики С г с изменяющимся параметром ~р 1см. формулу (18.29)). Если характеристики С не пересекаются, то параметр уо меняется монотонно; напротив, пересечение линий Сд означает нарушение монотонности изменения у. Поэтому условие пересечения имеет вид = О.
дф Определим координаты этой точки, пользуясь уравнением Сд -характеристик в простой волне д — 1'(р) = 1й( *, +, — и Ц* — Х1р)). ~21.4) Напомним, что угол скорости о связан с параметром со в простой волне соотношением l~-'Г 0 = о1+ о1 — у — агс1в ~ с1я ~/ ео . 121.5) ~,+1 ~/,+1 Течение около вогнутпов поверхности 163 Вычислим ду/део ~ с помощью (21.4), (21.5) при У = О, Х = = О, У' = О, д = О (напомним, что 0 = д(р) (21.5) входит в (21.4) через уравнение стенки Х = Х(0), У = У(д)): дд, 1Х 1В д1о Ю дуг 1 (х — Х) + сов (а~+ а' — сг) / аХ'1 1В +1й(а + се*1 — р) ~ — ~ — = О. аВ ( 1~ Подставляя значения на начальной характеристике, получим координаты искомой точки (х„д„): * 7+1 Видно, что если с10/АХ = О, т. е.
стенка искривляется с непрерывной первой и второй производными, то ударная волна не может начинаться на первой линии Маха., а только внутри области возмущенного течения. Лекция 22 АЭРОДИНАМИКА ТОНКОГО ПРОФИЛЯ КРЫЛА Лииеаризация уравнения для потенциала. Дозвуковое и сверхзвуковое обтекания тонкого профиля. Формулы подъемной силы. Околозвуковой закон подобия для тонких тел. Следующие четыре лекции посвящены задачам внешней аэродинамики. Как уже отмечалось во введении, теоретическая основа современной летательной техники состоит из трех основных проблем: теории несущей поверхности (теория крыла), обтекания удлиненных, относительно топких тел (аэродинамика фюзеляжа самолета и ракеты)., обтекания коротких плохо обтекаемых тел типа сферы (аэродинамика спускаемых аппаратов).
Эти проблемы обсуждаются ниже. Линеаризация уравнения для потенциала и интеграла Бернулли Одним из наиболее развитых методов в задачах внешней аэродинамики является метод малых возмущений. Предполагается, что форма тела такова, что при обтекании его потоком газа с большой скоростью производимые телом возмущения малы по сравнению с соответствующими параметрами основного потока. Рассмотрим потенциальные течения. Напомним, что даже в сверхзвуковом потоке потенциальность течения сохранится при наличии малых возмущений, поскольку изменение энтропии в искривленных слабых ударных волнах -- малая высшего порядка.
Представим полный потенциал д1 в виде суперпозиции потенциалов двух потоков, однородного и возмущенного: ~р1 = ич(х+ ~р), ~р1 = ш1 (1+ р,), ~ргу — — гг1ру (22.1) (рассматриваем случай плоского течения). Уравнение для потен- циала имеет вид (а — ~р1~ ) р1~, + (а — ~р~~э) р1эу — 2~р1~~р1л~р1~д — — О. (22.2) Дозвуковое обтекание тонкого ирофилл, закон Прандтлх — Глауорта 165 Подставляя (22.1) в (22.2) и отбрасывая малые члены, получим для потенциала возмущенного течения 2 Ю1 (1 — М,) р..+р„„=О, М,= —. а1 (22.3) Получим формулу для вычисления давления в слабо возмущенном потоке. В интеграл Бернулли 'Р1х+Р1у 7 Р 1 7+1 2 2 а, 7 — 1Р 27 — 1 7 1-1Р Р1 Р1 Отбрасывая в интеграле Бернулли малые высшего порядка, получим 1О1Фх + — = О; 1ар = — Р1и11 Фх. (22.4) Р1 Дозвуковое обтекание тонкого профили, закон Прандтля-Глауэрта Рассмотрим обтекание профиля крыла дозвуковым потоком. Условие непроницаемости на поверхности профиля запишется так: (1 + 1Рх) их + 1Ру иу 0~ (22.5) где и, иу — проекции нормали.
Так как профиль тонкий, то и мало, а иу — х1. Тогда граничное условие (22.5) принимает вид и х 1ру — — 0 и = — (22.6) ,юГ+ус / на отрезке (О, Ц оси Ох. Таким образом, для определения поля скоростей около профиля крыла имеем задачу (22.3), (22.6) и условие (22.4) для определения возмущений давления. Сделаем простое преобразование переменных: х' = х., у' = 1„/1 — М21 у, 1р' = у1 1 — М21 1р. (22.7) Получим 1р +1р„у =О., их х1о~„г=О. (22.8) подставим выражения р = р1+ Ьр, р = р1 + Ьр. Из интеграла адиабатичности установим соотношение Соерхзоукооое обтекание тонкого нрофила, гакоп Аккерета 167 д2 д ~ — (М',— 1) ~ =О оо 2 2 оа 2 (22.11) с граничным условием (22.6).
Имеем волновое уравнение (М2 ) 1), для которого легко вы- 2 писать общее решение. Обозначим ф = М2 — 1 и получим 2 'Р = Ь(х+ 0У) + 22(х — эУ). (22.12) Поскольку возмущения исходят от тела, то в верхней полУплоскости Решение описываетсЯ фУнкцисй 12г а в нижней полуплоскости функцией ~ы Пусть ~2(х) уравнение нижней линии контура крыла, ~2(х) .
уравнение верхней линии. Найдем произвольные функции ~2 и 12, применяя граничное условие. Рассмотрим верхнюю линию. Имеем и, = — е„2(х) (пренебрегая в (22.6) квадратом производной по сравнению с единицей). Тогда ~ру — — ~2(х) = — )3Ях), т. е. 72 = — — ~2(х). (22.13) 3 Итак, решение в верхней полуплоскости, удовлетворяющее граничному условию непроницаемости, имеет вид 1 р(х, у) = — — 6( — )1у). (22.14) Аналогично, для нижней полуплоскости получим решение у(х,у) = — 6( +6у). 1 (22.15) Очевидно, все параметры течения постоянны на линиях х— — Ду = сопве и х + Ду = сопвФ . Иначе говоря, решение задачи конструируется из течений типа простой волны. Наклон характсристик всюду одинаков это есть следствие линейного приближения. Вычислим давление на профиль с помощью (22.4).
Имеем Ьр ср —— , — — — 272„ 0.5 ргт~г 2, 2 ср2 = — — ~2(х), срг = — ~2(х). (22.16) с положительным направлением оси Ох. В силу сделанных вы- 2не замечаний об интенсивности ударных волн течение можно считать потенциальным. Уравнснис имеет вид Лекция 22. Аэродинамика рговкого нро4иля крыла 1ВЗ Вычислим силы, действующие на профиль. Необходимо проин- тегрировать формулы (22.16) по всему контуру: г'р —— ~ (р — р1)1 г1х — ~ (р — р1)2 е1х (22.17) о (положительным направлением вверх), силы считаем направление 1( 0.5 ргиэ~1 о о 1 ~ 1ь11х) + ь21х)] егх э1 Й + ь2) ~о о 2 4т = — — (Π— 2т) = —.
(22.18) Д Д Определим угол атаки: т о - 1я о = —. 1' Тогда (22.19) ~/М', — 1 Околозвуковой закон подобия для тонких тел Ранее (см. лекцию 17) мы показали, что потенциальное трансзвуковое течение с малыми возмущениями описывается нелинейным уравнением (плоский случай) И+ 1) р.р..
= р„„. (22.20) Поэтому решение задачи трансзвукового обтекания не будет столь же простым, как в предыдущих случаях. В связи с этим будет полезной информация, получающаяся из соображений подобия. Пусть имеем контур тела (22.21) где, как и ранее, 1, т -" размеры в направлении х, у. Это выражение называется формулой Аккерета (она дает коэффициент подъемной силы, который не зависит от формы тела). Околозвуковой вакоп подобия для топкик тел 169 Запишем граничные условия. На бесконечности и = 1о1, е = = О, т.е. 1о1 = а,(1+ уо ), т1 2 д. = — — 1 = — — (М, — 1), ру = О.
(22.22) а, т+1 На обтекаемом контуре — = ~п = ~У' = ~ — ~'(:) при у = О. (2223) Сделаем замену переменных 7+11-"' (22.24) а)а (7+1) т ее = —. Получим вместо (22.20) (22.25) 2ц~ — ео —,. = уо — „„. Граничные условия (22.22), (22.23) принимают вид ду 21(М1 — 1) дх 7+1 део — =О при у=ос, ду 1 ду — = ~ — ее,1'(У) = ~~'(У) при у = О.
(22.27) Видно, что вся задача (22.25) — (22.27) (при заданной функции 1(л)) содержит единственный безразмерный постоянный параметр К, называемый околоввукоеым параметром подобия. Лекция 23 СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ЗАТагНЛЕННЫХ ТЕЛ Постановка задачи сверхзвукового обтекания затупленных тел с отошедшей ударной волной. Основные понятия и определения. Принцип независимости от числа Маха. Численные методы решения задач. Крагкое изложение метода прямых. Метод установления. Постановка задачи Рассмотрим короткое тело произвольной формы, помещенное в сверхзвуковой поток. Поскольку возмущения от тела не могут распространяться вверх по А сверхзвуковому потоку, область возмущений должна быть отделена от набегающего потока ударной волной. Если обтекаемое тело имеет клинообразную (конусообразную) В передшою часть с углом полу- О' О раствора, меныпим предельного при данном числе Маха, то ударная волна присоединена к носку тела.
В противном случае имеем отошедшую ударную волну. В инженерных приложениях часто рассматривается обтекание так называемых затупленных тел с конечным радиусом кривизны в носовой точке. Для таких тел Рис. 23А. Сверхзвуковое об- текание сферы Одним из основных импульсов развития газовой динамики затупленпых тел послужили космические исследования, в частности необходимость разработки аэродинамики спускаемых аппаратов. В последующих двух лекциях излагается постановка газодинамической задачи и некоторые общие свойства течений, а также простые приближенные методы расчета сопротивления тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
