В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Все выводы, сделанные в теории прямого скачка, будут справедливы и здесь после указанной выше замены. В частности, имеет место и|„1 ) а1, ш г ( аг. Течение за косым скачком может быть как дозвуковым, так и сверхзвуковым. Поскольку и при переходе через скачок уменьшается, линии тока за скачком поворачиваются в сторону скачка.
Все термодинамические соотношения из теории прямого скачка без изменений переносятся на косой скачок. Рассмотрим закономерности, описывающие поле скоростей при повороте газового по- У тока в косом скачке. Для простоты и наглядности результатов будем ис- %'г пользовать модель совершенного газа с постоянными теплоемкостями. %~| |р Х Картина течения показана на О иг х рис. 20.1. Введем систему координат (х,р) так, чтобы направление оси Ох совпадало с направлением скорости перед ударной волной. волна Здесыр - угол скачка с осью Ох, угол направления скорости за скачком. Запишем условие сохранения касательной скорости.
Имеем ги 1 = и|1 соз|р| иу г = игсов|о+ игв|п1о. (20.10) Здесь ш | и ю,г -- касательные компоненты скорости до и после скачка. Четвертое условие из (20.9) запишется так: с1йр=," (20.11) и| — иг Выразим теперь нормальные компоненты: шн1 = и||в|п|Р, ш,|г = иов|пР— игсовР. (20.12) Подставляя их в формулу для отношения скоростей на прямой ударной волне, получим иг — иг с1я |р 'у 1 + 2 у — 1 2 (с1~ |р+ 1) г ° г |о| 'у + 1 ( у + 1)Мг| |йпг |о 'У + 1 ( у + 1)М| (20.13) 1оа Лекция 20. Стационарные течения газа е ударными волнами Исключая уз из (20.11), (20.13), получим уравнение поляры, связывающее компоненты скорости за скачком и2 и и2 с условиями в набегах>щем потоке.
Выражая у2 через и2, получим иг у — 1 2а21 у + 1 1у + 1) т (20.14) 1 2аг т1(ц11 "2) ('у+ 1)т11т1 — нг) + 2 2 Эта формула дает геометрическое место концов векторов скорости газа после поворота в произвольном скачке, помещенном в заданный поток газа. О использованием критической скорости а, уравнение ударной поляры несколько упрощается: игт1 — а„ 2 е2 — — 12о1 — и2) 2 2 (20.15) 2 2 2 ц11 а2н11 + аг у — 1 2 а, и2 = га1+ — '.
у+1 Ветви кривой, показанные штриховыми линиями, физического смысла не имеют, так как для пих и2 ) гон Каждая точка ударной поляры дает величину скорости за скачком, поворачивающим поРис. 20.2. Ударная поляра ток на Угол Х~ Равный полЯРному углу этой точки. Каждому углу, кроме предельного тта, соответствуют две точки, А и В, и два значения скорости. Иначе говоря, на заданный угол поток может повернуться в двух ударных волнах различной интенсивности. Точка А отвечает сильной ударной волне, точка В - слабой, и12(А) ( го2(В). Чтобы определить направление ударной волны, поворачивающей поток на угол т, нужно найти направление, для которого проекции отрезков го1(01ег) и и12(ОВ) одинаковы. Очевидно, это направление дается перпендикуляром 0112, опущенным на Формула (20.14) или (20.15) изображает гипоциссоиду (которая показана на рис,20.2), Точки Р(а~(гв1,0) и Я(ю1,0) соответствуют прямому скачку Ю и линии Маха.
Вертикальная асимптота имеет координату Косая ударная аолна 157 прямую ВЯ. В частности, при определении аскачкаь для точки Я получим р = а, т.е. линию Маха. Рассмотрим предельные формы ударной поляры. При М1 -э -+ 1 поляра стягивается в точку Р(а„О); здесь имеем К = О. При М1 — + оо имеем /7+1 ш1-+ ~) в„, и уравнение (20.14) описывает окружность аз — ю1) + ез =, ао,.
(20.16) с 7 2 1 2 7+1 ) (7+1) В этом случае для предельного угла поворота имеем 1 в1п Ктах— 7 (20.17) ра 27м1Гйп ~р — (7 — 1) (20.18) р1 Интенсивность ударной волны монотонно возрастает с ростом уо: при уо = агсГйп (1/М1) Ра Р1 при ~р = х/2 р, 27м', — (7 — 1) р1 7+1 Поскольку изменение энтропии в ударной волне однозначно выражается через р1/рз, из (20.18) вытекает, что за криволинейной ударной волной в однородном потоке энтропия будет различной на разных линиях тока. Это основной источник завихренности в сверхзвуковых потоках. Если в (20.16) положить 7 — > 1, то окружность будет касаться оси ординат. В этом предельном случае угол поворота потока в скачке равен углу скачка, а предельный угол поворота равен 90'.
При любых значениях 7 ) 1 предельный угол поворота потока в скачке с ростом числа М1 монотонно увеличивается от нуля до значения (20.17). Запишем отношение давлений в косом скачке: Лекция 21 НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЫЕ ТЕс1ЕНИЯ С пДАРНЫМИ ВОЛНАМИ Отражение ударных волн. Обтекание клина. Обтекание пластины под углом атаки. Обтекание конуса. Течение около вогнутой поверхности. Здесь рассматриваются простые стационарные течения газа, в которых определяющую роль играют положение и форма ударных волн.
Как правило, решения задач выража~отся в элементарных функциях. Рассматриваемые течения выступают элементами многих прикладных проблем современной летательной техники. Отражение ударных волн Из ограниченности величины;~,„(максимального угла отклонения потока в косой ударной волне) вытекают закономерности отражения косых скачков от твердой стенки или плоскости симметрии течения. Пусть однородный сверхзвуковой поток с числом Маха М1 движется вдоль твердой стенки (рис. 21.1, а). В падающем скачке, наклоненном под углом 1~1 к этому потоку, происходит по- Рис.
21.1. Регулярное отражение косой ударной волны ворот потока на угол ты Здесь т1 < Ха„(М1). Одновременно происходит уменьшение числа Маха до значения Мз < Мы В отраженном скачке поток должен повернуться обратно на угол ты Если а1 < Хтах(МЗ), то такОй пОворОт сОстоитсн и пОтОк за отраженным скачком будет вновь направлен вдоль стенки. При Обтекание каина этом угол отражения,Зз в общем случае нс равен углу падения Д. Эта конфигурация отражения косой ударной волны называется регуллрным отра ением, она показана на рис.
21.1, а. Расположение ударных поляр падающего и отраженного скачков показано на рис. 21.1, б. ОдиаКО МОжЕт СЛуЧИтЬСя, Чта т1 >;~ а,(МЭ), т. Е. УГОЛ Обратного поворота потока в отраженном скачке превышает максимальный Угол повоРота, так как Ма < М1, а т„,».„Уменьшается с уменьшением М. В этом случае поворот на угол г1 невозможен, и картина регулярного отражения разрушается, превращаясь в конфигурацию ударных волн с тройной точкой.
От тройной точки отходит поверхность тангенциального разрыва, так как сжатие газа в двух косых скачках в общем случае неэквивалентно сжатию в одном скачке. Такая конфигурация отражения называется моловским отраоесением ударных волн. Этот случай показан на рис. 21.2, а. Иногда говорят, что в этом Рис. 21.2. Маховское отражение косой ударной волны случае точка отражения падающего косого скачка «всплывает» относительно отражающей стенки. «Ножка» маховской конфигурации является криволинейной ударной волной, угол ее касательной с направлением стенки изменяется монотонно от угла наклона в тройной точке, обеспечивающего равенство давлений по обе стороны тангенцинльного разрыва, до прямого угла при пересечении с твердой стенкой.
При маховской конфигурации отраженный скачок также будет криволинейным, так как поток за ним представляет собой течение около криволинейной поверхности тангенциэльного разрыва. Расположение ударных поляр падающего и отраженного скачков в тройной точке показано на рис. 21.2, б. Обтекание клина Рассмотрим сверхзвуковой поток, натекающий на клин с углом полураствора т. Задача обтекания клина полностью решается введением косого скачка в вершине клина под углом ео.
160 Лекция с1. Некоторые простые теиеция с ударными оолвами Этот угол легко определить с помощью ударной поляры как направление, на которое векторы скорости до и после скачка проектируются в одну и ту же точку. В скачке однородный поток поворачивается на угол 11: параметры потока определяются соотношениями на косом скачке (см., например, уравнение (20.
18) ) . Из уравнения ударной поляры получаются два угла косого скачка, сильного и слабого. На практике всегда реализуется слабый скачок. Однако, если каким-либо способом задать повышенное давление в области вниз по потоку, может реализоваться сильный скачок. Если при заданной скорости набегающего потока М1,'с ) ) ~„„„(М1), то задача обтекания бесконечного клина сверхзвуковым потоком решения не имеет.
Если клип конечен, то образуется отошедшая криволинейная ударная волна, а расстояние отхода от вершины клина определяется размером клина. Обтекание пластины под углом атаки Пусть угол атаки о ( т „(М1). Тогда расчет всего течения состоит в двукратном использовании соотношений на косом скачке и в центрированной волне разрежения (рис. 21.3). Угол хвостового тапгенциального разрыва с набегающим потоком определяется из услоо вия равенства давлений па разрыве. Наличие такого разрыва вытекает из того факта, что скачки над и под пластиной имеют разные интенсивности.
с 2 1 3 ( 1 б т е ха в и е и Л е " к о в и Д е ь, ч о п о Д л а с и н о й Д а в тины под у ом а аки ление выше: чем над пей Аналогично решается задача симметричного (и несимметричного) обтекания ромба. Обтекание конуса Рассмотрим сверхзвуковое осесимметричное обтекание бесконечного кругового конуса с углом полураствора О,. Задача не имеет характерного размера, поэтому решение зависит только от полярного угла. Систему уравнений газовой динамики запишем в сферической системе координат г, й, ~р с центром в вершине Обтекание кониеа конуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
