В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 21
Текст из файла (страница 21)
2,~ (16.14) Таким образом., завихренность течения определяется переменностью в потоке константы Бернулли Но и энтропии о. Применим формулу (16.14) к случаю (плоских и осесимметричных) двумерных стационарных адиабатических течений. Векторное уравнение (16.14) имеет две компоненты: го$у = 1с и и О О О оо = 1иы — 3иео; ъ хгоФ»= имеем дНо де юео = — Т вЂ”, д, д,' дНо,, де — иоо = — Т вЂ”. ду ду' (16.16) Поскольку Но и о можно считать функциями только ф, получим иео = — — Т вЂ” —, — иео = — — Т вЂ” —. (16.17) 1Н, а~, Ь дР 4но дР „Ь О~ е1еУ дх Ц дх' 6Ф ду Ц ду 1с — — О д д дх ду и и О = 1с — — — = 1сео, (16.15) ,дх ду/ 128 Лекиин 1о. Даумерные етаиионарные течениа еыеимаеыого гоза Подставим (16.4) в (16.17) и получим (16.18) Потенциал скорости; уравнение для потенциала скорости в сжимаемом газе Рассмотрим плоское (р = 1) потенциальное течение.
Будем считать, что течение также является изэптропическим, т.е. энтропия во всем потоке постоянна. Такому случаю соответствует течение из однородного потока при отсутствии ударных волн либо со слабыми ударными волнами. Введем потенциал скорости деа дф и=,, и= дх ду (16.19) и получим уравнение для,р.
Для этого исключим плотность из уравнений неразрывности и движения; в последних поло- жим 8гае1 р = а ягае1 р, так как движение изэнтропическое: д ди др 2др ри — + ри — = — — = — а —, да ду дя дк' (16.20) ди ди др 2др ри — + ри — = — — = — а —. дк ду ду ду В двумерном течении завихренность потока ео определяется изменением Но и з от одной линии тока к другой. Таким образом, если двумерное течение начинается из однородного и всюду непрерывно, то оно является безвихревым (аг = О).
Важной причиной образования завихренности в течениях газа служат ударные волны. Мы уже видели, что энтропия на ударной волне терпит разрыв. Легко себе представить, что величина скачка энтропии зависит от интенсивности ударной волны (для слабых волн мы имели явную формулу). Далее, интенсивность ударной волны зависит от угла между скоростью набегаюрдего потока и ударной волной о (ниже мы точно установим этот факт; до сих пор рассматривался только случай сг = 90').
Таким образом, если в однородном потоке имеется криволинейная ударная волна, то за ней энтропия изменяется от одной линии тока к другой (а величина Но на ударной волне непрерывна), т. е. поток за такой ударной волной является завихренным. Потенциал скорости; ураанение длл потенциала скорости 129 Подставим (16.20) в уравнение неразрывности: др др ди ди и —,+и — +р —,+р —,=О, дх, ду дх ду (16.21) и ( ди ди'1 и ( дп дю 1 ди ди — —,„1и — +и — ) — —,1и — +и — ) + —,+ — =О, аа ~ дх ду) аа ~ дх ду) дх ду 1 — —, — + 1 — —, — — —,, — -+ — = О. (16.22) Подставим в (16.22) определение (16.19) и получим < 2 / 1 — — ) р + ~1 — — — ) руу —, ~р,у ке О.
(16.23) Нужно еще связать а со скоростью. Это можно сделать с помощью уравнения Бернулли. Выпишем его для модели совершенного газа: и +и а 1 у+1 + = — а~, и = ~р, и = ~ру. (16.24) 2 у — 1 2ч — 1 9 В.П. Стулов Исключая а~ из (16.23), (16.24), получим одно нелинейное уравнение для потенциала скорости р. В дальнейшем мы будем неоднократно возвращаться к уравнению (16.23). Подчеркнем, что уравнение для потенциала ~р является существенно нелинейным. В недавнем прошлом это служило серьезным препятствием для эффективного решения задач газовой динамики. С развитием численных методов эта трудность утратила свое решающее значение, однако для качественного исследования новых задач по-прежнему предпочтительнее иметь дело с линейными уравнениями.
По море развития газовой динамики четко обрисовались два пути эффективного решения двумерных задач газовой динамики для потенциальных течений: 1) линеаризация уравнения для потенциала; 2) переход к переменным годографа. Если первое направление в газовой динамике связывают обычно с немецкой школой гидроаэродинамиков (Л. Прандтль, Г.
Глауэрт, Дж. Аккерет), то основоположником второго направления по праву считается великий русский ученый академик С.А.Чаплыгин. Его классическая работа «О газовых струях» (1902 г.) считается источником всей современной газовой дина- мики [2Я. 130 Лекцин 16. Деумерные стационарные течение сысимасмаго гоза Переменные годографа. Уравнение Чаплыгина Оказывается, что в переменных годографа плоское потенциальное движение газа описывается линейным уравнением.
Под переменными годографа обычно понимают переменные, связанные так или иначе со скоростью движения газа. Это могут быть либо компоненты и, с, либо модуль и угол скорости ш, О, либо их нскоторыс комбинации. Ниже приводится уравнение для описания плоского потенциального движения газа, известное в литературе как уравнение С.А.Чаплыгина. Введем новую переменную (16.25) Ф = — со+ хи+ ус. Здесь со = у(х, у) — потенциал скорости. Его полный диффе- ренциал запишется так: с1са = ис1х+ иду = Й(их) — хс1и+ 4(иу) — усср, (16.26) с1Ф = И( — се+ их + иу) = х ди + у с1с.
Переход от независимых переменных х, у к переменным и, с совершается с помощью преобразования Лежандра, даваемого функцией (16.25) Ф = Ф(и, с) и формулами дФ дФ х= —, у= —, (16.27) ди ди вытекающими из второй формулы (16.26). Удобнее от переменных и, с перейти к переменным ш, О. Получим из (16.27) дФ а1пО дФ, дФ совО дФ х = сов Π—, — — —,, у = вш Π—, + — —.
(16.28) дт и дО' дт т дО Уравнения газовой динамики приводятся к одному уравнепик1 С. А. Чаплыгина [13]: Здесь а = п(ш) из уравнения Бернулли, Уравнение (16.29) широко использовалось для исследования околозвуковых течений. Лекция 17 ТРАНСЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОГО ГАЗА Особенности решения задач в переменных годографа.
Предельная линия. Уравнение Эйлера — Трикоми. Характеристики. Уравнение для потенциала плоского почти однородного трансзвукового течения газа. Особенности решения задач в переменных годографа Решение задачи в переменных годографа состоит из двух этапов. 1. Определение функции Ф = Ф(иц й), удовлетворяющей граничным условиям задачи. 2. Переход в физическую плоскость (ю, 0) =~ (л, д). Следовательно, для получения решения исходной задачи нужно пе только найти единственное решение Ф(ю, й), но и осуществить однозначный переход в физическую плоскость (т,, д).
Необходимым условием такого перехода является следующее требование:якобиан д(я, д) д(0, и) (17.1) не должен менять знак, проходя через нуль. Введем определение: линия ю = ю(д) (или у = у(л)), в каждой точке которой Ь = О, называется предельной линией. Покажем, что если при прохождении предельной линии определитель Ь меняет знак, то решение в плоскости (ш, д) становится комплексным.
Пусть Ь = О па линии ю = и~о(0), а производная дд/дО~ ф ф. О, т. е. поток в направлении у в этом месте переменный. Тогда Здесь рагсматривв|отгя методы описания н некоторые свойства плоских трансзвуковых течений. Анализ проводится на основе уравнения Чаплыгина и уравнения для потенциала в декартовых координатах.
132 Лекция 17. Трансзоуковые течения схсимаемого газа имеет место до д(х, у) д(ю, о) д(х, у) дх ду д(ю, о) д(ю, у) д(ю, у) дю так как Ь = О. Следовательно, функцию х = х(ю, у), которая получится из х = х(ю, 0), у = у(ю, д) путем исключения д, в окрестности линии ю = юо(д) при у = сопв1 можно предста- вить так: 1 дх х — хе — —, (ю — юо) 2 дю У (17.3) где вторая производная определяется, очевидно, на самой линии.
Она отлична от нуля, когда якобиан и вместе с пим производная от х в (17.2) изменяют свой знак при пересечении предельной линии. Из (17.3) видно, что по одну сторону от линии ю = юо(д) функция ю = ю(х) прн у = сопв1 будет комплексной. Формула для Ь получится, если производные подставить из формул замены переменных (16.28). После достаточно громоздких вычислений получим ю дддю ю дд 1 — г/ г дю" 1 д(д, ю) д(д, ю) д(х, ю) дВ дю га д(х, у) д(х, ю) д(х, у) дх ду ПРи ю < и всегда Ь > О, т.е. пРоизводные дд/дх~ и ди~ггдУ~ имеют одинаковые знаки. Иначе говоря, если мы будем в физической плоскости двигаться вдоль линии ю = юо = сопв1 так, что область ю < юо остается справа от линии, то вектор скорости будет монотонно поворачиваться против часовой стрелки, так как угол д должен монотонно возрастать. Этот результат принадлежит А. А.
Никольскому и Г. И. Таганову. Он используется иногда при анализе трапсзвуковых Отсюда видно, что в дозвуковом потоке (ю < а) всегда Ь > О. Предельные линии возможны только в сверхзвуковом потоке. Появление предельной линии означает, что в данном месте невозможно непрерывное течение. В потоке должны возникнуть ударные волны. Отметим, что в общем случае положение предельной линии не совпадает с положением ударной волны. Остановимся на одном важном факте, вытекающем из условия положительности якобиана в дозвуковом потоке.
Имеем Урааигиие Эйлера — Трахома — аналог уаааиеиил Чаилигииа 133 течений, так как остается справедливым и на звуковой линии линии перехода от дозвукового течения к сверхзвуковому, на которой ю = а, (критическая скорость). Уравнение Эйлера — Трикоми — трансзвуковой аналог уравнения Чаплыгина Стационарные течения, в которых происходит переход из дозвуковой области в сверхзвуковую (и обратно), называются смещенными или гарансзеууиовыми течениями. Как мы уже знаем, в сверхзвуковой области течения могут появляться ударные волны. Однако из проделанного ранее анализа общих свойств ударных волн следует, что при скорости газа перед ударной волной, близкой к местной скорости звука, интенсивность ударной волны слабая, и течение за такими ударными волнами по-прежнему можно считать потенциальным. Поэтому для анализа трансзвукового течения удобно пользоваться уравнением Чаплыгина после соответствующих упрощений.
Проведем эти упрощения при условии, что в рассматриваемой области течения имеет место ю — а — а,. Упростим уравнение Бернулли: а ю 1 1+1 3 а — ю 1 1+1 (аз — юз) (176) у — 1 2 21 — 1 *' у — 1 2з — 1 Считая а — ю и а„— ю малыми одного порядка, пренебрегая их произведением и квадратами, получим (17.7) Коэффициент в уравнении Чаплыгина для функции Ф прини- мает вид 1 — юг/аг 2(1 — ю(а) (э+1)(1 — ю/а,) (17.8) Подставим (17.8) в уравнение Чаплыгина. При малых отклонениях ю от а,, и при значениях угла 0 (ю/а, — 1) следует 3/2 пренебречь слагаемым с первой производной дФ/дд.
В результате получим дгф даф (17.9) дд (7+ 1) (1 — ю/а„) дю~ + 1З4 Лекция 17. Траксзвяковые течекия сисимаемого газа Замена переменной з1 = ('у+ 1)ив ', 1 — — = —,, (17.10) а, а, (т з 1)1!з приводит уравнение (17.9) к уравнению Эйлера Трикоми дФ дФ дд~ дг1~ (17.11) Аи з + 2Ви„и + Си„„+ со (и., ию и, х, у) = 0 определяются уравнением Ау'~ — 2Ву'+ С = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
