В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ее уравнение х = уъ'М~~ — 1 определяется замороженной скоростью звука аь Решение удобно строить в полярной системе координат. Для этого уравнения 119.4), записанные в характеристических пере- Решение в окрестности первой характеристики веера 149 менных, перепишем в производных по полярным координатам. Формулы перехода имеют вид д соя(р' — вх а) д тйп(ее* — 0 ~ а) 1 д д1х сова дт сока т др' Здесь также сделана замена д/др = — д/ду* в соответствии с формулой связи углов а1+ а1 — — ~р + ~р* (см. рис. 18.2). Урав- нения (19.4) принимают вид 2 Ме — 1 соя(~р* —  — а) др в1п(~р* — 0 — а) 1 др1 + — — ~ + рю соя а дт сока т 01в~ дв я!п(~р" —  — а) 1 д01 Т вЂ” Т, + , ~+Л вЂ” О дт сова т др) т + !соя (ее* — 0 — а) соя а (19.8) Ме 1 соя (ее' — 0 2 рю соя а + а) др яш (р — 0+ а) 1 д,о + дт сова т д~р дВ я1п(р* — В+ *) 1 д01 т — т.
+ , ~+л дт сока т д~р~ т ! соя (ее* — В + а) соя а (19.9) Здесь Ь вЂ” 1)е, Ме — 1 шае 2 2 + — ~ — — ) = О, (19.10) Л абдт дТ \ .~д, д,)- Продиффсрснпируем (19.8) по 9е и запишем результат на первой характеристике веера. После этого запишем (19.9) на первой характеристике веера (напомним, что запись на этой характеристике означает 0 = О, а = у* = а1, Т = Т„все параметры вдоль характеристики постоянны, но не их производные по р): Ленцил 1з.
Стационарное течение газа с релансацией 1оо ~„М~~ — 1 О~ —" — —, =О. (19.11) рта д р д~р Выражения дсе/др, дТ/дд и д7',/др вычислим с помощью еще нс использованных уравнений (19.2): второго, четвертого и пятого, т. е. уравнений в характеристической форме, записанных вдоль линии тока. На первой характеристике веера получим дT 1 др до 1 ~ у — 1 1 ~ др д'Т вЂ” — сов о~ — = до рср ду' д~р ри~а~ 1 2 Ц~/ д~р др (19.12) Подставляя (19.12) и дй/ду из (19.11) в (19.10), после несложных преобразований получим уравнение для др/др вдоль первой характеристики веера — †) — — †, — ( †, ) + — — = О, (19.13) 1 /дрЪ 1 др 1 /др'1' а, др й ( д~р) г др агт ( д~р) аа дд у — 1 е раг 2.ур о~ = ов = Г (+1срг(+1 Фактически уравнение (19.13) можно рассматривать как уравнение для разрыва нормальной производной давления вдоль первой характеристики веера, поскольку слева от нее, т, е, в однородном потоке, др/ду = О.
Начальное значение для др/ду при г = О получается из условия регулярности уравнения при г -э О: — = — аз. др д (19.14) е=а Это жс условие получится, если вспомнить, что предельным течением при малых г является замороженная центрированная волна разрежения. Решение лекции 18, а именно: формулы (18.32), (18.26) и вторая формула (18.21) дают условие (19.14). Решение задачи (19.13), (19.14) имеет вид (19.15) ду ехр(агг/аа) — 1 Произведение а~г, кроме константы размерности давления ра1, 2 содержит безразмерную комбинацию г((гаг), имеющую смысл отношения характерного времени течения к времени релаксации т. Видно, что с ростом г возмущение на первой характеристике веера стремится к нулю как ачгехр( — агг), т.е. почти экспоненциально затухает.
Характерной длиной затухания служит характерная длина релаксации тоь Переход и равновесию с точениях с коночными оозмугдсиилми 151 Переход к равновесию в течениях с конечными возмущениями на примере центрированной волны разрежения Решение (19.15) позволяет проследить эволюцию конечного возмущения, состоящего в обтекании угловой точки, по мере перехода неравновесного течения к равновесному. В неравновесном течении характеристики по-прежнему являются «носителямии возмущений, т.
е., как и в совершенном газе, разделяют области течения с разными дифференциальными свойствами. Однако, в отличие от совершенного газа, амплитуда возмущения вдоль граничной характеристики нс остается постоянной, а затухает на длине порядка характерной длины релаксации при переходе из области почти замороженного течения в область почти равновесного течения. Возмущенно как бы «уходити с первой характеристики веера, определяемой скоростью звука аг, по мере удаления от угла и концентрируется в окрестности характеристики, определяемой скоростью звука а„так что в предельном равновесном течении на бесконечном расстоянии от угловой точки первой характеристикой веера становится прямая х = уъ'М, — 1.
Это последнее обстоятельство полученным здесь решением не демонстрируется. Оно описано в монографии ~9], где приводится решение в линейном приближении при обтекании малого угла поворота. Данная эволюция возмущения изображена схематически на рис. 19.1 для величины элементарного падения дав- Рнс. 19.1. Элементарное падение давления глр в передней части цент- рнрованной волны разрежения 152 Лекцил 19. Стационарное течение газа с релаксацией ления на малом угле поворота в передней части центрированной волны разрежения Ьр = (др/доз)Ьу.
Если принять, что Ьу не зависит от г, то изменение Ьр целиком воспроизводит изменение др/доз в рассматриваемой области. Сплошные линии на разных расстояниях от угла показывают изменение Ьр. Из рисунка видно, как величина Ьр «переходит» с характеристики х = рМН~ — 1 на линию х = у М М, — 1, которая в предельном равновесном течении становится характеристикой. Лекция 20 СТАЦИОНАРНЫЕ ТЕх1ЕНИЯ ГАЗА С УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ Поверхности разрыва. Косая ударная волна. Ударная поляра (гипоциссоида). Предельные свойства в гиперзвуковом потоке. Здесь рассматриваются стационарные течения с ударными волнами.
В болыпинстве случаев ударные волны имеют вид кривых линий, так что течения за ними являются вихревыми. Поверхности разрыва Движение сплошной среды управляется законами сохранения массы, импульса и энергии. Отсюда вытекает, что при переходе через любую поверхность, включая возможные поверхности разрыва, потоки этих величин должны сохраняться. Потоки массы рч и энергии рч(Ь + ез/2), осуществляющие перенос скалярных величин р и р(6+ ез/2), сами являются векторами.
Поток импульса в невязком газе (20.1) П = Р+ рчч = рею+ рчч переносит векторную величину и сам является тензором. Пусть имеем произвольную поверхность разрыва. Выпишем соотношения, выражающие непрерывность указанных выше потоков через элементарную площадку с нормалью п. Используя, как и ранее, квадратные скобки для обозначения разности величин по обе стороны поверхности, в качестве непрерывности потоков массы и энергии получим ~ре„1 = О, рг„й+ — = О. (20,2) Поток импульса через площадку с нормалью н является вектором, равным скалярному произведению тензора П на и: П и = р13 и+ рч(ч п), П п1р+ ри~, рс 1е„, ре,ви„) . (20.3) В (20.2) и (20.3) г„, г ы г з компоненты вектора скорости в декартовой системе координат, одна из осей которой ориенти- 1о4 Ленцил 20.
Стационарные тененил газа е ударными волнами рована по нормали к площадке. При переходе через поверхность разрыва должны быть непрерывны все три компоненты векто- ра (20.3): [р+ ру„] = О, [Рит1сп] = О, [Ритгип) = О. (20.4) г'1 ~, рр.„') =г, ~р.„.з=г, [р „[гр — ")] = ° . [ри ]=О, (20.6) Возможны два основных типа сильных разрывов. 1. Пусть газ течет вдоль поверхности разрыва, не пересекая ее. Тогда уп = О, и первое, третье и четвертое соотношения из (20.6) удовлетворяются тождественно. Из второго соотношения (20.6) получаем условие непрерывности давления [р] = о. [20.7) Изменения плотности, касательной скорости и внутренней энергии при пересечении такого разрыва произвольны. Такая поверхность называется тангенцивльнызн разрывом.
2. Если газ перетекает через поверхность, то с учетом первого и третьего соотношений из (20.6) условия на разрыве можно переписать так: ~р З = г, ~ р р „$ = г, [Й р †"] = г, ~ ~ = ° . ргг.г) Такая поверхность называется ударной волной. Косая ударная волна В плоском нли осесимметричном течениях поверхность разрыва представляет собой цилиндр, или поверхность вращения.
Используя принятое ранее обозначение для вектора скорости и, запишем условия на ударной волне в плоскости течения следую- щим образом ~р...]= °, (ррр '„1 =г, [рр —,"] =г. Ы,|=г. ~гг.г) Рассматривая элементарный участок ударной волны в плоскости течения, будем ~оворить далее о прямолинейной косой Последние два условия (20.4) можно записать как одно условие непрерывности касательной к поверхности компоненты скорости [рспьт] = О.
(20.5) Окончательно, полная система условий на поверхности разрыва имеет вид Ковал ударнал волна ударной волне, составляющей угол |р с направлением втекающего в пее потока газа. Заметим вначале, что первые три условия (20.9) совпадают с условиями на прямой ударной волне (|р = |у у'2) с заменой ю„= = и. Далее остановимся главным образом на преобразовании поля скоростей при переходе через косую ударную волну. Последнее соотношение (20.9) определяет условия поворота потока в косом скачке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
