В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(23.9) у=в лв Лекция хо. Сверхзвуковое обтекание затуиленных тел пристрелки. Метод состоит в подборе неизвестных координат ударной волны на лучах путем удовлетворения условия непроницаемости в точках пересечения лучей с поверхностью обтекаемого тела. На каждом этапе пристрелки решаются обыкновенные дифференциальные уравнения (23.7), (23.8). С ростом эффективности вычислительной техники основным методом решения обсуждаемых задач становится метод установления в различных вариантах. Идея метода состоит в решении нестационарных уравнений и нахождении искомого стационарного течения как предела при больших значениях времени.
Преимущество состоит в том, что при таком подходе решаются уравнения гиперболического типа, для которых легче выполнить условия устойчивости. Существуют многочисленные реализации идеи установления; основное их различие состоит в способах аппроксимации уравнений во внутренних точках. Одной из наиболее распространенных является схема Мак-Кормака, опубликованная в 1969 г. [28! (см. также (29)). Лекция 24 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ОБТЕКАНИЯ ЗАТЪ'ПЛЕННЫХ ТЕЛ Сопротивление загупленных тел в сверхзвуковом потоке. Формула Рэлея для давления в кригической точке.
Формула Ньютона для давления на лобовой части тела. Формула Вуземана. Закон подобия для течения в окрестности линии торможения. Здесь приводятся простые формулы для описания главных элементов течения газа около головной части затупленного тела. Часть этих формул основана на точных свойствах сверхзвуковых течений, другие носят приближенный характер и получены из общих закономерностей либо на основе численных решений. Формула Рэлея Мг пг Рз Рг пгр, 2+(У вЂ” 1)Мг 1 Мг пг рг рг п,рг 2уМг — (.у — 1) Мг Согласно последней формуле (23.4) безразмерное давление за прямым скачком равно 2 у — 1 1 24.2 Рп у+1 у+1 7М ( ') Чтобы вычислить давление в критической точке, запишем усло- вие адиабатического сжатия вдоль осевой линии тока в ударном слое: ро / у — 1 217 Л ц — = (1+, ЪЛз) Р2 (24.3) 12 В.П.
Стулов Вычислим давление в критической точке затупленпого тела. Эта величина формируется в результате перехода набегающего потока через прямой скачок на оси симметрии и последующего адиабатического торможения до нулевой скорости. Вначале получим значение числа Маха за прямым скачком. Из формул (23.2) при гр = гг,У2 имеем 178 Лекция е4.
Оеноанне яакономерноети обтекания затунленн11х тел Объединяя формулы (24.1), (24.2) и (24.3), получим формулу Рэлел для давления в критической точке, отнесенного к руи11~: ( 2 у — 1 1 ) ~ у — 1 2+(у — 1)М1 1 2 ~ 71(7 1) '+ — — — —::--'- 1 7+1 у+1 7М~~) ~ 2 27М~1 — (у — 1)~ (24.4) После несложных преобразований формулу можно записать так: Отсюда получим следующие предельные значения; е(7,7/(7 — ) 1 (7-е1)/(7 — 1) Формула Ньютона Как уже говорилось, вычисление сил, действующих со стороны потока газа на обтекаемое тело, является одной из основных задач аэродинамики.
Здесь большое значение имеют простые приближенные соотношения, позволяющие быстро оценить величину сил. Первый большой результат в этой области был получен Исааком Ньютоном. Считалось, что среда состоит из отдельных тождественных частиц, равномерно распределенных в пространстве и не взаимодействующих между собой. Вводится следующая модель взаимодействия этой среды с поверхностью тела: при встрече с элементом поверхности происходит абсолютно неупругий удар, при этом частица полностью передает телу нормальную к поверхности составляющую импульса, а сама скользит вдоль поверхности со скоростью, равной касательной составляющей (заметим сразу, что эта схема напоминает поведение газа при переходе через сильную косуху ударную волну).
Такая схема уже легко позволяет подсчитать сопротивление тела. Вычислим давление. Сила воздействия среды па элемент поверхности тела ЬЯ равна измепениуо количества движения ().Р. За единицу времени с элементом ЬЬ сталкивается масса Ь))Х = Р1и11ЬЯэ1по, Формула Буаел«ана 179 где о — угол наклона элемента поверхности тела к набегающему потоку, т. е. угол между вектором скорости и касательной к по- верхности тела в данной точке. Тогда ЬР = ю1 яп о Ь114 = р ю~ ЬЯ яп о Формула для давления имеет вид 2 2 р = — --, = р1ие1 яп о.
ЬБ (24.6) Полная сила сопротивления получается интегрированием соотношения (24.6) по всей «атакующей» (о ) 0) части поверхности тела. Описанный подход совсем пе позволяет вычислить давление в «аэродинамической тени». Сравним приведенную здесь схему расчета и формулу Ньютона (24.6) с точным решением уравнений газовой динамики на примере обтекания клина (течение с косым скачком). Угол скачка на клине определялся с помощью гипоциссоиды, которая при М1 -» оо переходит в окружность с центром и радиусом соответственно О,( '",ю„о), Л= Если 7 — э 1, то радиус й — э ю1/2 и становится равным абсциссе центра окружности, т.е. окружность касается оси ординат. Из способа построения скачка следует, что в этом пределе углы клина и скачка совпадают, т. е.
скачок лежит на клине. Газ, пройдя скачок, движется вдоль клина в бесконечно тонком слое (так как касательная составляющая скорости на скачке сохраняется). Вычислим давление: р . з ( 2 у — 1 1 2 — — =яп о -»яп о, р~ю~~ 1,7+1 'у+1 уМ1еш о/ (24.7) т, с, для давления в точности получаем формулу Ньютона. Итак, схема Ньютона является асимптотическим решением уравнений гаЗОвОй динамики при М1 — » ОО, Т -+ 1. Формула Буземана Схема Ньютона хорошо описывает переход газа через ударную волну, в частности давление за ударной волной. Всегда ли эта схема будет пригодна для описания взаимодействия газа с телом и для распределения давления на теле? Легко себе представить, что при обтекании криволинейной поверхности на 180 Лекция е4.
Основные закономерности обтекания затунленных тел конечную массу газа, движущуюся по криволинейной траектории между телом и ударной волной, действует конечная же центробежная сила, которая должна быть уравновешена конечным перепадом давления. Формула Ньютона дает давление непосредственно за ударной волной, так что давление на теле должно отличаться от величины, даваемой формулой (24.6). На клине это отличие равно нулю. Вычислим искомый перепад давления. Рассматриваем плоское или осесимметричное течение. Условие равенства перепада давления центробежной силе леР', действующей на элемент объема газа Ьп Ьх1(х) (1(х) = 1 плоское течение; 1(х) = 2кг(х) осесимметричное течение), имеет вид (рис.
24.1) Ьг р(х, х') скн и (х') Ьр— (24.8) Цх) елх Л(х) Здесь х, х' — продольные координаты изучаемого объема и входа в ударный слой струйки газа, содержащей изучаемый объем Рис. 24.1. Вывод формулы Буземана соответственно, ге -. радиус кривизны поверхности тела. Скорость газа в струйке считается постоянной. Условие сохранения массы дает р1уз~ Ь Я(х') = р(х, х') и(х') 1(х) Ьп. (24.9) Здесь Я площадь поперечного сечения тела (Я = т — плоское течение; Я = кг -- осесимметричное течение). Выразим радиус Закон подобия длл течения вблизи линии тормозееенил 181 кривизны й через угол а касательной к образующей тела с на- бегающим потоком: 1 е1а . е1а — = — — = — я1п а — = — яйп а1х) — ' 11х).
(24.10) Л(х) е1х дг дБ Условие сохранения касательной скорости на ударной волне дает и1х ) = зо1 соя а(х ). (24.11) Подставляя (24.9)-(24.11) в (24.8), получим Ьр = — р1ео~~ я1п а1х) — — соя а(х') ЬЯ1х'). (24.12) Заменяя приращения дифференциалами и интегрируя от осевой линии тока до линии тока, втекающей в ударный слой в исследуемом сечении, получим Я да ) Ре — Рь = — Р1ш, Яйпа — ~ сова е1Б. дБ~ 0 (24.13) При обтекании выпуклого тела, у которого е1а/е1Б ( О, давление за ударной волной р, превышает давление на поверхности тела рь. Используя для р, формулу Ньютона, окончательно по- лучим 2 ° 2 рь = р1 из1 яш а + яш а — ~ соя а ЙБ о 124.14) Имеем формулу Буземвна, учитывающую центробежную силу, действующую на гяз при обтекании криволинейной поверхности.
Здесь давление в каждой точке поверхности тела зависит от ее формы выше по течению. Закон подобия для течения вблизи линии торможения Как уже отмечалось выше, теория Ньютона хорошо описывает свойства реального потока непосредственно за ударной волной, поэтому в 124.6) должна фактически входить форма ударной волны. Естественно предположить, что и вне условий применимости предельного подхода характеристики ударной волны могут служить масштабами течения во всем ударном слое. 182 Лекция е4.
Основные закономерности обтекания зотунленных тел Справедлив следующий приближенный закон подобия течений. Если за характерный размер задачи принять радиус кривизны ударной волны на оси симметрии Й„то свойства течения газа в дозвуковой области ударного слоя зависят от двух безразмерных параметров: максимального сжатия газа в ударном слое к и времени релаксации т. При обтекании равновесным и совершенным газом максимальное сжатие равно отношению плотностей в прямом скачке й = р„,1ре.
В случае пеизотермического течения в осевой части ударного слоя, как при наличии неравновесных процессов или излучения, плотность газа может меняться значительно, поэтому максимальное сжатие равно 1 1с = о (24.1б) Если в неравновесном течении имеется несколько процессов с различными скоростями протекания, необходимо ввести несколько параметров т;. Рассмотрим некоторые следствия.
Следствие 1. Отноисение отхода ударной волны е к радиусу кривизны скачка й, будет универсальной функцией сэесатил lс. В работе автора ~21] приведены многочисленные сравнения этого правила с результатами точных численных расчетов. Эти результаты в координатах е/Й„1с имеют вид узкой полосы, аппроксимируемой формулой (24.16) 1+ ь/8й~'3 с осо 1 2р1 2 р = ро + р1з . аз) Ро Следствие 2. Форма ударной волны в дозвуковой области ударного слоя удовлетворительно аппроксимируетсл окруэесностью радиуса Ле. Важным параметром для расчета течения и теплообмена в дозвуковой части ударного слоя служит так называемая скорость растекания газа в критической точке Ни/Йз, где з координата вдоль поверхности тела. Эта величина связана с характеристиками давления в окрестности критической точки следующим образом: Закон подобия для течения облили линии тормооееения 183 Для всех перечисленных выше течений справедливо Следствие 3.
Безразмерная комбинация 2 ее = 'ееР11 2 Р будетп унеееерсаяьной функцией сжатия. При очень большой скорости обтекания существенную роль за головной ударной волной играют физике2-химические превра щения в газе. На модели бинарной смеси было видно, что даже если компоненты остаются совершенными газами, уравнение состояния выражается весьма сложными функциями независимых термодинамических переменных. Опи еще усложняются для газовых смесей с болыпим числом компонент. Выберем в качестве независимых термодипамических переменных р и Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
