В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Из условий па ударной волне исключим компоне1ггы скорости, и получим два условия для термодинамичсских переменных в следующем виде: р —,„= 1 — — гйп 1р, тМ2 '1, р) (24.17) Задавая 6 = 6(р, Т), р = р(р, Т) (или 6 = 6(р, р)), получим два уравнения для определения р и Т за ударной волной. Используя закон подобия, решение можно существенно упростить. Так как течение определяется в основном сжатием газа в прямом скачке, можно расчет обтекания тела равновесной газовой смесью заменить расчетом обтекания совершенным газом со специально подобранным значением показателя адиабаты 7*. А именно, эта величина должна обеспечить сжатие в прямом скачке, равное этой величине при обтекании реальным газом с условиями на скачке (24.17).
Если число Маха М >) 1, то условие для выбора 7* имеет простой вид 6= . ', 7*=' (24.18) где 6 определяется из уравнений (24.17). В реальном газе сжатие в прямом скачке может быть значительно более сильным, чем в совершенном газе при 7 = 1.4 (т. е. 6 = 1/6). Из второй формулы (24.18) следует, что в этом случае 7* может быть достаточно близким к единице. Лекция 25 СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ УДЛИНЕННЫХ ТЕЛ Анализ порядков возмущений для тонкого тела в гипорзвуковом потоке.
Закон подобия при обтекании тонких тел погоком газа с большой сверхзвуковой скоростью. Закон плоских сечений. Заключительная лекция содержит элементы газовой динамики тонких тел. Приведенные ниже результаты основаны на асимптотическом анализе постановок задач в пределе больших чисел Маха. Анализ порядков возмущений для тонкого тела в гиперзвуковом потоке Рассмотрим движение топкого., заостренного впереди тела в газе с большой сверхзвуковой скоростью г'. Начало системы координат (точка О) поместим в переднюю точку тела, ось Ох вдоль набегающего потока, оси Оу, Оз -- в поперечной плоскости. Будем считать тело тонким и достаточно гладким, так что выполняются следующие соотношения; соя(п, и) = т, соя(п, у) = 1, (25.1) соя(п, г) — 1, т « 1, где соя(п,и) и т.д.
означает косинус угла между нормалью и к поверхности тела и соответствующей осью координат. Из условия непроницаемости на теле о соя(п, у) + ш соя(п, з) = — (1'+ и) соя(п, т) (25.2) и оценок (25.1) для области вблизи поверхности тела получим г — ш тЯ+ и) тМ.
(25 З) Здесь и, г, ш компоненты скорости возмущенного движения газа, вызванного движением тонкого тела в покоящемся газе. Естественно предположить, что оценки (25.3) сохраняются внутри всей области возмущенного движения. Прочие параметры оценим из условий па ударной волне. Для проведения этих Ап я з порядков возяеущеащу в епперзвуковозе потоке 185 дополнительных оценок используем соотношения на косой ударной волне. Будем считать течение осесимметричным, и рассмотрим его сечение меридиональной плоскостью Олд.
Условия на нормальную и касательную к скачку компоненты скорости для соверпуенного газа имеют вид ю — и сФку у — 1 2 1 е д 1 'у+1 'у+1 Мгяп у' 1~ = и + пуФяу. (25.4) Здесь у угол скачка, ие ву т-, у-компоненты скорости газа относительно скачка. Из второго выражения (25.4) получим формулу для модуля абсолютной скорости газа за скачком 1г.. Ъ~ —— (И вЂ” и,) + о„= о„16 у+ оу — — г" (25.5) Учитывая оценку (25.3), из последнего соотношения получим угу"к' т, так как сову 1 (сову не может быть малой величиной). Исключая и из (25.4), получим соотношение г ° г по 1г 2 Мгяп у — 1 (25.6) 'к'сову 'к' у+ 1 Мгяп у Используем его для оценки угла ударной волны у с набегаю- п1им потоком.
Реупая квадратное уравнение (25.6) относитель- но Муяпу, получим формулу .у+11г Муяп у = — + 4 аг Отскуда получим оценку угла у: г 1 1 г Муз|ну — — +1, япу — — + — — т+ —. аз у' Мг Мз Получим теперь оценку величины и. Из второго выражения (25.4) и (25.5) имеем и=И вЂ” и,,=кгя1пу 1т т+ ). М,) (25.7) япу $' Аналогично, используя формулы для изменений давления и плотности на косой ударной волне и оценку для яп у, получим оценки для этих изменений: 186 Лекцил уб. Соерхооукооое обтпеконие тпонких удлиненомх тел ~Р=Р Р1=Р1 хта 1+ Мтт) (25.8) Ьр р — рт Мтт рт рт Мтт+ 1 Для формы ударной волны получаем следующие оценки: сов(п„х) = в1п ут — т 1+ ), М,т) (25.9) сов (п„у) — сов (п„х) 1. Формулы (25.1), (25.3), (25.7), (25.8), (25.9) дают полное представление о характере возмущений, вызываемых тонким телом в сверхзвуковом потоке.
Уместно рассмотреть два случая. 1. Если М1 — 1, то и — атт, и — ш — Ътт, — М1т, — — Мтт, (25 10) Ьр ~1р Рт Рт и — 1тт, и — то — 'йт, — — Мтт, — — 1. (25.11) 2 ~Р 2 2 Р Рт Рт При Мт — 1 сов(п„х) — 1/Мы а при М1 » 1 (Мтт — 1 или Мтт » 1) сов(п,„,х) — т. Во-первых, возмущение продольной скорости малая более высокого порядка, чем возмущения поперечных скоростей. Во-вторых, возмущения давления и плотности пе малы.
Таким образом, при очень больших скоростях обтекания тонких тел следует применять нелинейную теорию. Закон подобия при обтекании тонких тел с большой сверхзвуковой скоростью Рассмотрим обтекание тонких аффинно подобных тел, задаваемых уравнением (в безразмерных независимых переменных, отнесенных к продольной длине) Р' (х, —, — ) = О. (25.12) т. е. все возмущения малы, и можно применять линейную теорию. 2.
Если М1 » 1, так что М|т = 1 или М1т » 1, то Закон подобия при обтекании тонких тея Система координат связана с телом. Полная система уравнений газовой динамики в этой системе запишется так: др('е'+ и) д(ри) д(рю) ди ди ди 1 др ( к' + и) -,—. + и — — + ю —,—. = — — — -, дх ду де р дх' ди ди до 1 др (к'+и) +и — +ю — = — — —, (25.13) дх ду де р ду' дю дю дю 1 др (Г + и) —, + и —, + ю —, дх ду де р дх' (, + д(Ир') + „д(Мр'") + д(р/р'") й д " ду +" д.
р = уМ1т р1р, 2 2 г (25.14) и= Ъ'т и, и = Ъ'ти, и= 'к'тю, р=р1р, х=х, у=ту, Подставляя (25.14) в исходные уравнения (25.13) и отбрасывая члены порядка т, получим др' д(р'и') д(р'ю') ди', ди', ди' 1 др' ди', ди', до' ! др' д ! д 7 д 7 Ф д 'х 'у 'е р у (25.15) дю', дю', дю' 1 др' дх' ду' де' р' де' ю +и ~ т +ю ~ ю Если теперь записать полные граничные условия на теле и на ударной волне и привести все соотношения к безразмерным независимым переменным, выбирая в качестве масштабов условия в набегающем потоке, то получится, что вся постановка задачи содержит три безразмерных определяющих параметра:у, М1ит. Учитывая оценки параметров возмущенного течения при обтекании тонких тел гиперзвуковым потоком (25.11), проведем следующую замену переменных в уравнениях (25.13) и в соответствующих граничных условиях: 188 Лекция еб.
Саерхяеукоеое обтаекание тпоиких удликектимх тел Подставляя (25.14) в граничные условия на ударной волне и отбрасывая члены порядка те, получим, что эти условия совсем пе содержат определяющих параметров М1 и т. Это же относится к условиям на поверхности тела и на возможных внутренних разрывах. Условия в набегающем потоке, т. е. перед головным скачком, запишутся в новых переменных так; и'=х'=ш'=О, р'=1, р'= — ~ ~-. (25.16) зМтт Отсюда следует, что определяющие параметры задачи М1 и т для тонких тел входят в постановку задачи лишь в произведении М1т. Параметр Мгг называется параметром подобия при обтекании тонких тел с большой сверхзвуковой скоростью. Указанный закон подобия удобно использовать в эксперименте.
Пусть требуется изучить обтекание тонкого тела при болыпом значении Мн Тогда можно поставить эксперимент для более толстого (аффинно подобного) тела при М2 ( Мн причем отношение характерных толщин натуры и модели должно равняться Мз/Мн Данный закон подобия, разумеется, пе противоречит принципу независимости от числа Маха. При фиксированном т и М1 -+ со картина течения стремится к предельному состоянию !напомним, что это относится к переменным, отличающимся от !25.14)). Закон плоских сечений при обтекании тонких тел Вернемся к размерным переменным в первом, третьем, четвертом и пятом уравнениях из (25.!5). Получим др д(ри) д(рю) дх ду дх д ди д ! др à — +и —,+то —,+ — — =О, дх ду дх р ду (25.17) ди~ дш дю 1 др !т — + о —, + то — + — — = О, дх ду дх р де — — +и — — +и — — =О, Закон плоских сечений куи обтекании тонких тел 189 Если положить | = х/'к', то получим систему уравнений плоского нестационарпого движения газа.
Аналогичное относится к приближенным соотношениям на ударной волне. Условие на поверхности тела принимает вид дР' дР' др +е +ш =О. д1 ду де (25.18) Его можно рассматривать как результат вытеснения газа порш- нем, движущимся в плоскости (у, г) по закону (25.19) Соотношение (25.19) задает в каждый момент времени 1 форму поверхности поршня у = у (г) в неявном виде. Иначе говоря, задача о стационарном обтекании тонкого тела потоком с большой сверхзвуковой скоростью эквивалентна (с точностью до величин — т ) задаче о нестационарном разлете (вытеснении) газа. Разумеется, указанное правило, называемое законом плоских сечений, непосредственно следует из приведенных выше оценок, где было показано, что при большой скорости обтекания относительное продольное смещение частиц газа малая более высокого порядка по сравнению с поперечными смещениями.
СПИСОК ЛИТЕРАТЪ'РЫ 1. Белоцерковский О. М. Обтекание кругового цилиндра с отошедшей ударной волной 0 Докл. АН СССР. 1957. Т. 113. № 3. С. 509 — 512. 2. Белоцерковский О. М. и др. Обтекание затунленных тел сверхзвуковым потоком газа. — Мл Вычислительный центр АН СССР, 1967. — 400 с. 3. Брей К.Н. Ч. Рекомбинация атомов в соплах гиперзвуковых аэродинамических труб // Гидродинамика и теплообмен при наличии химических реакций. Мл ИЛ, 1962. — С.
488 †5. 4, 1'илинский С.М., Теленин Г. Фя Тиняков 1'. Н. Метод расчета сверхзвукового обтекания затупленных тел с отошедшей ударной волной 0 Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1964. № 4. С. 9-28 5. Годунов С. К, и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
