В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Повгаановка вадачи 171 ударная волна всегда будет отошедшей. Здесь рассматриваются свойства течения в окрестности лобовой части тела. Итак, область возмущенного течения заключена между отошедшей ударной волной и поверхностью тела (рис. 23.1). В плоском и осесимметричном случаях течение описывается стационарными двумерными уравнениями, которые неоднократно выписывались ранее. В качестве граничных условий рассматривается условие непроницаемости па поверхности тела (23.1) гоа = О. Далее, на искривленной в общем случае ударной волне следует задать уже известные нам условия Ренкина — Гюгонио. Отметим, что положение и форма ударной волны заранее не известны и должны быть найдены в процессе решения. Для модели совершенного газа с постоянными теплоемкостями имеем Рг айаг 2 у — 1 2 ° г + Рг гоог (у+1)М, в!и 1о у+1 (23.2) рг 2'у 2 .
2 у — 1 Му в1п ~р— р, у+1 ' у+1' Шгг = Югм гваг = гвга1ПФ, Ь Ы = гог СОЗ1О, пг = гоагз1п1о — гоггсовф, сг = — шагсозф+ш,гв|п~р, где иг, ег декартовы компоненты скорости за ударной волной. Перейдем к безразмерным переменным, чтобы выявить основные определяющие параметры задачи. В качестве масштабов выбираются следующие величины: выбираем Д, шы Ру Руго1 2 для л,у для и,п для р для р (23.3) Легко убедиться, что уравнения сохраняют исходный вид. Не изменяется также условие па поверхности тела (23.1).
Рассмотрим изменение условий па ударной волне. В безразмерных переменных получим 172 Лввкив ззх Свеу!азвуяввве вбтехавие затлазв!в!ь!х тва у — 1 2 шп2 = вп!Р + 'у + 1 ( у + 1) М~~ ейп !в ш,в = сов!у!, !' — 1 2 Рз— !— ! + 'у + 1 ('у+ 1)М~ Б!и !в (23з4) з 2 у — 1 1 р2 = 8!и 'у+ 1 'у+ 1 уМ!з!в !р Основные понятия и определения Область возмущенного течения между ударной волной и поверхиостью тела называется ударным или сжатым слоем. Ниже рассматривается частный случай осесимметричиого или плоского симметричного течения. На линии симметрии ударная волна ортогопальпа потоку, так что здесь течение за прямым скачком дозвуковое. Точка О пересечения линии симметрии с поверхностью тела (см.
рис. 23.1) называется критической точкой, а отрезок О'О линией торможения. По мере обтекания лобовой части тела газ ускоряется и в некотором месте иа каждой линии тока переходит через скорость звука. Геометрическое место этих точек перехода иазываотся звуковой линией. На рис. 23.1 она показана штриховыми линиями. Ниже по потоку от звуковой линии течение сверхзвуковое. В каждой точке сверхзвукового течения возмущения распространяются вниз по потоку в угле, образованном линиями Маха двух разных семейств, проходящими через эту точку. Одна из этих двух линий Маха может в принципе касаться звуковой линии; тогда возмущения из рассматриваемой точки достигнут звуковой линии и повлияют иа течение в дозвуковой области.
Поэтому вводится понятие предельной характеристики это последняя (считая вниз по потоку) характеристика, имеющая общую точку со звуковой линией. Предельная характеристика служит границей между трапсзвуковым и сверхзвуковым течениями в ударном слое. Как уже отмечалось, форма ударной волны определяется в процессе решения задачи, и, следовательно зависит также от входящих в постановку задачи параметров. Итак, при фиксированной форме тела решение зависит от двух безразмерных параметров, у и М. Понятие о чнсленних методах расчета обтекания оатупленних тел 173 Принцип независимости от числа Маха В силу сверхзвукового характера течения за головной ударной волной (в большей ее части) непосредственно на течение вблизи тела влияет лишь часть ударной волны АО'А'.
Легко себе представить, что при любых числах Маха на АО'А' величина в1п уо ограничена снизу, так как в|п со -+ 0 лишь асимптотически на больших расстояниях от тела при М1 -э оо. Тогда из формул (23.4) видно, что при М1 — э оо величина М1 исчезает из полной постановки задачи для области АО'А'В.
Таким образом, обтекание тел фиксированной формы при больших значениях числа Маха набегающего потока М1 не зависит от этого параметра. Это правило называют принципом независимости от числа Маха. Разумеется, речь идет о введенных здесь безразьчерных переменных. В пределе М1 — э оо условия (23.4) превращаются в условия на сильной ударной волне. Понятие о численных методах расчета сверхзвукового обтекания затупленных тел На основании изложенной выше полной постановки задачи сверхзвукового обтекания затупленных тел легко понять, что здесь исследователи имеют дело с одной из самых сложных задач математической физики. Это краевая задача для нелинейных уравнений в частных производных. Дополнительная трудность состоит в том, что часть границы, а именно головная часть ударной волны заранее не известна и должна быть определена в процессе решения.
Кроме того, задача по существу является трансзвуковой, т.е, область течения содержит как дозвуковое течение, так и сверхзвуковой поток, в которых закономерности распространения возмущений, формирующих течение, существенно различны. В современной математике не существует точных аналитических методов решения таких задач. Действительно, основной прогресс в решении этой задачи был достигнут с использованием численных методов.
Бурное развитие этого научного направления с применением быстро прогрессирующей вычислительной техники относится ко второй половине ХХ века. Одно из первых плодотворных направлений носит название метода интегральных соотношений. Первая публикация относится к 1957 г. [Ц. Позднее направление получило широкое развитие в работах группы ученых, учеников академика О. М. Белоцерковского с использованием всех основных современных моделей сжимаемого газа для широкого класса форм тел, имитирующих основные типы космических спускаемых аппаратов.
174 Левиив евь Свеуаввукввае вбеаевавие ватуеыеовмя тел Систематическое изложение этих расчетных результатов имеется в коллективной монографии (2!. Другой подход к численному решению этой задачи предложил профессор Г.Ф. Теленин. В мировой литературе метод получил название метода прямых. Первая публикация относится к 1964 г. [41 Как и метод интегральных соотношений, метод прямых применялся позднее для решения широкого круга практических задач ракетно-космической техники. В частности, в 1971 г. метод прямых позволил воспроизвести основные детали газодинамического обтекания спускаемого аппарата сегментально-конической формы, видимые на его лобовой поверхности после приземления. Результаты применения метода прямых к задачам сверхзвукового обтекания тел с явным учетом основных эффектов высокотемпературных газовых смесей приведены в монографии (22].
Дадим здесь краткое изложение метода прямых на примере обтекания сферического затупления. Вначале система уравпений газовой динамики записывается в сферической системе координат с полюсом в центре сферы. Затем область между отошедшей ударной волной и поверхностью тела (ударный слой) преобразуется в полосу путем перехода от сферических координат (г, В, ев) к новым переменным ((, 0, ев): (— т — гь(В) г — гь(В) (23.5) г,(В) — гь(В) е(В) В силу осевой симметрии решение от у не зависит. Здесь гь(0), г„(0) меридиональные сечения тела и ударной волны соответственно.
Описанные выше граничные условия (23.1), (23.2) (или (23.4)) формулируются теперь при ~ = 1 (ударная волна) и при ~ = 0 (поверхность тела). Метод решения состоит в следующем. В верхней части меридиональной плоскости проводятся п лучей 0 = сопв1,. Все искомые функции аппроксимируются по их значениям на лучах в виде полиномов степени 2п для четных функций и степени 2п + 1 для нечетной функции у (здесь и, о радиальная и окружная компоненты скорости) а в '~ ~о(ье) Взб „т '~'уо(ье) Взбэ1 (23 б) у=о В=о Эти аппроксимации позволяют выразить производные искомых функций по 0 через значения функций на лучах. Эти выражения затем подставляются в исходную систему уравнений, которая после этого принимает вид системы обыкновенных Початое о числетных леетодах расчета обтенанил затопленных тел 175 дифференциальных уравнений для значений функций на лучах.
В частном случае трехлучевой схемы (и = 2) система для модели совершенного газа принимает вид: вдоль оси симметрии иг = ††, оое = — иг — — ~ — + оа(оа + и) рл Сео а ~ро Ри 1+Се и ~Р (23.7) 2аи урр(и+ оо) Р 2 ур — Ри 'ур вдоль первого и второго лучей ие = — — + ао(о+ и ) 1 р, е А ~ Р 1 ~ ар' Ьре е ол = — ~ — — + — — ао(о + и) А ~ Р Р ре = — -ур о(о — и') + и(о'+ 2и+ ос180)— — 6 ио + о2 с180 — — ) + Аор', (23.8) Р Рб — — Р1+ -А — Р— — Р о=, А=и — оо, се' 1+ се е а ее 1+ Р' 21 = -- (1+ Ь ) — А, УР 2 2 до Р 00 В силу постановки граничных условий для уравнений (23.7), (23.8) получаем краевую задачу, которая решается методом В формулах (23.7), (23.8) выражения ~б и ~' обозначают производные по ~ и 0 соответственно. Уравнение ударной волны также задается в виде полинома, содержащего три неизвестных параметра, в качестве которых можно принять величины отхода ударной волны вдоль трех лучей: 2 г,= ) г0~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
