В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Сверхзвуковые тпвчвния Обтекание выпуклой стенки Рассмотрим задачу обтекания выпуклой стенки равномерным сверхзвуковым потоком 1плоское течение, рис. 18.2). Покажем, что решение этой задачи дается простой волной. Рис. 18.2. Обтекание выпуклой стенки Вначале в инвариантах Римана (18.17) перейдем от модуля скорости и к углу Маха о. Интеграл Бернулли (18.18) позволяет представить комбинации, входящие в ф(го), следующим образом: а„2 в |в (18.19) и у+1 а, сов о 7+1 2 — — — — сов о 2 Рассмотрим простую волну, в которой .1 — -- сопвФ во всем течении. Легко показать,что в такой простой волне характеристики Сз. -.
прямые линии. В самом деле, имеем о + ф(и~) = = сопв1 вдоль Сз и там же д — ~~(ш) = сопэ$, так как последняя комбинация по предположению постоянна во всей области. Складывая и вычитая эти два равенства, получим д = сопв1 и ы = сопв1 на Сэ. Тогда на основании интегралов Бернулли и адиабатичности все остальные параметры течения (р, р, а, Т, о) также постоянны вдоль С вЂ”,. Угол наклона Сз с осью а равен о — д; так как о и 0 постоянны вдоль Ст, то Сз. -- прямая линия. Обтекание анкуклея етенки Подстановка (18.19) в (18.17) после простых преобразований дает ф(ее) = — — ее — ~( ассой ~~1 . с18 ее . (18.20) л Г~+1 1' Г7:1 2 ~/, -1 ~~,+1 Равномерный сверхзвуковой поток с числом Маха М1 > 1 движется около плоской стенки, которая в точке О переходит в криволинейную выпуклую стенку.
Течение рассматривается в декартовой системе координат Олу, где ось л направлена вдоль набегающего потока. Стенка непроницаема, поэтому скорость потока на ней направлена по касательной. По достижении точки О поток становится неоднородным.
Однородный поток граничит с неоднородным по характеристике С, которая прямолинейна, поскольку все параметры на ней 11) в силу непрерывности потока постоянны. Как видно из рис. 18.2, все характеристики С в области неоднородного потока исходят из граничной характеристики С„. Поэтому константа в инва- Ж рианте Римана 7 одинакова для всех С -характеристик, т.е. течение в области неоднородного потока описывается простой волной.
Здесь мы имеем частный случай общего правила, согласно которому всякое неоднородное течение, граничащее с однородным потоком (или областью покоя), является течением типа простой волны. Итак, в области неоднородного течения имеем первый интеграл /7+1 / Г7 — 1 й+ о+ )1 атеей ~~) с18 ее = ее1+ ее1, (18.21) 7 — 1 7+1 се1 — — агс18 с18 се1 Все С -характеристики в потоке — прямыс линии, а все параметры потока вдоль каждой прямой С.е постоянны. Из граничного условия, т. е. условия непроницаемости в точке пересечения произвольной С -характеристики со степкой, получаем ее = — д+ д, ее = сопэ1 вдоль Сэ. (18.22) Угол ее" это угол произвольной Се.-характеристики с осью л, т.
е. новая переменная в неоднородной части потока. Дальнейший план решения таков: выразить се и й через ~р* из (18.21), (18.22), а затем ~р* через координаты х и у. Лекция уо. Сверхзвуковые течения Подставляя (18.22) в (18.21), получим агс18 1 ~( с18 а) = ау + аг — ~р* = уз. (18.23) з+1 ( Г~-Т вЂ” ~~У, +1 Из (18.23), (18.22) и (18.19) получим (18.24) с18а= 18 из 0 = ~з* — а = ау+ аг — ~р — агс18 с18 ~р (18.25) в — = 1+ ш 2, з( /~ — 1 (18.26) а.' у — 1 ~,~У у+1 Все прочие параметры потока можно выразить через уз посредством известных формул, полученных из интеграла Бернулли и интеграла адиабатичности.
Наконец, выразим ~р через х, у. Пусть обтекаемая стенка описывается уравнением У = У(Х), згравнение произвольной С -характеристики в принятых обозначениях запишется так: у — У = 18 ~р (х — Х). (18.27) Из условия непроницаемости получаем 18 0 = У'(Х). Это уравнение вместе с уравнением У = У(Х) позволяет представить уравнение стенки в параметрическом виде Х = Х(0), У = У(0). (18.28) Полагая уз* = аг + а*у — р и подставляя (18.25) в (18.28), получим искомую зависимость уз = р(х, у) в неявной форме у — У(~р) = 18 (аг + аг — уз)(х — Х(~р)).
(18.29) Формулы (18.24)-(18.26), (18.29) дают полное решение задачи. Обтекание выпуклого угла. Центрированная волна разрежения Если Х = У = О, имеем обтекание угловой точки, точнее, обтекание двух плоскостей, пересекающихся под тупым углом. Пусть дз -- угол второй плоскости с осью х (дз ( 0). Область Обтенагте выпуклого угли Центрирооанноя волна разрежения 145 неоднородного течения имеет вид веера прямолинейных С г-характеристик, исходящих из вершины тупого угла.
Положение последней характеристики веера Сз определяется формулами з(З) l~ — 1 / lи — 1 Оз = ег1+ ег1~ — ~оз — агс18 ~( с18 ( ~/ уз, (18.30) +1 -/+1 с$8 сгз = 18 узз Все параметры потока на С г и в однородном течении вдоль (2) второй грани выпуклого угла определяются через параметр уго. Легко показать, что расширение газа возможно лишь до некоторого фиксированного угла. Поскольку ш возрастает, то предельный поворот потока определится условием ш = зо Подставляя зто условие в (18.26), получим 2 = 1+ з)п ~г ~р „, (18.31) 2 'у — 1 7 — 1 1,() 7+1 з)п ~р = 1, аз Для воздуха при е = 1.4 имеем азтв„= 219.3'.
Напомним, что — у отсчитывается от направления под углом о1 + о1 к оси л. Если набегающий поток звуковой, то о1 = я/2, а1 — — О, т.е. — уг надо отсчитывать от оси р. Предслыюе направление располагается на. 39.3' левее направления вертикально вниз. Наконец, выразим давление через ео: (18.32) Итак, при ~р = ~рта„имеем р = О, т.е. истечение в вакуум. Из (18.24) видно, что при ео = ез .,„имеем о = О, т.е. линия тока и С г-характеристика совпадают.
10 В.П. Стулов Лекция 19 СТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА С РЕЛАКСАЦИЕЙ Характеристики уравнений неравновесного течения газа. Роль замороженной скорости звука. Обтекание выпуклого угла релаксирующим газом. Качественная картина. Решение в окрестности первой характеристики веера. Переход к равновесному течению в центрированной волне разрежения. В данной лекции метод характеристик применяется для приближенного анализа стационарного течения газа с релаксацией.
Такой анализ позволяет понять структуру неравновесного течения с конечными возмущениями и изменение этой структуры с уменыпением времени релаксации, т. е, с переходом к равновесному течению. Характеристики В качестве конкретной модели релаксации всюду ниже используется модель совершенного двухатомного газа с неравновесным возбуждением колебательных степеней свободы. В качестве релаксирующего параметра вместо средней колебательной энергии е (7;) используется колебательная температура согласно приближешюй формуле е,(7;) = е, Т;. (19.1) Скорость релаксации всюду считается пропорциональной разно- сти температур Т вЂ” '!' . Тогда в естественных переменных я, н система уравнений плоского стационарного течения релаксиру1о- щего газа запишется так: 1 д(рю) рю де дд дю 1 др + — =О, ю — + — — =О, дп ' д рда Второе, четвертое и пятое уравнения в (19.2) уже записаны в характеристической форме, через производные вдоль линии тока.
Выражая др/дв из первого и второго уравнений че- др , др д7'„ — — аг — + р( у — 1) е„= О, де да де дВ 1 др — + да рю дп (19.2) дт, т — т. ю =, р= рйТ. да т Обтекание выпуклого угла уелапеиуутгии и гагам 147 Умножая 119.3) на 1/ъ~М~~ — 1, а третье уравнение 119.2) на ~ 1 и складывая, после несложных преобразований получим два уравнения в характеристической форме: + ---- — — -'-- -- — —. = О. 119.4) г а — 1 иаг Как и в случае одномерных нестационарных течений, характеристики определяются замороженной скоростью звука вб 119.5) д1~ дв /Мг . дп 7/~ ., Далее, здесь также возникает вопрос о предельном переходе к равновесному течению при т — о О.
Прибавляя и вычитая в левой части четвертого уравнения 119.2) выражение р( 1 — 1)е, дТ/дв, легко преобразовать это уравнение к следуюгцей форме: др и др р1ее д(Т вЂ” Т) Ске 119.6) Рассматривая систему уравнений 119.2) с заменой четвертого уравнения системы уравнением 119.6), легко показать, что характеристики в пределе равновесного течения, т.е. при т — > О, определяются равновесной скоростью звука а,. Обтекание выпуклого угла релаксирующим газом. Качественная картина Пусть однородный равновесный поток двухатомного колебательно возбужденного газа натекает на угловук> точку.
Вследствие расширения газа при обтекании угловой точки может произойти запаздывание передачи колебательной энергии активным степеням свободы. Релаксация состояния газа к равновесному произойдет ниже по течению после окрестности угловой точки. ю* рез др/де и до/дп и подставляя в четвертое уравнение вместе с дТ /дэ из пятого уравнения, получим Ме~ — 1 др до ( у — 1) е„Т вЂ” Т +, + рю~ дв Оп юа т 148 Леицил 19.
Стационарное течение газа с релаисациев В результате необратимого процесса передачи энергии произойдет рост энтропии газа и искажение центрированпой волны разрежения, описанной в предыдущей лекции для случая изэнтропического течения совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Однако относительная энергетическая роль колебательной степени свободы в двухатомном газе не слишком значительна. Наиболыпее изменение теплоемкости составляет величину й: от 2.5 й при е, = О до 3.5 Л при е, = ЯТ. Это позволяет надеяться, что искажение веера волн разрежения, составленного из прямолинейных характеристик, также не будет слишком значительным. Дадим описание качественной картины потока, исходя из сопоставления характерного времени течения тс = 1/и и времени релаксации.
Поскольку релаксация развивается вдоль траектории частицы, т.е. вдоль линии тока в стационарном течении, в качестве 1 удобно взять характерную длину участка линии тока;и локальная скорость течения. В однородном потоке при подходе к угловой точке условия течения одинаковы на всех линиях тока.
Из общей теории характеристик следует, что однородный поток граничит с областью неоднородного течения по линии Маха х = рч Мс — 1. После прохождения этой линии частицы газа попада1от в совершенно различные условия. На линиях тока, близких к угловой точке, реализуется условие тс~т << 1, т. е. течение близко к замороженному. Переход к равновесию происходит уже в области около второй грани угла.
Напротив, вдали от угловой точки длина участков линий тока внутри веера очень большая, порядка их расстояния от угловой точки, так что тб( г » 1, и течение газа близко к равновесному. Поэтому газ втекает в область около второй грани утла практически уже в состоянии полного равновесия. Решение в окрестности первой характеристики веера Чтобы понять характер деформации конечного возмущения, которое близко к замороженному вблизи угловой точки и близко к равновесному вдали от нее, попытаемся приближенно построить решение уравнений газовой динамики с релаксацией вблизи первой характеристики веера. Эта характеристика прямолинейна, так как отделяет однородный поток от неоднородного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
