В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Общие свойства релаксирующего потока при расширении в сопле Лаваля Образование потока большой скорости достигается за счет преобразования внутренней энергии газа на входе в канал в кинетическую энергию направленного движения. Для современных летательных аппаратов требу|отся очень большие значения силы тяги. Поэтому сопловые устройства таких аппаратов должны обеспечить потоки очень болыпой скорости. Как правило, газовая среда на входе в сопло нагрета до высокой температуры. Отсюда следует, что в течениях в соплах должны проявляться эффекты реального газа.
Расчет течений не может обойтись лишь простейшей моделью совершенного газа, так как это приведет к большим ошибкам в определении величины тяги и других свойств газового потока. Общая тенденция проявления свойств реального газа в течениях в соплах состоит в следующем. На входе в канал в высоко- температурном газе внутренняя энергия распределена равновесно по различным степеням свободы молекул газовой смеси - как активным, так и инертным. По мере продвижения в сопле газовая частица приобретает кинетическую энергию прежде всего за счет внутренней энергии активных степеней свободы. В процессе движения энергия инертных степеней свободы посредством Ураонение релаиааиии.
Замороженное и раонооесное течени 117 Уравнение релаксации. Замороженное и равновесное течения. Простые решения Ниже математические особенности течения газа с релаксацией будут рассмотрены на примере модели совершенного двух- атомного газа с релаксацией колебательной энергии.
Вначале рассмотрим особенности решений уравнения релаксации общего вида в потоке газа с увеличением скорости. Релаксация состояния среды заключается в изменении некоторого параметра со скоростью, пропорциональной величине его отклонения от равновесного значения. Уравнение выглядит так: ,7,, (р,т) — 1 Ю т(р, Т) (15.1) Здесь д — параметр состояния, р, Т вЂ” термодинамические переменные, е7,(р, Т) — равновесное значение параметра д, т(р, Т) время релаксации.
Легко убедиться, что рассмотренные ранее процессы релаксации колебательных степеней свободы двухатомпых молекул или неравновесные химические реакции описываются уравнениями типа (15.1). столкновений между молекулами передается активным степеням свободы, а затем также реализуется в виде кинетической энергии направленного движения. В начальной фазе движения, т.е.
в дозвуковой части сопла, эта передача от инертных к активным модам (степеням свободы) происходит интенсивно, так как давление еще достаточно высоко и столкновения часты. По мере ускорения потока время передачи энергии увеличивается, так как столкновения становятся все более редкими. Может возникнуть ситуация, когда передача энергии почти совсем прекратится, и дальнейшее ускорение потока будет происходить только за счет активных мод. Тогда начиная с некоторого сечения в сопле образуется газовая среда в инверсном состоянии, когда энергия инертных степеней свободы соответствует достаточно высокой температуре, и эта энергия больше не уменьшается.
На использовании инверсных значений колебательной энергии молекул основан принцип действия газодинамических лазеров. В соплах двигателей летательных аппаратов эта ситуация приводит к неполной реализации внутренней энергии газа и к заниженным значениям тяги. Поэтому правильный учет явлений релаксации в каналах двигателей совершенно необходим для надежного проектирования летательных аппаратов.
Ленцил 1о. Неоавновесное течение в сопле Лаоалл Рассмотрим свойства решений уравнения (15.1) при различных предположениях о входящих в него функциях. Цель этого рассмотрения -- первоначальное знакомство с возможным поведением неравновесного течения в сопле Лаваля. В качестве начального условия выбирается равновесное значение Ч, в ресивере перед входом в сопло. Принимается, что характерное изменение р и Т состоит в уменьшении этих величин по мере разгона потока. Далее, для выяснения характера изменения величины Ч распределения р и Т вдоль сопла будем считать известными.
Поток считается одномерным и стационарным, так что с1,сс1с = и с1/дх. 1. Пусть Ч, = сопвФ, т = сопэ$. Решение уравнения (15.1) с начальным условием Ч~с Π— — ЧО имеет вид Ч Че + (ЧО Че) Е (15.2) ч = — е '~ ~ ег1 ч,(с) с1с + цое — т т О (15.3) Интегрируя по частям н + 1 раз, представим его в следующем виде: и г д = 1'(-~)' 'д."О) — (1;( — О' 'ц~с(с)~ -'1.+ *=О с=о + ( 1)п+1тпе — е/т еф(тц(п-111(~) с1~, Ч е — с/т О При ЧО ~ Ч, решение имеет характер перехода к равновесию (Ч = = Ч,) по экспоненциальному закону. Учитывая принятое вьппе допущение о равновесии в ресивере, т.е. ЧО = Ч,, получим Ч = = Ч, = сопвФ. В этом случае начальное состояние равновесия не нарушается вдоль всего сопла.
Причина состоит в том, что согласно первому допущению (Ч, = сопвФ) уменьшение р и Т вдоль сопла не влияет на равновесное значение параметра Ч, и тогда всюду в сопле началыюе равновесное состояние не нарушается даже при ненулевом времени релаксации. 2. Второй, более реальный случай: Ч, = Ч,(1) известная функция, т = сопэФ. Решение уравнения (15.1) с начальным условием Ч~ Π— — ЧО имеет вид Три характерных еремени для течения е сопле 119 Здесь де (е) и-я производная функции де(1).
Если в рссиверс (н) имеет место равновесие, т.е. е19 = де(0), то решение несколько упрощается. Для большей наглядности запишем его в частном случае и = 2: д = д,(1) — тд,'® + тз9а(1) — [ — тд,'(О) + т2ди(0)] е — т е ь~е е~~ 9(~)(с) е1с. (15.5) о д = Ч,(1) 1 — т "'+ т '' + А(1)е '~, (15.6) — яе(1) яе(1), где А(1) ограниченная функция. Видно, что причиной отклонения от равновесия в сопле служит переменность функции д,(1), т. е. отличие от нуля ее производных.
Введем новое обозначение 9.'(1) теае 9.(1) (15.7) Величина т,а„имеет смысл характерного времени изменения величины е1, вдоль сопла. Из формулы (15.6) видно, что с ростом времени относительное отклонение 9(1) от равновесного значения д,(1) при ограниченных т (например, т ( 1) характеризуется прежде всего слагаемым т(т,ее (второе слагаемое в квадратных скобках в формуле (15.6)). При т„„— 1 оо имеем д,'(1) — е О, де -э сопвФ, и мы получаем первый случай, когда отклонение от равновесия не происходит ни при каких значениях т. Три характерных времени для течения в сопле Наряду с уже рассмотренными характерными временами введем еще характерное время течения Пусть функция де(1) такова, что ее третья производная (в общем случае (и + 1)-я производная) мала и достаточно быстро затухает с ростом 1.
Тогда интеграл в последнем слагаемом (15.5) (и (15.4)) сходится при 1 — 1 оо и два последних слагаемых уменьшаются по экспоненциальному закону. В этом случае отклонение решения от равновесия определяется первой группой слагаемых. Запишем (15.5) следующим образом; Ленцил го. Оероонооесное течение о сопле Лооалл с те Че Ч и затем опустим пприхи. Здесь д* некоторое характерное значение параметра г1. Уравнение принимает вид с~у в,(1) — о сИ т(те (15.8) Здесь ц и ~ безразмерные величины. Для определения режимов течения будем рассматривать уравнение (15.8) и решение (15.6), (15.7). 1. При т(те » 1 из (15.8) получим дд ггпу — О, г1 — сопэ1.
Течение называется почти замороженным. 2. При тате << 1 из (15.8) получим д д,(1). Течение называется почти равновесным. 3. При т(т„„« 1 из (15.6), (15.7) получим д д,®. Течение называется почти равновесным. 4. Наконец, при т тг т„„течение называется неравновесОкончательно, объединяя (2) и (3), получим следующие условия для реализации предельных потоков в сопле: т — » 1 почти замороженное течение, те (15.9) ~т т пнп ~ , << 1 почти равновесное течение.
те тгаг з' где 1 — характерный размер сопла, и, характерное значение скорости газа в нем, например критическая скорость звука. Итак, перавновесное течение в сопле определяется тремя характерными временами: время релаксации т, время течения тг,. время изменения т Хотя последняя величина согласно (15.7) переменна вдоль сопла, можно рассмотреть ее некоторые постоянные значения, характерные либо для всего сопла в целом, либо для его отдельных участков. И наоборот, все три характерных времени можно считать переменными вдоль сопла. О времени релаксации т это отмечено в уравнении (15.1).
Для тг следует выбрать локальную скорость и радиус сопла в данном сечении. Будем пока считать времена т, тп т„, постоянными в сопле в целом и рассмотрим разные режимы течения при относительных величинах этих времен. Для этого в уравнении (15.1) при т = сопв1 перейдем к безразмерным переменным: Три характерных времени длл тсченил в сопле Рассмотрим теперь более детально характерные режимы течения в сопле, двигаясь постепенно от входного участка до выходного сечения.
Будем считать, что течение в сопле не содержит ударных волн и других участков резкого изменения параметров газа. Относительно параметров т, тб т„„не будем делать каких-либо априорных предположений. Разделим все сопло на три секции: входную, промежуточную и выходную. Напомним, что к входной секции примыкает ресивер, содержащий покоящуюся высокотемпературную равновесную газовую смесь, а из выходной секции происходит истечение газовой струи, как правило, в вакуум или в затопленное, т.е. заполненное газом пространство с низким давлением. Во входной секции течение относительно медленное, происходит постепенное увеличение скорости.
Все параметры газовой смеси изменяются плавно, оставаясь сравнительно близкими к параметрам торможения. Поскольку изменения всех параметров невелики, можно для входной секции принять условие « 1. таас Поэтому течение здесь почти равновесное. При переходе в промежуточную секцию скорость газа увеличивается, а давление падает. Это приводит к росту времени релаксации т из-за уменьшения числа столкновений молекул и атомов в единицу времени. В этой же секции происходит переход через скорость звука. Изменения параметров убыстряются, так что т, „уменьшается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
