В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(10.32) 2 2 Соотношения имеют такой же вид, как если бы газ перед ударной волной имел температуру и давление, равные нулю, при конечной плотности. т. е. скорость газа перед ударной волной больше местной скорости звука: и1 > а1. Аналогично, построив касательную в точке (Р2, 12) и замечая,что она расположена круче хорды, получим и2 < а2. Таким образом, в том диапазоне интенсивностей ударной волны, где справедливо указанное на рис.10.1 поведение адиабаты Гюгонио, оказывается, что до ударной волны скорость газа больше местной скорости звука, а после ударной волны скорость газа меньше местной скорости звука. Кратко: из неравенства вв > в1 вытекают неравенства Ударные волны в совертеннам газе с пасталпныии тсплаемнастлми 83 ударные волны в совершенном газе с постоянными теплоемкостями Явные формульс длл параметров за ударной волной.
В совершенном газе имеет место зависимость Ь= 7 1 Р и соотношения на прямом скачке (10.15) принимают вид Руну = Ргиг Ру+ Руиу = Рг+ Ргиг 2 2 (10.33) 7 Ру иг 7 Рг иг + + З вЂ” 1ру 2 з — 1рг 2 рг рг ргиг 1 2 2+1 2 2+1 р2и Ргиг р1 и2 уМ (10.34) Последнее уравнение (10.33) после умножения на (у — 1)/(уид) дает Рг Рг Ру 'у — 1 и; 1 'у — 1 г рги рьи' рги 2'у 1 'иг) 'уМ 2у 2 2 2 (10.35) Домножая (10.34) на х и приравнивая результат (10.35), получим уравнение для нахождения х: х у — 1 2 +(1 — х)х=,, + (1 — х ), уМ2 уМ2 2у (1 — х )+ 2 — х(1 — х) = О, (10.36) 2у уМг 2 ху =1, хг= + у+1 (у+1)М" Первый корснь ху = 1 соответствует ударной волне нулевой интенсивности, которой, очевидно, удовлетворяют соотношения (10.33).
Второй корень дает изменение плотности на ударной волне рг и2 ( у+ 1)М (10.37) Рг иг (и — 1)М2+ 2 Выразим параметры за скачком (иг, Рг, рг) через параметры перед скачком (иу, рыру) с помощью уравнений (10.33). Обозначим х = Ру,УРг = иг,Уиы Из втоРого УРавнсниЯ (10.33) имеем Леиция 10. Теория ударных воли Отношение давлений получим из (10.34): Из двух последних формул получим Та ра р1 (2 уМ вЂ” (у — 1)] ~(у — 1)М + 2] Т, р, р, (у+ 1)'М' (10.38) (10.39) (1+ х) 1+ =!и (10.42) Адиабата Гюгонио.
Выражение для адиабаты Гюгонио легко получить из общей формулы (10.18). Кроме того, это выражение уже содержится в (10.41). Обозначим у = рз,Уру (х = у — 1) и получим , — 1 х = = 1+ у + у) . (10.43) *= (~-1)+(7+1)у = у, 7+1 "(1,~+1 ",) Пусть 'у — 1 а=- — --, У=у+а, 7+1' Тогда х =, 1+ а(У вЂ” а) = (Х + а)У, а+у ХУ = 1 — а~, (10.44) т.е.
имеем уравнение гиперболы в координатах Х, У. Наконец, определим изменение энтропии газа: г2 — гу = сх 1и — — . (10.40) Ъ |'Р11'' Р1 Ра В (10.40) нужно подставить (10.37) и (10.38). Для дальнейшего удобно выразить ва — гу через х = ра,Уру — 1. Из (10.38) получим у+1 2 1+ у+1 рг М 2у М =1+ 1 — 1 . (10.41) 1м + 1+з у+1 у+1 2у Подставив (10.38) и (10.41) в (10.40), получим Ударные волны в совершенном газе с постолнньсни тсплоемностлмн оз Теорама Цемплена.
Рассмотрим свойства ударных волн, вытекающие из условия возрастания энтропии. Проведем это рассмотрение на примере совершенного газа, хотя полученные выводы справедливы и в более общем случае (14]. С помощью (10.42) найдем — — — — — — (10.45) 2(1+ ) 1+ 2у ! ~, 2у г) Величина г изменяется в пределах — 1 < г < со. Из (10.45) следует, что при у > 1 имеет место д(вг — вг)Усн Так как пРи г = 0 имеем (вэ — ву)Ус = О, то из вв — ву > 0 следует > О. Иначе говоря, из условия возрастания энтропии вв > ву вытекает, что существуют только скачки уплотнения > О, ро > ру.
Это предложение называют теоремой Цемпленш Таким образом, и при произвольных интенсивностях имеет смысл лишь верхняя часть адиабаты Гюгонио (выше точки т = = 1, у = 1). Установим неравенства для скоростей, аналогично полученным для слабых ударных волн. Проведем хорду, соединяющую две точки ударной адиабаты (10.44): первую точку (а = 1, у = 1) и вторую точку (х < 1, у > 1). Из вида кривой (10.44) следует, что в первой точке хорда расположена круче касательной, а во второй точке касательная круче хорды. Проводя рассуждения, аналогичные случаю слабых ударных волн, сразу же получим неравенства иу > аы из < вз. Сильные ударные волны. Выведем выражения для сильных ударных волн. Положим в формулах (10.37), (10.38) и (10.39) М » 1: иг Рэ У+1 Рэ 2УМг (10.46) иа р1 у — 1' ун у+1 Таким образом, перепад плотности на сильных ударных волнах имеет конечную величину.
При у = 1.4 имеем ро,Уру = 6. Рассмотрим кратко случай, когда у изменяется на скачке. Это будет пример ударной волны с изменением уравнения состояния при переходе через разрыв. Другим примером служит теория детонационных волн [8]. Формула (10.34) имеет вид 2 г + (10.47) р1и', ЗуМ' Лекция 10. Теория рдарптх оояи а формула (10.35) запишется так; х = зг 1 1 + 1г 1 (1 — хг) . (10.48) Р1и, 7г — 1 угМ 27г Приравнивая, получим х(1 — х) + г — г + (1 — х ) .
(10.49) 'угМ 'уг 1 'АМ 2 уг Применяя к (10.49) приближение сильных ударпых воли (М -+ оо), получим 7г ( г) Р' зг 2чг Рг зг + 1 т. е. предельная формула (10.46) верна и в случае разрыва показателя адиабаты у. Лекция 11 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗЕ С РЕЛАКСАЦИЕЙ Ударные волны с частичной дисперсией. Струкгура зоны релаксации. Элементарное решение. «Полосатаяг структура ударных волн. Ударные волны с полной дисперсией.
Ударные волны служат одним из самых распространенных явлений, встречающихся при разнообразных движениях газовых сред. Ударные волны уже нашли широкое применение во многих областях техники, а также в биологии, медицине. Ударные волны в релаксирующих газах являются мощным инструментом проникания в физическую природу сложных газовых сред в экстремальных условиях.
Ударные волны с частичной дисперсией. Зона релаксации Рассмотрим развитие релаксационных процессов в окрестности ударной волны. Считаем для простоты, что ударная волна гйэямая, а втекающий в ударную волну поток однородный и равновесный. В условиях применимости моделей сплошной среды толщина ударной волны 1„как правило, очень мала. Поэтому характерное время течения в ударной волне т, = 1,/и (или время изменения состояния газа при переходе через ударную волну) очень мало, поскольку характерная скорость и конечна. Отсюда следует, что для ударных волн выполняется неравенство т, «с т (т -- время релаксации), т.
е. поток в окрестности ударной волны близок к замороженному. Вместе с тем ударные волны являются мощным фактором вывода газа из состояния равновесия, поскольку термодинамические параметры газа р, р, Т на разрыве изменяются, а релаксационные параметры остаются прежними, как перед ударной волной. Отсюда следует, что течение ниже по потоку от ударной волны занято областью перехода к новому состоянию равновесия. Здесь, как и в случае течения расширения в сопле Лаваля (см. далее лекцию 15), рассмотрим уравнение релаксации общего Лекция 11. Ударные волны в газе с релаксацией вида Ь| д.(р, Т) — 4 е1г т(р, Т) (11.1) Е1(Х) Е1е + (Ч2 11е)Е (11. 2) Напомним, что непосредственно на ударной волне релаксационный процесс заморожен, так что а1 = д2.
Решение показывает, что на характерной длине 1 = ит происходит переход к равновесному значению гге. Величина 1 называется длиной релаксации. Чтобы понять, как изменяются другие газодинамические переменные в зоне релаксации, рассмотрим точную постановку задачи. Имеем одномерное стационарное течение. Запишем систему уравнений релаксационной газовой динамики для модели неравновесного возбуждения колебательных степеней свободы молекул двухатомного газа: д(ри) с1и др =О, ри — + — =О, дх ' дх дх д6 1др дх р дх (11.3) р = р11Т. де„е.„(Т) — е„(Т ) дх' т Существуют первые интегралы этих уравнений: 2 2 2 Ри Р2 и2 Р1и1 Р + Ри Р2 + Р2и2 Р1 + Р1и1 (11.4) 6+ = 62+ = 61+ 2 2 2 Таким образом, распределение переменных в зоне релаксации описывается системой уравнений 2 2 2 2 и и1 ри = р1и1, р+ ри = р1+ р1и1, 6+ — = 61+ —, 6 = срТ+ е,(Т ), р = РЯТ, и — '- = — '- — — — "- — "-.
де, е (Т) — е„(Т„) дх т где е1д/дй = иддггдх, так как рассматривается стационарное течение. Пусть и, 11„т -- постоянные. Будем обозначать индексами 1, 2, 3 параметры перед ударной волной, непосредственно за ней и в окончательном состоянии равновесия после зоны релаксации соответственно. Начало оси Ох поместим на ударную волну. Решение уравнения (11.1) в зоне релаксации с начальным условием 11~~ — о = с12 имеет вид Ударные оолны с частичной дисперсией. Зона реелансачии 89 Эта система в общем случае решается численно. Начальным условием служит соотношение е,(0) = е,(Т1). Поскольку единственное дифференциальное уравнение этой системы похоже на модельное уравнение (11.1), можно ожидать, что и численное решение всей системы будет близко к модельному решению. Действительно, характер распределения параметров в зоне релаксации имеет вид монотонного перехода к равновесному состоянию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
