В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Запишем подробнее уравнение (10.4): Лекция г0. Теория ударных волн Определим предел уравнения (10.7) при + хо ~ хг + хе Получим -хо [А] + [В] = О. (10.8) Здесь квадратные скобки означают скачок соответствующей комбинации параметров на разрыве. Обозначим хе = В и подставим в (10.8) компоненты А и В: [р(у — В)] = О, [ри(и — В) + р] = О, (10.9) (10.10) р е+ — (и — В) + ри = О. (10.11) Если поток газа через разрыв отсутствует, то для скорости имеем щ = уг = В. Тогда условия (10.9) (10.11) сводятся к одному условию [р] — О, выражающему равенство давлений по обе стороны разрыва. Имеем случай контактного разрыва.
Теперь рассмотрим интегральное уравнение изменения эн- тропии жг яг ( /о„. до у ат'~ — ряе1х+ ргв + — [ = ~ ~ ** —, — — г — ( е1х. (10.12) йе т~., ~ '1,т ах т ах/ хг Перенося третье слагаемое из левой части в правую, получим д ( /о,„а. 1 ду'1 — [ рве1х+ рпо — руо[ = ~ [ ** — — — — -] е1х. (10.13) а~ ог х1 т дх т дх Х1 Х1 [ря(у — В)] = О, откуда в силу (10.9) следовало бы [я] = О. Однако правая часть (10.13) из-за наличия производных в подынтегральном выражении не обращается в нуль в предельном переходе х1 — о хо, хг — ~ х~~.
Правая часть (10.13) представляет собой источник энтропии в газе при переходе через сильный разрыв. Из (10.13) видно, что условие сохранения энтропии на ударной волне не выполняется. В самом деле, если бы правая часть (10.13) обращалась в нуль, то после преобразования (10.7) и пределыюго перехода получилось бы соотношение Адиабвта Гкггонгго Стационарный прямой скачок уплотнения Перейдем к системе координат, .в которой разрыв покоится. Для этого введем относительную скорость и = е — Р и подставим ее в формулы (10.9)-(10.11). После приведения подобных членов получим 2 1 5р З=п, $р-;р '/=о, ~р (и+ — )) =л.
Спгг) Здесь 6 = е + р/р энтальпия газа. Обозначая индексом 1 параметры перед ударной волной, а индексом 2 параметры за ней, запишем условия на стационарной прямой ударной волне в следующем виде: 2 2 2 2 ег иг Р1п1 Р2п2 Р1 + Р1п1 Р2 + Ргпг 61 + 2 62+ (10.15) Далее будем рассматривать двупараметрические среды, для которых 6 = 6(р, р).
Ниже изучаются некоторые свойства прямых ударных волн, определяемых уравнениями (10.15). Адиабата Гюгонио Обозначим через 1 = рги1 = рги2 удельный поток массы газа, т.е. количество газа, переносимое через единицу площади в единицу времени. Введем также обозначения удельных объемов 1 1 Ь'1 = —, Р1' Р2 до и после ударной волны. Тогда из второго уравнения (10.15) следует Р1 Р2 = Рзп21г2 Рг"11'1 3 2 2 2 2 2 Рг — Р1 (10.10) гг — 1г Отсюда легко получить, что на ударной волне выполняются неравенства р2 > р1 и ъ1 > ь2 (скачки сжатия) либо рг > р2 и 1:2 > 1:1 (скачки разрежения). Леииия 10.
Теорие ударных волн Полезно выписать формулу для разности скоростей и1 = 11'1, иг = д~'2: и1 — иг = 1 (1'1 — Иг) = ~ (10.17) Наконец, исключим скорость из третьего уравнения (10.15). После простых преобразований получим 1 — 62 + — (р — р )® + Иг) — 0. (10.18) 2 1 е1 — е2 + (р2+ р1)(1'1 — 1'2) = О. 2 (10.19) Если зафиксировать условия перед ударной волной, т.е. переменные с индексом 1, то формулу (10.18) можно рассматривать как неявную функцию, связывающую переменные р, у.
Рассмотрим некоторые свойства этой функции. 1. Если уравнение состояния газа не изменяется при переходе через ударную волну, т.е. функции 61(р, И) и 62(р, И) одинаковы, то адиабата Гюгонио проходит через точку (р1, 1'1). Это вытекает непосредственно из формулы (10.18). 2. Кривая (10.18) пересекает прямую 1' = Ъ1 только один раз. Допустим, что это не так. Тогда кривая (10.18) проходит через точку (рг, 1:1), где рг ф р1 . Это невозможно, так как из (10.19) и Ъ'2 = И1 вытекает, что е2(112, 1'1) = е1(рг, 1'1), т.е. рг = р1. Аналогично, кривая (10.18) пересекает прямую р = = р1 только один раз. 3. Вторая формула (10.16), взятая с обратным знаком, дает тангенс угла наклона хорды, соединяющей точки (р1, Ь1) и (рг, 1'2) с положительным направлением оси абсцисс.
Имеем Фбсе= Р2 Р1 2 ег е1 (10.20) Из (10.13) следует,что энтропия на ударной волне не сохраняется, хотя движение газа вне разрыва адиабатическое. Частицу газа можно рассматривать как термодинамически изолированную систему, в которой при переходе через ударную волну Эта формула выражает зависимость, называемую адиабато11 Гюгоиио. Для двупараметрических сред 6 = 6(р, 1'), и формула (10.18) содержит только независимые термодинамические переменные р, 1'. С использованием внутренней энергии формула адиабаты Гюгонио запишется так: Слабые ударные еолны 79 происходит необратимая диссипация энергии, сопровождающаяся ростом энтропии.
Интенсивность источника энтропии описывается правой частью уравнения (10.13). Слабые ударные волны Рассмотрим свойства ударной адиабаты в окрестности точки (ры Ъ1). Это позволит сделать окончательные выводы о направлении изменения величин в ударной волне произвольной интенсивности. В качестве независимых термодинамичсских переменных выберем з и р (все рассуждения здесь проводятся для произвольного двупарамстрического газа). Разложим функции 6(з, р) и у'(з, р) в степенные ряды относительно точки (ры Ъ'1): д6 д6 1 д26 62 = 61 + — (з2 — з1) + (Р2 Р1) + 2 (Р2 Р1) + д.
' ' др, 2 др', +- ., (Р,-р,) +..., (10.21) 1 дз6 з 6 д„з, д$' дЪ' И2 = 1'1 + (з2 — з1) + , (Р2 — Р1) + де др + 2 (р2 р1) + (10 22) 1 д~1е 2 2 дра В степенных рядах выписаны лишь члены, необходимые для дальнейших вычислений, остальные слагаемые подразумеваются. Из тсрмодинамического тождества в виде Т еЬ = 46 — 1' йр, д6 = Т еЬ + 1' е1р заключаем, что Т = —, ~/ = —,, = .
(10.23) де „др др, др Подставим (10.21)-(10.23) в уравнение адиабаты Гюгонио и приведем подобные члены. Простые выкладки приводят к соотношению з — — (Р2 Р1) 12Т1 др2 (10.24) Лекция 10. Теория ударных волн 80 выражающему адиабату Гюгонио в малой окрестности точ- ки (ры 'р'1). Здесь членом пренебрегается как малой величиной в сравнении с вз — еы Соотношение (10.24) выражает тот важный факт, что скачок знтропии в ударной волне малой интенсивности является малой величиной третьего порядка по сравнению со скачком давления. Для реальных сред из опытных данных следует, что О. (10.25) др' др Т др де ср дТ р р (10.27) Действительно, запишем 'р' = 1'(я, р) = Ъ'(я(р, Т), р) = Ъ'(р,7'). Из тождества Гиббса 7'еЬ = ИЬ вЂ” 'р'е4р = ср сП' — Ъ'е1р следует, что де ср дТ Т р Иначе говоря, ударная адиабата в окрестности точки (ры 1:1 ) обращена вогнутостью вверх.
Отсюда и из (10.24) сразу следует, что поскольку в реально существующих необратимых процессах знтропия может только увеличиваться, реальный смысл имеет только левая часть адиабаты Гюгопио, расположенная выше точки (ры 1'1), так как из яз > в1 вытекает рз > р1 в окрестности точки (ры 'р1). Итак, существуют только скачки уплотнения. Рассмотрим взаимное расположение адиабат Гюгонио и Пуассона в окрестности точки (ры 11). Уравнение адиабаты Пуассона в переменных в и р имеет вид вз — в~ = О. (10.26) Видно, что кривые (10.24) и (10.26) имеют в точке (ры 'р1) касание второго порядка, т.
е. имеют одинаковые первые и вторые производные. Пусть ро > рп Тогда на адиабате Гюгонио имеем яз > яы Из термодипамического тождества Гиббса получим формулу Слабые Вдарные волны 81 Тогда получим др д1~ де дТ дв дТ откуда следует (10.27). Для всех тел, расширяющихся при нагревании (дМ1дТ~„> О), имеем, что энтропия растет с увеличенном объема при постоянном давлении, поскольку из (10.27) следует д1е/дв~ > О. Следовательно, абсцисса кривой (10.24) в переменных 1У, р расположится правее абсциссы кривой (10.26) при р = = рз.
Аналогично легко показать, что при рз ( р1 расположение кривых будет противоположным. Адиабаты (10.24) и (10.26) изображены на рис. 10.1. Из-за условия (10.25) кривые Р и Н обращены вогнутостью 1 вверх. Рассмотрим величину скорости га- Р"с 101. АЛ1"абати 1ю за для слабых ударных волн. Форму- Пуассона (Р) лу (10.20) для потока массы перепишем для окрестности точки (р1, 1'1). В пределе (рв — э р1, рв — + 1'1) получим 2 др .1 = — 18д= —— е (10.28) и1 — — иэ = 11' = Д~РЗ = — 'а' — = — = и, (10.29) др др, 1( др т.е.
ударная волна слабой интенсивности распространяется по газу со скоростью звука. Получим неравенства для скоростей и1 и из в окрестности точки (р1, $'~). Положение касательной определяется формулой (10.28). Поскольку адиабата Гюгонио обрагцена вогнутостью вверх, хорда в точке (р1, 1'1) наклонена круче касательной, т.е. 8 В.П. Стулов где Д угол наклона касательной, так как в этом пределе на гладкой кривой хорда переходит в касательную. Производная берется прн в = сопэ1, так как в этой точке касательные к адиабатам Гюгонио и Пуассона совпадают. В том же приближении Лекция 20. Теория ударных волн в силу (10.20) имеем > — — в точке (р1, $'1). 2 ир 01~ (10.30) Умножим (10.30) на г1~ и получим .2 2 2 2 0Р ДР 2 1 'г'1 — — и1 > -Ь' -- = —,— = а1, дР,, Ор,, (10.31) Р2 >Р1, .и1> а1, и2 < аз.
Легко установить также следующее; так как р2 > р1, то Ь'1 > 1'2 (см. (10.16)), и1 ив а поскольку — = — = 1, то и1 > и2. 11 12 Сильные ударные волны Рассмотрим предельный вид соотношений на прямом скачке (10.15) в случае, когда скорость газа перед ударной волной очень велика, т.е. много больше местной скорости звука (гиперзвуковое приближение). Из физических соображений понятно, что в этом случае скоростной напор единицы обьема газа существенно превосходит давление, а кинетическая энергия единицы массы газа значительно больше ее теплосодержания. Поэтому соотношения на скачке принимают вид 2 2 2 2 и2 Р1и1 = Рзиз, Р1и1 = р2+ рзи2, — — — 62+ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
