В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. положим 'у1 = 75 = '7. 1. Гвз покоится: Распад проиввооьпово рвврывв 97 у+1 У а 1 — — — « — 1, и>0, 2 а1 а18 скорость контактной поверхности. 3. Однородное движение: ю= — 1У, а=ау— (12.9) величины р и р см. п. 2. 4. Однородное движение: 7(7+1) и' и (-у+1)' ууа Р4=Р5 1+- 2+ У 2+ 4 а2 ав 16 а52 ( у+ 1)М2 Ъ' Р4 Р5 2 М (у — 1)М +2' ав "~'+ гсу+ (7+ ) + 2 4 16 6. Газ покоится: в=0, Р=Р5, р=р5, а=а5. В этих формулах скорость контактной поверхности 1У заранее не известна. Ее следует определить из условия равенства давлений на контактной поверхности рз = р4: 2,д,-у) (рс0)о(2)] Р5 1+ 7И+1) ~" 17 И+1)' ~" 2 + — 2 + 1 . (12.10) 4 а5 2ав 16 а52 Из этого уравнения следует определить ~У в зависимости от ры Ры Р5, Р5. 7 В.П.
Стулов 98 Ленция 12. Нестаиионарные течения с ударными волнами Задача о сильном взрыве др д(ри) д! дт — + +(р — 1) — =О, ри г (12.11) до ди ! др — +и — + — —,=О, д! дг р дг (12.12) — — + г — — = О. (12.13) Здесь и = 1 для плоских, и = 2 для цилиндрических и и = 3 для сферических волн. Поставим граничные условия на ударной волне. Рассматривается начальная стадия взрыва, когда ударную волну можно считать сильной. Запишем условия на сильной ударной волне, вводя в качестве основной характеристики скорость ударной волны !',.
Из соотношений на ударной волне в совершенном газе имеем рг 2уМ г $', у+! рг иг 'у + 1 рг иг -у — 1 пг= ге, пг=ие ге, Рг=де, Рг=ре ° Здесь ее --. скорость газа за ударной волной в абсолютной си- стеме координат. Подставляя выражения для скоростей и! и иг в соотношения на скачке (12.14), получим 2 Юе = $г„ -у+1 р, = ры р, = ру'г', . (12.15) у+! 2 — -у+1 Величина Г, заранее не известна; ее следует определить в про- цессе решения задачи. В момент времени ! = О в покоящемся газе в центре симметрии происходит взрыв, т.е. мгновенно выделяется конечная энергия Ее.
Размерами и массой взрывчатого вещества, выделяющего энергию, пренебрегается. Требуется определить движение при ! ) О. Поскольку скорость распространения возмущений в газе конечна, область возмущенного газа будет ограничена симметричной ударной волной. В силу пространственной симметрии уравнения движения принимают вид 99 Задача о оиаьаом азрмао Как видно из постановки задачи, решение определяется лишь двумя размерными определяющими константами: р1 и Ее. Весь набор определяющих решение величин имеет следующий вид: (12.16) Р1, ЕО, 1', г, 7. Напомним размерности этих величин: [р1]=ИЛ з, [Ео]=ИЛ' 1Т 2, [г]=Ь, [2]=Т, [у]=1. Отметим, что размерность энергии заряда зависит от параметра и.
Здесь М масса, 1 длина, Т время. Из общих соображений теории размерностей следует, что все зависимые размерные величины могут зависеть только от двух безразмерных комбинаций: 1Ди-~-2) г (12.! 7) Здесь й -- некоторая безразмерная константа. Таким образом, данное решение зависит от л, ! только в комбинации (12.17), т.с, решение зависит от одной переменной и, следовательно, описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Такое решение называется автомодеаьньам. Удобно независимую переменную Л записать так; (12.18) )1Д~ -~-2)12Д~ э2) ' Очевидно, величина Е, как и Ее, имеет размерность энергии. Определим положение ударной волны, пе решая задачи в целом. Для координаты ударной волны должна выполняться зависимость г, = г,(!). Поскольку из параметров 1, р1, Е нельзя образовать безразмерной комбинации (потому что из г, 2, р1, Е можно образовать только одну), то положение ударной волны должно удовлетворять соотношению Л = сопэС = Л*.
(12.19) Полагая для определенности Л* — -1 (у нас уже есть в (12.18) один свободный безразмерный коэффициент Е/Ее), получим закон движения ударной волны в следующей форме: (12.20) 100 Лекция 12. Оестациоаарные течения с ударными оолнами Скорость ударной волны после логарифмического дифференцирования (12.20) запишется так: с1г, 2 г, Ю о+2 (12. 21) Формула (12.20) хорошо согласуется с опытными данными (19].
Будем теперь искать решение задачи. Из соображений размерности с учетом набора определяющих параметров (12.16) следует, что решение нужно искать в таком виде: р = — ~I(Л), р = р1К(Л), р = р1 — Р(Л). (12.22) Функции 1с, й, Р безразмерные. Их нужно подставить в уравнения (12.11)-(12.13) и провести необходимые элементарные преобразования. Получаемые при этом обыкновенные дифференциальные уравнения имеют достаточно сложный вид; они приведены в уже цитированной книге Л.
И. Седова [19) для общего случая автомодельных движений. Запи1пем условия на ударной волне в новых переменных. Подставляя (12.21) и (12.22) в (12.15), получим (Л = 1) 1+1 о+2 1 ' (1+1)(и+2) Аналогично, (12. 24) Введем новук> переменную У = уР(11. На ударной волне 8у(у — 1) (,у + 1)2 (о + 2)2 ' (12. 25) 2 (12. 26) у(р+ 2) На первый взгляд кажется, что полученные обыкновенные дифференциальные уравнения допускают лишь численное решение. В 1945 г.
Л. И. Седов нашел единственное решение этих уравнений, вытекающее из интеграла энергии и дающее решение задачи о сильном взрыве в аналитической форме. Это решение имеет вид Задача о сильном взртлвс 101 Последующие уравнения позволяют простыми квадратурами найти функции 1ь(Г), Л('г'), дающие полное решение поставленной задачи. На рис.12.2 показано распределение относительной плотности по радиусу в случае сферического взрыва. Видно, что основная масса газа концентрируется в окрестности ударной волны.
Это обстоятельство послужило в дальнейшем основой для развития приближенной теории сильного взрыва в более сложных условиях. 0,5 0 05 т(т, Рис. 12.2. Распределение плотности по радиусу при сферическом сильном взрыве Лекция 13 ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНОГО АДИАБАТИт1ЕСКОГО ТЕт1ЕНИЯ СОВЕРШЕННОГО ГАЗА Общие уравнения движения однородного сжимаемого газа. Интеграл Бернулли. Изменения параметров вдоль линии тока. Важные определения: параметры торможения, максимальная скорость, скорость звука, критические параметры, число Маха, коэффициент скорости.
Выражения для параметров потока через параметры торможения и числа М и Л: газодинамические функции. Общие уравнения движения однородного сжимаемого газа Полная система уравнений движения однородного сжимаемого газа с учетом вязкости и теплопроводпости имеет вид —,— + г11г(ръ) = О, др д1 (13.1) (13.2) (Не И(1/р) 1 (Ы6 1 Нр 1, дт Р~( +Р ) = р1 — — — — ) = — Йгс1+а: —,, (13.3) (,,11 11,1 (, Ч р а1) дг ' /1 аа Р аа (13.4) ~ Т де ' рэТ др ) Для наглядности последующего изложения приведем здесь также уравнение производства энтропии (оно является следствием В этой лекции вводятся некоторые понятия и свойства, которые широко используются при обсуждении течений газа и при решении задач. Болыпинство этих понятий и свойств не зависят от конкретной модели уравнений состояния, однако вводятся они на примере совершенного газа исключительно по соображениям простоты аналитических выражений.
г1нтегрол Бернулли уравнения (13.4) и не может рассматриваться как дополнительное независимое уравнение): Йг, с1 агасси Т 1 дт р — = — Йс" — — с1 . + — а; —. (13.4') ссС Т Тг Т дг Неизвестные величины: р, т, е, э, р, Т. Имеем шесть уравнений для указанных шести неизвестных, если имеются выражения для с1 и и. Для случая совершенного газа с постоянным отношением теплоемкостей имеем э = э1+с!и т, Т = —, р= РЯТ .
(135) (Р/Рс) Интеграл Бернулли Рассмотрим некоторые общие свойства течений газа на основе изучения первых интегралов системы (13.1)-(13.4), которые получаются для упрощенных условий движения. Рассмотрим стационарное непрерывное движение невязкого газа. В этом случае уравнение (13.2), в котором следует положить и = О, имеет первый интеграл, который вдоль линии тока можно записать так: р 2 ' ' 1 р(рЬ) — + Р(р, Ь) = 1*(Ь), Р = . (13.6) рс Здесь интеграл берется вдоль линии тока: г* -- константа интегрирования, которая может иметь разные значения на разных линиях тока. Рассмотрим теперь случай адиабатического движения, когда приток тепла к частице газа отсутствует, т.е.
с1 = О. Тогда из уравнения (13.3) следует 1 ъ ягас1 6 — — т йгас1 р = О, т = оФ,. (13.7) Р Интегрируя (13.7) вдоль линий тока, получим Р = 6, так как оператор С йгас1 означает производную вдоль линии тока. Тогда уравнение Бернулли принимает вид 2 — +6= Но(6). 2 (13.8) Здесь аддитивная константа интегрирования Но(1) имеет смысл величины энтальпии в той точке линии тока, где скорость обращается в нуль, и называется энтальпией торможения. 104 Лекция 18.
Общие сввйсгава стацивиаривгв адиабагиииесквгв те секия Заметим также, что из уравнения (13.4') следует, что в рассматриваемом классе движений энтропия вдоль линии тока остается постоянной: в = во(П) ° (13.9) Таким образом, имеем два первых интеграла, (13.8) н (13.9). Запишем их конкретные выражения для совершенного газа с постоянными теплоемкостями, выбирая в качестве термодинамических переменных плотность р и давление р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
