В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 12
Текст из файла (страница 12)
9.2). Тогда решение (9.10) описывает однородное течение у †! — а = ао— (9.11) примыкающее к поршню. Характеристики С г описываются уравнением Ых у+1 у+! — — = ао — ----. й'', х = — й'" т + ~ао — — — Й (й — т), (9.12) ае 2 2 т.е. имеют одинаковый наклон.
Характеристика С. этого се- ОО мейства, выходящая из на- чала координат, описывается уравнением (9.12) при т = О. Таким образом,имеется переходная область, заключенная между характеристиками С и С+ . Все (О) (1) характеристики Се этой области начинаются в точке х = 1 = О и описываются уравнением О х э+! (ао + 2 Р) Рнс. 9.2. Центрнрованная волна раз- (9.13) реження — 'й <и<О.
Из (9.13) получаем решение для этой переходной области у+1 ао! у+1 ао! 'у+1 при 1 — — « — 1. (9.14) у+! Ъ х 2 ао ао! Опроиидиоание простой оолны сжатии х=(ао — 1~)т, И>О. Максимальная скорость истечения из трубы или вытягивания газа поршнем получается при о = О. Из (9.11) имеем 2ао Кпах 7 1 (9.15) При этом из формул для р и р (см. предыдущий пункт) получается р = О, р = О, т. е. происходит нестационарное истечение в вакуум. Течение в области, граничащей с областью постоянного течения (или покоя), — — простая волна Легко убедиться, что вынесенное в заголовок утверждение имеет общий характер. Из свойств характеристик вытекает, что границей областей постоянного По и переменного П1 течений непременно должна быть характеристика. Пусть это характеристика С .
Тогда характеристики С г не переходят из 110 в Пм (0) а характеристики С переходят. Так как все параметры течения на границе Й0 и Й1 постоянны, то константа в инварианте Римана на характеристиках С одинакова во всей области Пь Поэтому течение в области П1 описывается простой волной.
Опрокидывание простой волны сжатия Рассмотрим внимательно профиль плотности в простой волне сжатия. Он описывается формулой (8.32) и для некоторого момента времени 1 изображен на рис. 9.3, а. Пусть волна движется вправо со скоростью и + а. Участок волны слева от точки ~И будет волной разрежения, так как в нем плотность захватываемых волной частиц газа понижается, а участок справа от точки )11 —. волной сжатия, так как в нем Формулы (9.11), (9.14) дают полное решение задачи, в котором искомые функции непрерывны, а некоторые их первые производные терпят разрыв на линиях С+ и С+ .
Полезно от- (О) (1) метить, что в данной задаче решение всюду зависит только от отношения х/(о01). В верхней части рис. 9.2 показана труба, заполненная газом с правой стороны от помещенного в ней поршня. Штрихами слева показано положение поршня при 1 = т, а заштрихованная область справа означает центрированную волну разрежения с передним фронтом при х = аот и задним фронтом при 70 Ленино о. Применение решений типа проетолл волны Рис.
9.3. Опрокидывание простой волны сжатия возникнуть такая ситуация, когда профиль плотности па участке сжатия станет неоднозначным. Эта ситуация физически бессмысленна. В этом случае говорят об опрокидывании волны и вводят скачки уплотнения. Характеристики уравнений одномерных нестационарных течений релаксируюгцего газа Применим общую теорию характеристик к течению релаксирукицего газа. Для удобства в качестве модели газа выберем совершенный двухатомный газ с релаксацией колебательной энергии. Система уравнений имеет вид др д(ро) д» д (9.16) =О, до до 1 др — +о — + — — =О, д» д* р д* (9.17) др др в »едр др 1 /де, де,'1 — +о — — а» л — +о — )+р(7 — 1)~ +о л =О, д» д 1,д» ди) ~ д» д') (9.18) плотность захватываемых волной частиц газа повьппается.
Из формул (8.26), (8.27) видно, что скорость волны не одинакова в различных ее точках; скорость волны о + а тем больше, чем больше плотность р, так как н о, и а увеличивалотся с увеличением плотности. Иначе говоря, точка Длй догоняет точку Хы а точка Мз отстает от точки Дл~л. По истечении некоторого времени профиль волны примет вид, показанный на рис.9.3,б; профиль участка сжатия стал более крутым, а участка разрежения -- более пологим. В принципе может Прейельнмй переход и раеноеееному течению де, де, еч(Т) — е„(Т„) +о, еоч Р Р 01 дх то Здесь е,(х) - известная функция. Уравнение (9.18) получается из общего уравнения притока тепла подстановкой выражения для внутренней энергии газа. Уравнения (9.18) и (9.19) уже имеют характеристический вид, так как содержат производные только вдоль траекторий частиц Р: х = о.
Для определения других семейств характеристик исклк>чим из (9.18) производную е1е,/пг вдоль Р: — + о — — ае [ —, + о — ) + Р( у — 1)ео, = О. (9.20) др др з дР дР д1 дх [, 01 дх) Применим обычную процедуру к уравнениям (9.16), (9.17) и (9.20): умножим (9.16) па а~1, (9.17) на +раб (9.20) на 1 и сложим.
Приводя подобные члены, получим ре + (о ~ ае)рх ~ [ое + (о ~ ае)ох) + р( 7 — 1)ео = О. (9.21) Уравнение (9.21) показывает, что полная система характеристик уравнений (9.16)- (9.19) выглядит так: Нх С~: =о~аь Ж (9.22) Иначе говоря, характеристики уравнений одномерных пестациопарных течений релаксирующего газа определяются замороженной скоростью звука. Предельный переход к равновесному течению йр З Нр [еее„(Т,) йе„(Т) Йе,(Т) В пределе то — + 0 система уравнений (9.16) — (9.19) описывает предельное равновесное течение, в котором Т = Т,.
Естественно поставить вопрос о характеристиках системы уравнений этого предельного течения. Поскольку время релаксации то пе входит в выражение для замороженной скорости звука аь то кажется, что характеристики (9.22) относятся и к предельному равновесному течению. В действительности это не так. Чтобы показать это, проведем несложные тождественные преобразования уравнения (9.18).
Заменяя частные производные полными производными вдоль Р, запишем 72 Лекция о. Применение решений типа простой оояни С учетом уравнения Клапейрона производная де,[Т)/е11 прини- мает вид Йе [Т), ЙТ е 1'1 ~1р р Йр 1 е11 е11 й ~ р е11 ~г е11,I Подставляя [9.24) вместо второго слагаемого в квадратных скоб- ках в [9.23), получим гор е (1 е1р р е1р'] Пар Я1 г — +р[,-1) .(- †, 1 + + р[ у — 1) — [е [Тр) — е,[Т)] = О. [9.25) И 'у 1 — — — — + — [е,1Т ) — е [Т)] = О.
У+ е, Я [ 1) [9.26) Упростим коэффициенты, используя выражения у = ору'с, и формулу Майера й = ср — с,: 'у 1 7+ з — 1 . с,+е„ й [9. 27) р[ у — 1) рй[ср — с,,) рй рй 7 — . с„[ср — с,) + е„(ср — ск) с„ + е„ с, — 1, й Напомним, что е, = с1е,1Т)дТ теплоемкость инертных степеней свободы в состоянии полного термодинамического равновесия.
Окончательно тождественные преобразования [9.23)— [9.28) приводят уравнение [9.18) к следующему виду: ое + ~ее~ Тру ее[Т)] = О. [9.29) Я1 е,11 с Ц Теперь видно, что предельный переход то -+ О приводит уравнения [9.29) и [9.19) к следующим уравнениям: 'гр г егр — — о,— =О, 1 'е 11 [9.30) После приведения подобных членов и деления па коэффициент при йр[с11получим Пределонмй переход н раонооеенону течению 73 е,(Т)=е,(Т), Т,=Т, (9.31) а уравнения (9.16) и (9.17) не изменяются.
Применяя описанный выше способ вывода характеристик к равновесной системе (9.16), (9.17), (9.30), (9.31), получим с~х Сз: — = р ~аоо сЫ Р: — ' = р. <И (9.32) Таким образом, при переходе к равновесию (то -+ О) характеристики Сл. скачкообразно изменяются от (9.22) к (9.32), так как аг и ве различаются на конечную величину. Ранее отмечалось, что характеристики могут играть роль линий распространения возмущений. Как реализуется деформация малых возмущений при переходе к равновесию, мы видели при изучении теории звука в релаксирующем газе. Как деформируются конечные возмущения в пределе те -+ О, мы увидим на конкретном примере решения простой задачи стационарного течения релаксирующего газа.
Подобную деформацию для одномерных нестационарных течений можно проследить, если рассмотреть задачу о выдвижении поршня из трубы, заполненной релаксирующим газом. Лекция 10 ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН Соотношения на сильном разрыве. Кон"гактный разрыв. Ударная волна. Аднабата Гюгонно.
Слабые ударные волны. Сильные ударные волны. Ударные волны в совершенном газе с постоянными теплоемкостямн. Примеры ударных волн с изменением уравнения состояния. Опрокидывание простой волны —. один из простейших примеров возникновения сильных разрывов при движении сжимаемого газа. Это явление носит общий характер. Более того, при движении газа около препятствий либо ограничивающих стенок можно получить непрерывные поля параметров лишь в результате точного расчета и тщательного проектирования потока. Соотношения на сильном разрыве Для изучения свойств разрывов будем исходить из общих законов сохранения массы, импульса, энергии, записанных в интегральной форме. Используем также закон возрастания энтропии.
Здесь для простоты рассмотрим случай одномерного движения. В качестве контрольного объема взят цилиндр с осью Ох и основаниями единичной площади при х= хм х= хе, х1(хз. й — ~ рдх+ (ре)е, — (ре), = О. (10.1) Уравнение импульса: рейх+ (ри~ + рее)х — (ре~+ ряе)х, = 0 (102) в Для однородной среды уравнения баланса принимают слевду|ощий вид. Уравнение неразрывности: Соотгооигенил на сильном разрыве 7о Уравнение энергии иг — р — +е Йх+ ри — +е +р и+о иг — ри — + е + р и+г) = О.
(10.3) жг Уравнения (10.1)-.(10.3) можно записать в следующем общем виде: иг — ~ Ае1х+ В! — В[ = О, и 1 (10.4) А р,рщр — +е (10.5) с г В ри, ри~+р, р~ — +е +р, е+д . (10.6) гор) гг — АО, )з*е [ АО,*)з ].;.в/ — в/ во О) = А [хо (1), 1] хо — А [хо (1)., 1] ха + иа хг + ~ — йх+ ~ — е1х+ В! — В[ = О. (10.7) ) дА 1 дА жг ио Пусть на интервале (хм хе) имеется разрыв переменных, движущийся относительно газа. Это движение описывается уравнением х = хо(1), Газ вне разрыва считается невязким и нетеплопроводным, т. е.
р = р, о = О, В дальнейшем пам понадобится представление о роли вязкости и теплопроводности внутри разрыва для описания источника энтропии. Там будем учитывать, что р — р и е) пропорциональны соответствующим производным (см. лекцию 3). Это вполне соответствует представлению о разрыве как об области резкого изменения параметров, т. е. об области больших производных. Вне разрыва параметры изменяются плавно, так что величинами р„— р и е) можно пренебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
