Т. Карман - Аэродинамика. Избранные темы в их историческом развитии (1161639), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Например, рассмотрим дне картины течения, в кал<дой из которых сфера движется с равномерной скоростью в бесконечно простира<ощей<я жидкости в состоянии покоя. Диаметр сферы, скорость движения, а также плотность и вязкость жидкости могут быть различными. Мы х<п им найти у<ловие, при котором картина течения останется подобной. Другими словами, мы хотим найти закон механического подобия для геометрически подобных ситуаций. Во-первых, должны быть перечислены все силы, действующие на элемент жидкости.
Это силы тяжести, трения, сила инерции, и давление. Забудем на время о силе тяжести, поскольку сила тяжести обычно не оказывает заметного влияния на аэродинамические явления, носящие локальный характер, хотя она важна в крупномасш <абных явлениях типа рассматриваемых в метеорологии. В несжимаемой жидкости давление — это вид пассивного противодействия, величина которого как раз достаточна, чтобы уравновесить другие силы, действующие на злеменг жидкости, Следовательно, нам догтаточно рассмотреть трение <и силы инерции.
Если соотношение между этими силами не изменится, то картина течения останется подобной. Сила инерции, действующая на элемент жидкости, равняется скорости изменения количества движения в единицу времени. Масштаб длины всей картины можно охарактеризовать произвольно выбранной длиной Гэ например диаметром сферы. Если б< являет<'я характерной скоростью, такой как скорость движения, то масштаб времени явления задается 1,((.~. Наконец, пусть р является плотностью, а д коэффициентом вязкости жидкости.
Тогда массы двух подобных элементов жидкости в обеих картинах течения будут соотноситься как рбз, относительные значения количества движения — как р1 ' 1У и скорогти изменения я количества движения . — как ржаво' У<<А или рт,зс<з. Мы могли бы начать < этого выражения, доказывая, что сила инерции должна быть Теории евпрвгаивл*иил и нвверхнвгпгнвгв трения 83 пропорциональна динамическому давлению —,рУ~ и что поэтому сила, 2 действУющаЯ на подобные элементы, пРопоРциональна гРУЯ г,-'.
2 Сила трения, действующая на единицу площади, пропорциональна фlггА, потому что опа равняется градиенту скорости сквозь течение, умноженному на коэффициент внутреннего трения д. Тогда равнодействующая сил трения на струйный элемент пропорциональна (дГ/г' ) г' или дУг . Следовательно, соотношение между инерцией и силами трения пропорционально Рр'К' Ф"Т. ит. р — или где и = и/р называетгя коэффициентом кинематической вязкости.
Если мы сравним напряжения, т.е. силы, действующие на единипу площади элемента хгидкости, то обнаружим, что для достимгения механического подобия нормальное напряжение или давление, пропорциональное рог, должно быть в постоянном соотношении к касательному напряжению или напряжению трения, пропорциональному дУ/Т. В заключение можно сказать, что если соотношение У7,/р имеет одинаковое численное значение для обоих течений, го можно ожидать, что картины течения останутся подобными. Друтими словами, если лиаметр сферы первой системы в лва раза больше диаметра, сферы во второй системе, то мы должны заставить скорость сферы первой системы равнятьгя половине скорости во второй системе для того, чтобы получить подобные картины те ~ения, при условии, что движение происходит в жилкости с одинаковой кинематичсской вязкостью. Если кинематическая вязкость одной системы составляет одну десятук> вязкости второй, то произвсдешге линейного размера и скорости первой системы также должно быть в десять раз меньше для того, чтобы картины течения обеих систем оставались подобными.
Выражение 1Л./р является безразмерной величиной и называется числом Рейнвггьдев. Одним показательным примером закона подобия, приведенного в предыдуптем параграфе, является метод увеличения числа Рейнольдса во время экспериментов в аэродинамической трубе. Вообще размеры модели для аэродинамической трубы уменыпаются в определенном масштабе относительно прототипа. Тем не менее можно достичь механического подобия, игпользуя жидкость с низкой кипематической вязкостью; эту идею независимо друг от друга предложили Маргулис (1б] Главе Г11 и Мунк ~16~.
В чагтности, Мунк рассмотрел допу<тимость аэродинамической трубы, использующую в качестве рабочей жидкости сжатый воздух, и в соответствии с этой идеей в ХАСА была построена аэроеЭиэшмичесхая труба переменной плотности. Поскольку плотность или давление оказывают лишь яезначительное влияние на коэффициент вязкости газа р, то эффект от увеличения давления должен уменьшить кинематическую вязкость. В соответствии с кинетической теорией газов, коэффициент внутреннего трения д пропорционален рсЛ, где с есть средняя молекулярная скорость теплового возмущения, а Л средняя длина свободного пробега молекулы. Таким образом, опуская несущественный числовой коэффициент, число Рейншп дса можно также выразить через: П Е вЂ”,х— л' то есть произведение отношения скорости тела к молекулярной скорости и отношения линейного размера тела к средней длине свободного пробега.
Квк мы докажем в следующей главе, молекулярная скорость является величиной того же порядка, что и скорость звука: средняя длина свободного пробега,тля воздуха в нормальных условиях очень мала, порядка двух миллионных дюйма в длину. Следовательно, что касается обычного течения низкой скорости, то П/с мала, а 1,~Л велика, и в законе подобия в виде числа Рейнольдсв, появляется только их произведение. Однако если скорость близка к скорости звука, .то отношение П~с болыпе не является малой величиной и появляетгя отдельно в качестве второго параметра подобия.
Этот параметр называется числом Маха, и мы встретим его в следующей главе в качестве определяющего параметра. При определенных условиях соотношение 1,/Л становится вторым независимым определяющим параметром, а именно, если средняя длина свободного пробега сравнима с размерами тела. Это происходит, например, в уже упоминавшемся случае тела, движущегося в очень разреженном воздухе, например на большой высоте. В этом случае мы оказываемся в области, где больше не применяется механика сплошных жидкостей, а следует учитывать столкновения между молекулами. Исключим случаи, когда скорость соизмерима со скоростью звука, а средняя длина свободного пробега соизмерима с размерами тела.
Тогда число Рейнольдсв — единственный определяющий параметр, и если Уееврии слпротналеннл и поаеряноспэного тренин з в н а 1 е й 0 1О 1О 10 10ь 10 число Рейвольдса Рис. ЗЗ. Коэффициент лобового сопротивления кругового цилиндра как функция числа Рейнольдса. число Рейнольдса имеет одно и то же значение, то течение подобно,и поэтому все безразмерные коэффициенты должны иметь одно и то же значение. Другими словами, безразмерные параметры вообще следует рассматривать как функции числа Рейнольдса. Я был не совсеги прав, когда сказал, что коэффициент лобового сопротивления кругового цилиндра зависит только ог скорости.
Это верно, если диаметр цилиндра и кинематическая вязкость жидкости остаются неизменными. Фактически, коэффициент лобового сопротивления крутового цилиндра зависит от числа Рейнольдса. как показа,но на рис. 33. Интересный факт, что ни сам Рейнольдс, ни кто-либо друтой из английских ученых, его последователей, не дал конкретного названия безразмерному параметру ГЛ/еб в честь Рейнольдса этот параметр назвал в 1908 году Арнольд Зомыерфельд 11868-1952). Число Рейнольдса сейчас повсеместно используется в гидродинамике, аэродинамике, гидравлике и других науках, которые вынуждены заниматься течением жидкости. В некоторых случаях оно работает почти как черная лэагия. Вспоминаю следующий опыт. В 1911 году известный немецкий специалист по физической химии Эмиль Бозе опубликовал статью, содержащую очень точные измерения разности давлений течения в трубопроводе различных органических жидкостей 117].
Он испольэовал один Глава 111 и тот же аппарат зшя всех жидкостей сл измерил время, требующееся для протекания через одну и ту же трубу равных объемов различссьсх жидкостей, и соответствующую разность давлений между двумя концами трубы. Сравнив результаты для разных жидкостей, он обнаружил, что, например., хлороформ — жидкость менее вязкая, чем вода при малых скоростях, но ведет себя почти также, кяк вода при более высоких скоростях; бромоформ более вязок, чем ртуть при малых скоростях, но становится «менее вязксимсч чем ртуть при более высоких скоростях. Очевидно, «менее вязкий» в ятом случае означает, что для одинаковой скорости течения требуется меньшая разность давлений.
Я предложил использовать число Рейнольдса (представляющее собой г1кднн»ю скоро(тач умноженнусо ня диаметр трубы и ряздс ленную ня кинематическую вязкость) в качестве параметра и установил, что формулы., предложенные Бозе для представления своих зкспериментальных результатов с девятью жидкостями, можно было бы объединслть в одну единственную формулу [18]. Иа рис. 34 в логарифмической шкале представлен измеренный перепад давления Р в зависимости от времени Т,требуемого для оттока одинакового обьема Я четырех выбранных жидкостей 1«З = 8. 81 кубических сантиметров). На рис. 35 построен график безразмерной величины РТ,Ссс как функции другой безразмерной величины рО~1з(дТ, которая для геометрически подобного я«спярата пропорциональна, чис— лу Рейнольдса. Видно, что все данные, показанные па четырех кривых рис. 34, лежат на единой кривой.
Это доказывает не столько верность закона подобия, в зкспериьсентнзьссом подтверждении которого нет необходимости, сколько точность измерений Бозе. Извиняясь перед специалистами по гидравлике, которые могут прочитать зту книгу, должен сознаться, что я некогда, называл гидравлику «наукой переменных постоянных м Истина заключается в том, что болыпинство постоянных величин, встречавшихся в старых книгах по гидравлике, являются просто функциями числа Рейнольдса. После принятия понятия числа Рейнольдса специалистами по гидравлике и инженерами-химиками, весьма прояснился весь предмет течений в трубопроводах и каналах.
Однако прошло много времени, прежде чем вся значимость идей Рейнольдса проникла в умы физиков, химслков и инженеров. Б американской литературе по гидравлике в двадцатых годах зквивалент числа Рейнопьдса, появляется как «козффициент турбулентности». 87 Теории сонротивленнл и иоверхностного трепал 0.5 1оя Р— 1.0 — 1.5 20, — !.5 !оя Т вЂ” 30 Рис. 34. Экспериментальные результаты Бозе по перепаду давления течения в трубопроводе. Построен график логарифма перепада давления Р в килограммах ва квадратный сантиметр в зависимости от логарифма !)Т, где Т вЂ” время в секундах, требуемое для оттока одинакового объема (8,81 кубических сантиметров) жидкости. (Из статьи Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
