Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ударная адиабата с учетом равновесного излучении При очень высоких температурах (или очень низких плотностях газа), когда энергия и давление равновесного излучения сравнимы с энергией и давлением вещества, излучение следует учитывать при расчете ударной аднабаты (разумеется, предварительно следует проверить, устанавливается лн равновесие излучения с веществом в конкретных условиях задачи). Рассмотрим очень сильную ударную волну, распространяющуюся по холодному газу, и предположим, что потоки излучения по обе стороны фронта равны нулю. Предположим также, что за фронтом ударной Волны излучение равновесно (не интересуясь здесь вопросом о процессе установления равновесия).
Таким образом, мы рассматриваем задачу с чисто термодннамнческой точки зрения, как это обычно делается при выводе ударной адиабаты *.). Подчеркнем, что мы рассматриваем нерелятивистский случай, когда скорости ударной волны и вещества гораздо меньше скорости света, и энергии вещества н излучения гораздо меньше знергпн покоя вещества. Введем в уравнения сохранения потоков импульса и энергии на фронте ударной волны энергию н давление излучения за фронтом В,1, р„(см.
$ 13 гл. 1 н $ 17 гл. 11). Законы сохранения на фронте запишутся в виде (3.74) Р1 Рт1 а[ Ю вЂ” г е, +... + + Щ О1 2 2 а) Эта задача рассматрпвалась Саксом [27]. удАРнАя АДИАВАтА с учетОН РАВнОВеснОГО излучения 135 о гОг Чтобы упростить задачу с целью выяснения роли излучения, будем считать, что газ обладает постоянными теплоемкостью и показателем адиабаты у и подчиняется обычному уравнению состояния: р=- А9Т, А = — соизц з= — - — - АТ =-= —.—.—— у — г у †) е Подставляя в (3.74) з,г и р„по формулам (3.49), (3.50), выражая давление р, и энергию зг через температуру Т, и исключая иг с помощью первого из уравнений (3.74), получим соотношения, соответствующие формулам (3.72), (3.73), в которых излучение не учтено: АОо/гТг+ —. = йоР 1 — — /, иготгг Зс г, Ь /' у — ! о ' Зс 2 ' ЬЗ вЂ” 4доЬТ+ ' = — о — Ь/1 —— У ЬбаТ', Оо!М /' 1 (3.75) где Ь = йг/йо — сжатие во фРонте УдаРной волны.
Исключим далее из этих уравнений Р и разрешим полученное выражение относительно Т,: йп тог Ь (Ь вЂ” Ьо) ЗАсоо (7 — Ь) (3.76) где ао — — (у -',— 1)/(у — !) — предельное сжатие в сильной ударной волне без учета излучения. Это соотношение можно рассматривать как уравнение, определяющее сжатие Ь в зависимости от амплитуды ударной волны, которую можно характеризовать температурой за фронтом Т,.
Величина в левой части уравнения (3.76), пропорциональная Т,', представляет собой помноженное на Ь отношение давления излучения к давлению вещества за фронтом ударной волны Ьр„/рг. Из (3.76) следует, что если давление излучения относительно мало, так что Ьр,г/рг (( 1, то Ь ж Ьо, т. е. сжатие равно обычной величине Ьо =-- (7 + 1)/(у — 1). В пределе очень сильной волны, когда Ьр,г/рг Т,' — г- со, сжатие Ь стремится к Ь = 7. Этого результата следовало ожидать, так как равновесное излучение с термодинамической точки зрения ведет себя как идеальный газ с показателем адиабаты у = 4/3 (см.
з 3 гл, 11), соответствующим предельному сжатию в ударной волне, равному 7, В интервале между двумя предельными случаями — — ~ 0 и — ' — о- оо ЬР, Рсг Рг Рг сжатие Ь по мере увеличения амплитуды волны монотонно меняется от Ьо = (у + 1)/(у — 1) до Ь = 7, независимо от того, Ьо) 7 или Ьо ( 7, т. е. независимо от того, меньше или больше 4/3 показатель адиабаты газа без учета излучения.
В предельном случае, когда энергия и давление излучения много больше энергггя и давления вещества, т. е. когда вторые члены в левых частях уравнений (3.75) гораздо больше первых, температура за фронтом Тг Рно, в отличие от обычного случая Тг Р'„ без учета излучения (в газе с постоянной теплоемкостью). Напоминаем, что относительная роль энергии и давления равновесного излучения тем болыпо, чем меньше плотность вещества: р,/р 1/9 (в газе с неизменным числом частиц).
Например, в полностью ионизозанном водороде давление излучения равно давлению газа при Т =-- =- 10' 'К, если число частиц (протонов и электронов) и = 10" 1/сэго; если же и = 10" 1/сэго, давления сравниваются при Т =- 10' 'К. твгмодннзмичвскнв своиствА г»эоэ 2.
з АЗ ИЗ ЧАСТИЦ С КУЛОЙОВСКИМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ э 11. 1'азрвженный иониэованный газ /гл. »п Рассмотрим отклонения ионизованного газа от идеальности, обусловленные кулоновским взаимодействием заряженных частиц. Мы ограничимся в этом параграфе случаем слабой неидеальности, когда члены кулоновского взаимодействия в термодинамических функциях можно рассматривать как малые поправки к членам, соответствующим идеальному газу.
Для того чтобы ионизованный газ можно было считать идеальным, необходимо чтобы энергия кулоновского взаимодействия соседних частиц была мала по сравнению с их энергией теплового движения, т. е. чтобы выполнялось условие (lе)з/гз « /сТ, где я — средний заряд частиц (ионов, электронов), а гз ж и пз — среднее расстояние между нимп; и — число частиц в 1 смз газа. Это условие можно переписать в форме и «( — ) =2,2 10»( — --) 1/смз (3. 77) ( — з/и) зр, =. 7,е ехр —— где з/ — так называемый дебаевский радиус, характеризующий размеры облака, 1 д=-(-'„„~' иЯ»з) »=6,90( )з см (3.78) (и; — число ионов с зарядом Я; е в 1 см', электроны также включаются адвсь в понятие «ионов»; для них Х = — 1).
Статистическое рассмотрение методом Дебая — Хюккеля справедливо, если в облаке содержится много частиц, т. е. если дебаевский радиус д гораздо больше среднего расстояния между частицами гз ж и Оз. г Ет 'з <т*' з Условие з1» гз приводит к условию и « ( ) =.=1,1 ° 10' ~ (.4,з,лйз. ' '. г ./ ' " еще более жесткому, чем условие идеальности гааа (3.77). Таким образом, дебаевское рассмотрение предполагает очень слабую неидеальность газа. Например, при степени ионизации порядка единицы (2 ° 1) и Т 30 000* К для идеальности нужно, чтобы и « 6,2 10" 1/см' (для сравнения напомним, что число молекул в воздухе нормальной плотности равно 2,67 10" 1/см').
Кулоновские поправки к термодинамическим функциям при слабой неидеальности можно вычислить, воспользовавшись методом Дебая— Хюккеля так, как это сделано в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1 [ (см. также работу Б. Л. Тимана [11!). Вокруг каждого из ионов или электронов образуется неравномерно заряженное облако из соседних частиц, причем распределение плотности заряда в атом облаке определяется законом Больцмана в соответствии с электростатическим потенциалом, создаваемым совместным действием центрального заряда и облака. Решение уравнения Пуассона для распределения электростатического потенциала по радиусу г около центрального иона с зарядом Я;е в первом приближении приводит к формуле РАЗРЗЖВННЫЙ ИОНИЗОВАННЫЙ ГАЗ 187 ':--(- ).= ..
(3.84) В среднем между частицами действуют силы притяжения, так как каждый ион окружает себя преимущественно зарядами противополож.ного знака. Поэтому кулоповские энергия и давление отрицательны. Кулоновское взаимодействие влияет на состояние газа двояким образом. Во-первых, оно уменьшает энергию и давление (а также энтроЗлкул Екул, пню: Яку = — — =- — — ) . Во-вторых, и этот эффект наиболее суще- дТ ЗТ )' ствен, оно сдвигает ионизационное равновесие в сторону более высокой степени ионизации. В самом деле, свободный электрон во взаимодействующем газе обладает отрицательной потенциальной энергией, т. е.
как бы тоже немного связан с ионами, поэтому для отрыва электрона от атома или иона необходимо теперь затратить несколько меньшую работу, что соответствует эффективному уменьшению потенциалов ионизации. Уменьшение потенциала ионизации определяется изменением не полной, а только свободной кулоновской энергии, так как вследствие зависимости кулоновской энергии от температуры «включение» кулоновских сил взаимодействия меняет энтропию системы. Чтобы вывести формулу для ионизационного равновесия с учетом кулоновского взаимодействия, поступим так же, как и в З 5. Запишем полную свободную энергию системы в виде е' = е' из+ е кул~ где Еид выражается формулой (3.41), а Е„ул — формулой (3.80), и составим вариацию ЬР по отношению к вариации числа л»-ионов в результате их ионизация.
Воспользовавшись условием бЛ1 = — ЬЛ' +1 — — — ЬЛ', и приравнивая вариацию ЬЕ нулю, получим вместо (3.42) исправленное выражение для «закона действующих масс». Чтобы здесь не путать статистическую сумму с зарядом, отметим статистические суммы «гильдой» (2): Агпн-1 Ут~»~в ~ Ю11~« — ЛУ вЂ” е ж хщ (3.88) Я1« И1е Вблизи центра прил« д 1р1 = — — — "' . Первый член есть потенциал, создаваемый самим центральным ионом, а второй 1~1 = — Я1е/е( представляет собой потенциал, создаваемый окружающими зарядами в месте, где находится данный ион.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
