Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Ячейки оказывают друг на друга положительное давление, совпадающее с давлением электронного газа, т. е. модель описывает только силы отталкивания и «тепловое» давление. Поэтому модель дает разумные результаты либо прн больших плотностях, для сильно сжатого твер- *) Поло должно мало меняться и на расстоянии норядка длины волны электрона. 193 1:з) МОДКЛЬ АТОМА ПО ТОМАСУ вЂ” «ЗКРМИ дого тела, когда силы отталкивания резко преобладают над силами притяжения атомов, либо при высоких температурах, когда силами сцепления можно пренебречь. Из сказанного следует, что в модели Томаса— Ферми энергии «ионизации», «возбуждения» и «теплового движения» электронов уже не вычисляются отдельно, как при рассмотрении разреженных газов.
Они автоматически входят в полную электронную энергию атомной ячейки. Для того чтобы выделить из нее <тепловую» часть энергии, специально связанную с существованием температуры, из полной энергии следует исключить энергию ячейки того же самого объема, но соответствуютцую нулю температуры. То же относится и к давлению. рассмотрим сначала атомную ячейку при нуле температуры, т. е. статистическую модель атома по Томасу — Ферми *). В основе этой модели лежит предположение о том, что в сложных атомах с большим числом электронов болыпинство электронов обладает высокими главными квантовыми числами и их движение квазиклассично. Электроны в атоме рассматриваются как газ, находящийся в достаточно медленно меняющемся по радиусу самосогласованном электростатическом поле э*) 2р (г), обусловленном зарядами ядра и самих электронов.
Тем самым учитывается неидеальность электронного газа. К атому газу применяется статистика Ферми — Дирака. Максимальная кинетическая энергии электрона на данном расстоянии г от ядра ас (г) =- ]з -'- е<р (г) связана с плотностью электронов в этой точке формулой (3.88), так что плотность выражается через потенциал формулой 3 2 з з н (г) =- —" 2 — „",— ]атр(г) -]- ]2]2. 8Я 2жв (3.96) Электростатический потенциал вр (г) удовлетворяет уравнению Пуассона: о~2 О29 уз" ]гтр(г)1 4ясп (г) (3.97) К уравнению (3.98) присоединяются граничные условия. В центре, при г -~ О, поле переходит в кулоновское поле ядра, т.
е. Яв 2Р (г) =- — при г — в О. (3.99) Поскольку ячейка электронейтральна, на границе ее поле равно пулю (вне ячейки потенциал постоянен): — =О прн г=го. Ивр з]т (3.1ОО) *) Подробному нэложонню этого вопроса посвящена книга Гамбоша [29]. Короткое п ясное изложение можно зайтя а книге Л Д Ландау н Е М.
Лкфшкпа ]ЗО]. **) О возможностях статпстнческого описания электронного газа в поле было сказано в прэдыдущем параграфе. 13 я. г*. э«я»зоват, ю. п. Райзер которое после подстановки (3.96) и введения нового «потенциала» т]з = = ~р + ]2/е (потенциал определяется с точностью до аддитивной постоянной) принимает вид: 2 5 З (3.98) 194 1гл. Гы ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОИСТВА ГАЗОВ Это условие эквивалентно очевидноъгу соотношению го Я = ~ п (г) 4яге г(г. 0 (3.101) Введением безразмерных переменных 2 г 2 Г' Зла '~2 ас 0,885ас ЯЗ яз (3.102) где ае = Ьа!4яалт,ее = 0,529 10 ' сзс — боровский радиус, и 2= ( ОР+ 1= ° ф уравнение (3.98) приводится к универсальному виду з х2 22 — ае)О Ех2 (3.103) (3.104) Граничные условия (3.99), (3 100) принимают форму: Х(0) =1; Х(х.) =*.~ — „.
)„ г а)О Безразмернан форма уравнений демонстрирует характер подобии по отношению к числу электронов Я. А именно, распределение плотности по радиусу согласно (3.96), (3.102), (3.103) можно записать в виде х .гЗ п (г) = 22~ ( — ), Ь = 0,885а„ (3.105) *) Поскольку поле электронейтральпого атома должно убывать на бесконечности быстрее, чем г т, апотеицнал> ~р убывает быстрее, чем г г; граничное условие в этом случае принимает вид гт — т -+- О при г -асс.
аа) давление в системе ие веаимодействующвх частиц складывается иа двух частей: «кинетического», свлаанного с дан>конном частиц и ик кинетической энергией обычным соотношением Ркак=йпеав108, где л — число частиц в 1 сма, а е„„„— их средняя кинетическав вйергия, и ацотенциальногоэ, эквивалевпОого силам, дей- где функция ( пропорциональна ()~/х)еис Решение уравнения (3 104) с соответствующими граничными условиями (зто делается путем численного интегрирования) дает распределение аа2 потенциала и плотности электронов по радиусу, после чего можно вычислить все интересующие Рис. 8.3.
Схематическое распределение электрон- кас величины. ной плотности в свобод- Электронная плотность в свободном нейтральном атоме. ном атоме, не сжатом внешними силами, как показывает ре2пение, простирается до бесконечности: т -э- О, и — 1- 0 при х-ь оо ") (рис. 3.3). Если за нуль потенциальной знергии принять состояние, в котором все заряды разведены на бесконечность, следует положить потенциал ~р равным нулю на бесконечности.
Химический потенциал при етом обращается в нуль. Давление на границе свободного атома, не сжатого внешними силами, а следовательно, и давление **) во всем пространстве равны нулю. По теореме 195 з <з) МОДЕЛЬ АТОМА ПО ТОМАСУ вЂ” ФЕРМИ вириала для неограниченного кулоновского поля полные кинетическая и потенциальная энергии частиц связаны соотношением 2Е „, = — Е„,. Полная энергия атома Е Е + Елр Езр Е Теорема вириала в данном случае, в сущности, выражает тот факт, что кинетическое расталкивание электронов в точности уравновешивается кулоновским стягиванием их к ядру, благодаря чему полное давление, равное сумме «кинетического» и «потенциального», в каждой точке равно нулю.
Хотя электронная плотность, в принципе, простирается до бесконечности, основной заряд сосредоточен н конечном объеме «'>ф. Согласно (3.105), линейным масштабом этой области служит боровский радиус а„причем $;ф 7 ' (см. рис. 3.3). Это следует и из теоремы вириала. Потенциальная энергия атома по порядку величины равна Е„„ — е>22/Г'/>. Кинетическая энергия, соглас>ф' но (3.88), (3.89), порядка 2 аз /' г;з Еккл з«Я —. Е ( — ) з> ( У ) ее Из условия механического равновесия или ' шеез'' З теоремы вириала найдем Г;ф ( --' — ! Х /,2 х е' ' а,'Л '. Полная энергия атома порядка Е = Е„"р /2 — е»Л'/>/ае — 1»«Я>/з.
Точное значение Е = — 20,8 Е'/з эв; зто есть, по абсолютной величине, энергия, которую надо затратить, чтобы развести все заряды атома на бескоыечность (энергия полной ионизации атома). Рассмотрим теперь «сжатый» атом, т. е. атомную ячейку конечного объема г'. Теперь давление (равное «внешней» силе, действующей на 1 сз>2 поверхности ячейки) отлично от нуля и положительно. Следова- тельно, и электронная плотность на границе ячейки конечна (рис. 3.4). В самом деле, поля на границе ячейки нет. Электроны у границы ведут себя как свободнь<е и все давление у грашщы «кинетического» происхо- ждения. «Кинетическое» давление, по определению, равно передаче нормальной составляющей импульса 1 сз«2 поверхности ячейки в 1 сен. Посколы<у электроны распределены по направлениям движения изо- тропно, Рис.
3.4. Схематическое распределение электронной плотности з «сжатом> атоме — в атомной ячейке радиуса 2«. (3.108) где 9 (р, г,) — функция распределения по импульсам у границы ячейки гз, а и = — р/т, — скорость электронов. Давление, как и следует ожидать, равно 2 2 Р == и (гз) зкиз (гз) = — -3 я (Гз) ез (гр) (3.102) ству<рн<км на частицы (з данном случае куленевским). Шеризльне зте разделение следует кз соотношения (при нуле температуры) Р = — дЕ/ду = — (дЕзвв/д У)— (дЕзрг/др) = Рзив+ Рврг Кинетическое давление всегда пележнтельне, йетевциальнее Рерг ) О.
если частицы отталкиваютсл, и Р„,г «. О, если они притлгиваютев. 13* ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ (ГЛ. Гм 3 где зияя (го) = — - ео (го) — средняя кинетическая энергия электрона 5 у границы ячейки. Давления во всех точках одинаковы: Ре„„+ + Р„= сопз(, хотя «кинетическая» и «потенциальная» составляющие меняются от точки к точке.
«Кинетическое» давление Ри„„в любой точке выражается через кинетическую энергию формулой типа (3.107). Выражая полные кинетическую и потенциальную энергии всей ячейки Е„„„и Е„„через интегралы по объему ячейки от плотностей энергий, которые пропорциональны электронной плотности, можно путем непосредственного вычисления убедиться в том, что *) 2 1 = 3 ""'+ 3 Е""' (3.108) Уравнение (3.108) может быть выведено из теоремы вириала применительно к системе частиц, находящихся в кулоновском поле и занимающих конечный объем **). В частности, для свободного атома Р = — 0 и 2Еа„„= — Е„';т как уже говорилось вьппе. При сн«атии атома давление и плотность на границе растут. Растет и энергия ячейки в силу соотношения О«Е = — Р ог(г (Р О).
Физически это очевидно, если учесть, что не сдерживаемое внешними силами электронное облако, стремясь свести к минимуму энергию системы, растекается до бесконечности. Если интересоваться энергией сжатия ячейки, а) При вычислении потенциальной энергии следует разбить потенциал на два слагаемых, соответствУющих потепциалУ ЯдРа и потенцкалУ электРоно⠫Р††- оа + ~Р„ где тр = Ее/г, га га 1 даат= Еноте+ Енота= 2 4ле т) г е)гл (г) ту« (г) 4пе ~ ге игл (г) гуа(г)= о о ге Р ! Ееч .= — 2 4ле ) г» Ыг а (г) ( ~Р (г) + — ( . (3. 109) с Множитель (/2 в паете введен потому, что энергия вэаимодействия каждого электрона с каждым другим в йнтеграле учтена дважды.
Чтобы потенциальная энергия отсчитывалась от аначения, соответствующего раэведению всех электронов на бесконечность, следУет положить потенциал на гРанпце нейтРальиой Ячейки «Р (го) Равным нУлю, Поскольку плотность на границе сжатого атома отлична от нуля (ей пропорционально давление), химический потенциал в силу определения «Р (го) = О согласно (3.96) не равен нулю и положителен. аа) Теорема вириала для данн«ения системы частиц в кулоновском поле гласит: 2й„„я ии1 — ~ г,у«, гДе 㫠— РаДиУС вектоР Ого электРона, а Р; — ДействУюЩ«Я на него сила.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
