Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Кулоновская энергия газа в объеме Р, согласно общей электростатической формуле, равна з Е„ул = 'у' —,у' еХ1л11р11 = — 'у'е )у' — ()~ и1Я1) . (3.79) Поправку к свободной энергии можно найти путем интегрирования термодииамического соотношения Е/Т» = — д/дТ (Е/Т): з з е»~ кто (1Л1,8')', (3.80) 3 "ул 3 где Х1 —— п1у' — полное число частиц 1-го сорта в объеме у', Поправка к давлению: 188 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ 1ГЛ.
1Ы где величину Ы в1, равную изменению кулоновских частей химических потенциалов / Эхкуа ~1и»»1 )гт» иул )ьте1» кул )ге» иул )г! кул ( Эд» )у, можно трактовать как уменьшение потенциала ионизацни и-ионов (напоминаем, что Й е12,!Й ехр ( — 1~в1)йТ)). Вычисление дает для поправки к потенциалу ионизацин величину М,=2(г„+1)е 1/ — „" (У п,г',)', (3.83) где Я вЂ” заряд и-иона; по существу, Я = и. Пришгмая во внимание определение дебаевского радиуса (3.78), можно переписать (3.83) в виде (Ят+ 1) еэ ет».1еэ (3.84) »» а Уменьшение потенциала ионизации т-иона в точности равно энергии кулоповского взаимодействия т + 1-нона, получающегося в результате ионизации т-иона, с оторванным электроном, если последний находится на расстоянии, равном дебаевскому радиусу.
В соответствии с условиями справедливости метода Дебзя — Хюккеля и условием слабой неидеальности формула (3.84) справедлива, если г) » г„т. е. М « йТ. В области первой ионизации формула (3.84) принимает вид (1= О, 1, е; го=о, 2,=1, Т,= — Ц: 1 Ы1= 2е'(- "й —.) (3.85) где и = п,lп = пг)п — степень ионизации. В области многократной ионизации, заменяя, как это мы делали в з 7, все ионы ионами с одним «средним» зарядом т =- †' (и — число исходных атомов в 1 слгэ) и полагая Я1 = и, получим для изменения «среднего» потенциала ионизации: 1 Л1 2(. ) 1)еэ ~кт(т ) ))и ~э йТ (3.86) в) Формально нрн рассматриваемых условиях мы находимся на пределе прнменнмостн метода, так как 41=5,4 вв лить немногим мвньше йт=-8,8 эв.
В качестве примера рассмотрим воздух прн температуре Т =- = 100000еК и нормальной плотности и = 5,34 10" 11слг». Без учета кулоновского взаимодействия имеем при этих условиях степень ионизации т = 2,72 и «средний» потенциал нонизации 1 = 60эв (1)йТ = 6,9). Поправка к «среднему» потенциалу ионизацни с этим значением гп равна Х1 = 5,4 эв (Ы)йТ = 0,63), т. е. кулоновское взаимодействие уменьшает «средний» потенциал ионизации почти на 10%, что соответствует в следующем приближении возрастанию степени ионизации примерно на 14',4 *).
т!21 кВАнтОВАЯ стАтистикА ФеРми — диРАкА длЯ электРОннОГО ГА3А 189 Влияние кулоновских поправок на сдвиг ионизационного равновесия в аргоне при Т = 45 000' К и р 10 а — 10' лам рассмотрено в работе П4). Это влияние оказалось довольно заметным, в то время как поправки к термодинамическим функциям но превышали 1об. й 12. Плотный газ. Элементы квантовой статистики Ферми — Дирака для электронного газа Вы!не при рассмотрении ионизованного газа всегда предполагалось, что свободные электроны подчиняются классической статистике Больцмана. Строго говоря, электронный газ описывается квантовой статистикой Ферми — Дирака, которая лишь в случае достаточно высоких температур или достаточно малых плотностей переходит в статистику Больцмана.
Это превращение происходит, если температура электронного газа гораздо больше так называемой температуры вырождения Т„которая определяется числом электронов в 1 см' ьк (3.87) Прн обычных газовых плотностях и температурах, при которых вследствие ионизации появляются свободные электроны, условие Т » Т, выполняется с большим запасом. Например, при плотности атмосферного воздуха и примерно однократной ионизации атомов и = 5,34 Х Х 10га 1/слс', темпеРатУРа выРождениЯ Тс = 610' К, темпеРатУРа газа при этом Т 35 000" К, так что Т!Тс ж 60.
Условие применимости статистики Больцмана может нарушаться либо при очень низких температурах, либо при высоких плотностях электронного газа. Первый случай при рассмотрении газов обычно не возникает, так как при низких температурах газы не ионизуются. Что же касается второго, то в ряде процессов образуется очень плотный, высоконагретый газ, в котором присутствуют электроны. Обычно такое положение возникает, когда первоначально твердое тело быстро нагревается до очень высоких температур порядка десятков или сотен тысяч градусов *) и, по существу, превращается в плотный газ, так как при таких температурах энергия теплового движения часто превышает энергию связи атомов в твердом или жидком веществе.
При плотности порядка плотности твердого тела и числе свободных электронов на атом порядка единицы температура вырождения равна нескольким десяткам тысяч градусов (например, при и = 5.10" 1!слса То = 59 000' К), т. е. даже при температуре в сто тысяч градусов никак нельзя описывать электроны статистикой Больцмана.
Следует отметить, что при плотностях порядка плотности твердого .тела и'температурах в десятки или сотни тысяч градусов энергия кулоЙойского взаииодействия заряженных частиц, электронов и ионов, срав- *) Напрлнер, прн ударах метеоритов, летящих с большннн скоростями лорядка нескольких десятков кллонетров в секунду, о поверхность планет, прн взрывах проволочек алоктрнчоскнм током, ~рн нагрованнн анодных нгл в импульсных рентгенов.скнх трубках алектронным ударом (см.
работу В. А. Цукермана н М. А. Манаковой [28!), нрн нагреванкн твердого тела мощной ударной волной н др. Мы но останавлнваемся адесь на таком класснчвском объекте нрямененнл квантовой статястнкн, нак свободные элактроны в металлах прн обычных условиях. 5121 квлнтОЕАя стАтистикл Ферми — диРАИА для электроннОГО ГА3А 191 Соотношение давления и кинетической энергией Р = 2!3 Еии„/ Р' такое же, как и в одноатомном больцмановском газе. Вто и понятно, так как «кинетическое» давление определяется переносом импульса частицами, и связь Его с кинетической энергией частиц чисто механическая, не зависящая от типа статистики, которой подчиняются частицы.
При повышении температуры электроны, ранее заполнявшие самые низкие энергетические уровни, переходят в более высокие квантовые состояния. В квантовой статистике Ферми — Дирака доказывается, что функция распределения частиц по квантовым состояниям, т. е. среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией з, есть у (3.91) 1 )= —— — и'е е Мт(1 где )е — константа, зависящая от температуры и плотности электронов, представля»ощая собою химический потенциал электронного газа. В свободном электронРлс.
3.2. Функция раслределеллл ном газе энергия е равна кинетической длл»лектролвого газа по ети энергии з = рЧ2те. При нуле темпера стиле Ферми — длрака. туры функция распределения равна 1, если з(р ( — — =- — оо, и равна О, если е р, ( — — -"= -)- оо ~, т, е. — Р+е АГ ьг получаем уже найденное выше распределение, причем, как видно из этого рассуждения, химический потенциал свободного газа совпадает с граничной энергией Ферми з«. При отличной от нуля температуре распределение «размывается», как показано на рис. 3.2. Число электронов в 1 елее с импульсами в интервале от р до р + ар есть о (р) е) р = " Ае - ( =- А'е — —,, 8лре Лр 8л ре е1р (3.92) е Ат +1 а полное число электронов в единице объема равно се Ял Г реер л — ~ 9(р) 1р= —, ) — ~,—— (3.93) «АГ+ ре 8л Г ре реир э = ~ — 9(р)1р=-,- ) - — — —— кии ~ 2еи Ае 1 2еи -РРе «Ат +1 (3.
94) Статистику мол«но применять и к электронному газу, находящемуся в потенциальном поле. Разумеется, ноле должно меняться в пространстве достаточно медленно для того, чтобы в элементарном объеме е)Р, на протяжении которого поле может считаться постоянным, находилось достаточно много частиц. В противном случае применение статистики к час- Вта формула определяет в неявном виде химический потенциал р как функцию температуры и плотности. Кинетическая энергия электронов в единице объема равна ТКРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ 1Гл. 111 тицам теряет смысл *).
Если обозначить электростатический потенциал поля в точке г через д» (г), то энергию электрона з можно записать в виде = — — 'р (г). рз (3.95) В статистической механике доказывается, что если газ находится в поле, то в состоянии равновесия его химический потенциал (А должен быть одинаковым в разных точках. В противном случае частицы будут перетекать нз одного места в другое. Если рассматривать электронный газ, находящийся в поле при нуле температуры, то согласно формулам (3.91), (3.95) функции расйределе'- ния / по-прежнему равна 1, если е = р'/2т, — ед1 (г) ( )з и равна О, если е = рз/2т, — е91 (г) ) )».
Таким образом, максимальная кинетическая энергия электрона в данной точке г равна ео (г) = )з + е<р (г). Она теперь зависит от координаты, но максимальная полная энергия электрона р,'/2т, — е1р (г) = з91 — е1р (г) = (А, равная химическому потенциалу, от точки не зависит (если бы она зависела от координаты, электроны перетекали бы иа места с более высокой в место с более низкой максимальной энергией). Формулы (3.92) — (3.94) справедливы и для газа, находящегося в поле, если под з понимать величину (3.95). Формула (3.93) теперь дает неЯвнУю свЯзь плотности газа в точке г, и (г) с величиной ео (г) =- (А + + е91 (г), т.
е. с потенциалом в данной точке и температурой Т. При Т = 0 эта связь по-прежнему выражается формулой (3.88). з 13. Модель атома по Томасу — Ферми и снлыюе сжатие холодного вещества При описании плотного газа по методу Томаса — Ферми не делается различия между «свободными» и «связанными» электронами, и газ считается состоящим не из ионов и электронов, как прн малых плотностях, а из ядер и электронов. Ядра подчиняются статистике Больцмана и вносят свой вклад в полные давление и удельную тепловую энергию.
Прп высоких температурах этот вклад соответствует обычному одноатомному газу: а э (и„— число ядер в 1 сл«з, 9 — плотность вещества). Вся энергия взаимодействия частиц приписывается электронам. Для вычисления электронных частей энергии и давления газ разбивается на атомные ячейки, каждая из которых содержит ядро с аарядом Яе н Я электронов. Для простоты ячейка считается сферической. Объем ее (г принимается равным среднему объему в вегцестве, приходящемуся на одно ядро: 1' = 1/и„а радиус го -— — (ЗЕ/4Я)цз = (3/4пв„)мз. Между атомными ячейками в модели Томаса — Ферми не действуют силы сцепления, так что зта модель не описывает связи атомов в твердом теле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
