Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Отношение вероятности свободного и связанно~о состояний электрона пропорционально отношению поступательной и электронной статистических сумм (Язос — У вЂ” ПЭ), Электронную суьпзу е пределе малых плотностей, когда е ней участвует очень большоо число членов, грубо можно представить так: е„ гн "* е Но а* — г ', так' что Еэл — У з — С ~з, Отсюда Еоост/Я вЂ” Утп — о Мз. Таним 1» 1/ 1 образом, при уменьшений плотности в пределе малых плотностей, несмотря па возрастание числа воаможпых связанных состояний, вероятность отрыва электрона от атоме все равно растет быстрее. 174 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ ~ГЛ, 11А ния обычно не наблюдается болыпв 5 — 10 спектральных линий водородной серии Бальмера, связанной с переходами электрона с верхнего возбужденного уровня на уровень и = 2.
Даже в спектрах газовых туманностей, плотность которых исключительно низка (порядка десятков частиц. в 1 скэ), не наблюдается болыпе 50 — 60 бальмеровских линий. з 7, Прнближенньш метод расчета в области многократной ионизации Расчеты ионизационного равновесия, являющиеся основой для нахождейия термодинамических функций газа при высоких температурах, требуют весьма большой и трудоемкой вычислительной работы. Для каждой пары аначений температуры и плотности приходится решать нелинейную систему алгебраических уравне1 йий,для определения концентраций ионов раз- йых зарядов, которая еще болев усложняется, 6 если газ содержит атомы нескольких элемвнтов.
11о существу, в широком диапазоне температур и плотностей таблицы составлены только для воздуха, Конечно, при современном 1г 'уровне "машинной техники проблема больших численных расчетов в значительной степени 1а утрачивает свою остроту, но все жв для прак- 1, тических целей полезно иметь простой прибли- женный метод, который позволил бы быстро 0 !,~,1 а,с л1 и с минимальными затратами труда вычислять.
степени ионизации и термодинамические функрвс. Зд. Переход к вепре- цни любог. газа в широко.'л диапазоне темпеРмвявй "разок 1("') ратур и плотностей в области высоких темпе- ратур, когда атомы многократно ионизованы. В этом параграфе будет описан такой способ, предложенный одним из. авторов [15), который прн своей крайней простоте обладает точностью, вполне достаточной для ре1пения большинства практических задач. Рассмотрим газ, состоящий из атомов одного элемента. В основу приближенного метода положены два основных допущения. Будем, во-первых, рассматривать числа ионов в 1 см' и и потенциалы ионнзации 1;, как непрерывные функции заряда иона т, соединив дискретные значения и и 1 +1 непрерывными кривыми.
Функция 1 (т) строится путем соединения точек 1 на диаграмме 1, т (рис. 3.1) непрерывной кривой, скажем, путем соединения соседних точек прямыми отрезками. Систему рекуррентных формул Саха (3.44) при этом можно. превратить в дифференциальное уравнение относительно функции и (т), введя вместо конечных разностей дифференцирование: и (т ' 1) = и (т) -' - —, Лт = 1. Йа Отношение электронных статистических сумм ионов и ~1!и обычно. весьма нерегулярным образом меняется при переходах от одного заряда т к другому для данного элемента или при переходе к другим элементам; однако это отношение всегда порядка единицы.
Положим еггт приближенно равным единице. После этого систему формул Саха можно ««) пгивлижкнныи мктод глсчвтл для многокгхтноп ионизация 175 записать в виде дифференциального уравнения: ( -'-.-' — "-" л цт+1) 1 +. — — ) и, = АТйе (3.52) .4 = 2 1 — -'-- ) = — 4 я ° 10»» см 'град — '/»= 6 1бм см-з,гв-'я. »2 ! 1 Одновременно условия сохранения числа частиц и числа зарядов (3.37), (3.38) перепишем в интегральной форме: и (т) «(т = и, ти (т) Ыт = и,. (3.53) (3.54) — тп (т) Нп» пе т=- ) и(гп) Йп (3.55) в точности равно тсму.значению тп»«„, при котором функция распределения ионов и (т) проходит через максимум.
Очевидно, что допущение тем "более справедливо, чем острее и уже пйк'распределения и (т). Обоаначая через 1 потенциал ионизации ионов со «средним» зарядом т и аамечая, что в точке максимума пика производная с)и/дт = О, получим из (3.52) с помощью (3.55) следующее выражение, связывающее ти1: 1 — Атз Ат иъ --- — — — е и (3.56) Для того чтобы превратить это выражение в уравнение для нахождения среднего заряда (или степени ионизации) в зависимости от температуры Т и плотности (числа и исходных атомов в 1 сл'), необходимо определить свяаь между 1 и т.
Здесь имеется некоторый произвол, связанный с чисто символическим в точной теории вопросом о приписывании индексов потенциалам ионизации. Кол»г обозначать потенциал иоииаации т-иона через 1 „ (потенциал иопизации нейтрального атома 1,), то формально следовало бы положить 1 =- 1 (т + 1). Иногда потенциал ионизации т-иопа обозначают через 1 (потенциал ионизации нейтрального атома 1,). В этом случае в формуле Саха (3.44) вместо 1»ы надо писать 1 и формально пришлось бы положить 1 = 1 (т). Конечно, если рассматривать тяжелые элементы и очень высокие температуры, когда степень ионизации настолько высока, что т имеет Рассмотрение результатов точных расчетов, так же как и рассмотрение системы уравнений Саха, проведенное ниже, показывает, что.
в газе всегда присутствуют в значительном количестве ионы двух, максимум трех зарядов. Следовательно, функция распределения и (т) имеет вид весьма узкого и острого пика около некоторого значения т„,„„, которое, конечно, зависит от температуры и плотности газа. Отсюда вытекает второе допущение. Положим приближенно, чтр среднее значение заряда ионов, которое совпадает со средины числсм, свободных электропов, приходящихся на один исходный атом 1гл. гп ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОИСТВА ГАЗО — Агз 1(т+ — ) -= Ит)п —. 2 ) з (3.52) Благодаря логарифмической аависимости правой части от т достаточно сделать два-три последовательных приближения, чтобы весьма точно найти корень т с помощью графика функции 1 (т).
Убедимся в том, что распределение ионов по зарядам всегда имеет характер узкого пика, и найдем закон спадания краев пика функции распределения и (т). Комбинируя последовательно выписанные формулы Саха для разных т = О, 1, 2, ..., положив в них предварительно отношение электронных статистических сумм равным единице и воспользовавшись определением «среднего» потенциала (3.56), получим: "ге~-~ — — =-- ехр им Пп~ — ~ — = -=ехр пщ где л =- 1, 2, 3... Выберем т равным тому значению, при котором и„, максимально.
1 примерно соответствует потенциалу ионизации таких ионов, так что все слагаемые в суммах положительны и концентрации ионов спадают по обе стороны от максимума. Чтобы оценить закон спадания и ширину пика, перейдем в этих формулах к непрерывным функциям и (т), 1 (т). Разлагая приближенно Х (т) 1+ (-„--) (т — т), получим гауссову кривую распределения и(т) =.июлхехр( — ( — —— (3.53) -порядок нескольких десятков, такой произвол численно не приводит к существенной вариации в числе т (так как при этом 1 , — Х (( 1 ).
Однако в области неболыпой ионизации, когда средний заряд ионов порядка нескольких единиц, такой произвол заметным образом сказывается на результатах вычислений т и термодинамических функций, что связано с приближенным характером замены дискретных величин непрерывными функциями. Сопоставление результатов приближенных и точных расчетов пока.зывает, что наилучшее согласие получается, если, как и раныпе, обозиачать потенциал ионизации т-иона через Х л, =. Х (т + 1), полагая 1« = 1 (О) = О, но относить «среднее» значение потенциала 1 к точке à — 2 Ь т -!- -, т.
е. считать 1 =- 1 ( т + --) . Это представляется довольно есте- 2 ' ). огненным, если учесть, что в действительности ряд дискретных значений т разделен конечными интервалами ллт = 1. Логарифмируя (3.56), получим простое трансцеидентное уравнение для определения т (Т, и): 1 71 пРиБлиженный метод РАсчетА для многокРАтнои иониЗАции 177 с полушириной пика (3.59) Если учесть, что в среднем для разных элементов и разных ионизацнй потенциалы ионизаций растут с зарядом иона быстрее, чем сам заряд, т. е. что Н/7(т)1/т, найдем, что р/ 2ЬТт ~/ 2т — Т (3.60) Подставляя в эту формулу численные значения х, и т, найденные, например, с помощью табл.
3.3 для воздуха, увидим, что Л 1, т. е. что пик, действительно, узкий "). Приближенные формулы для термодинамнческих функций получаются из точных, если в соответствии со сделанными выше приближениями считать, что распределение ионов п(т) представляет собой очень узкий пик — почти 6-функцию около значения т, т, е. считать, что все ионы в газо обладают одним нецелочнсленным «средним» зарядом и. Удельная внутренняя энергия (3.36) при этом принимает вид е =- —,, 1>7 (1 + и) 7«Т+ 1>7>,7 (т) Удельная энтропия (3.48) (если пренебречь электронным возбуждением и положить статистический вес всех ионов одинаковым и равным д) получается равной 5 з Полагая Я=сопз1 и воспользовавп»ись формулой (3.57), получим урав- нение адиабаты в параметрической форме: 7' — 'ь, +2) 5 — ехр (т ~ - — — — + --) = сопз$. и ~ ЪТ 2) (3.64) Параметром слуясит т; сопз1 в правой части определяется значениями Те, п„через которые проходит адиабата.
Изложенный выше метод вычисления степени ионнзации и термодинамическпх функций легко обобщается на случай смеси газов. *) Тот факт, что пик распределет>ня и,„узкий, порядка самой «конечной> разности Ат =- 1, вообще говоря, лишает смысла переход к дифференцированию по т. Однако фактически метод оказался лучше его обоснования. 12 я. В. Зельдович, Ю. П. Райзер (энергией электронного возбуждения пренебрегаем).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
