Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Здесь непрерывная функция Ч(т) аналогично 1(т) строится графически путем соединения непрерывной кривой дискретных значений (1, определенных формулой (3.35). Заметим, что наилучшее совпадение с точными расчетами получается, если в формуле (3.61) положить >1 = Д (т), в отлична от 1=1 ( т+ — ) . Давление равно 2 р = и (1 -,'— т) йТ.
(3. 62) 178 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОИСТВА ГАЗОВ [ГЛ. !!1 Например, в смеси двух элементов средние заряды ионов каждого из элементов т1, и!2 находятся из системы двух трансцендентных уравнений, Л7 2 ~1( т1+ 2>>' ~2( и!2+ Ев> (3.63) и (о1м! + а2п>2) где с1, ст — атомные концентрации, обоих элементов, 11, 12 — кривые их потенциалов ионизации, а и — лолное число исходных атомов,в 1 смо. Удельная внутренняя энергия равна е = -2 Л' (1+ с т, + сттс) йТ + )асф1 (т ) + Л сакс (т) (3 66) и т. д. Во многих случаях, однако, не имеет большого смысла усложнять таким образом расчеты.
Если потенциалы последовательных ионизаций атомов разных элементов не сильно отличаются друг от друга, целесообразно ввести «среднюю» кривую потенциалов 1 (т), рассматривая все атомы как одинаковые и усреднив значения последовательных потенциалов по всем элементам в соответствии с их процентным содержанием е смеси. > а Г> л и ц а 3.4 Сравнение приближеппых расчетов степени поепзацпи и ввутреппей энергии воздуха с точными *) 1 !- о> ав 1,29. 19-а г!сава ! ав е,— ! твй атом оо =. О=>О-оао В табл.
3.4 сопоставлены результаты приближенных расчетов степени ионкзации и внутренней энергии воздуха с точными данными В. В. Селиванова и И. Я. Шляпинтоха [4). Видно, что даже при малых степенях ионизации, где оп!ибка должна быть особенно велика, приближенный метод дает неплохую точность.
При высоких же степенях ионизации ошибка не превышает нескольких процентов. Метод верно передает нерегулярности иамененпя т и е с температурой и плотностью, соответствую!цие резким скачкам в потенциалах иопизации, которые возникают при переходах от ионов с заполненными электронными оболочками к ионам с незаполненнымн.
Расчеты показали, 30000 . 1,68 1,77 50 000,' 2, 4 2,42 100 000 ! 3,72 3,75 *) Верхние цифры в тодом [15[, нижние велты пиптоха [4[. 166 ' 230; 33 23 ! 2,21 '. 33 40,5 ' 3,35 83 47,8 3,26 ! 80 126 ~ 5,10 [ 243 140 5,16 , 252 каждой клетке получепы приближенным ме. и! работы В. В. Селиванова и И. В. Шлп- е В! ннтеРполяционныв ФОРмклы и показатель АдиАБАты 179 что метод дает хорошую точность и для ксенона. Поскольку кривые потен- циалов ионизации у всех элементов похожи друг на друга, можно надеять- ся на то, что приближенный метод обеспечит достаточную точность и в слу- чае любого другого газа. $ 8.
Интерполяционныс формулы и эффективный показатель адиабаты Однако при атом показатели, соответствующие различным парам термодинамических параметров, отличаются друг от друга. Поэтому при введении эффективного показателя аднабаты у в интересующем диапазоне Т и о или р и р необходимо определить его так, чтобы он наилучшим образом отвечал природе газодинамнческого процесса. ' Третье уравнение газодинамики в общем случае представляет собой уравнение сохранения энергии,и для того, чтобы аамкнуть систему уравпений в гидродинамике идеальной жидкости а), достаточно ввести связь удельной внутренней энергии с давлением и плотностью е (р, о). Обычно эта связь описывается формулой Поэтому для определения эффективного показателя адиабаты в интересующем диапазоне р и о следует составить таблицу для комбинации у — 1=— Р ое (3.67) и выбрать некоторое постоянное значение у — 1, наилучшим образом аппроксимирующее фактически не одинаковые значения указанной е) В гидродинамике идеальной жнккостп пе учитываются вяакость и теплопроводпость 12* Непосредственным результатом расчетов термодинамических функций являются таблицы, составленные в виде сетки по температуре и плотности (или температуре и давлению).
Использование таблиц при решении гааодинамнческих задач связано с большими неудобствами. Гораздо приятнее иметь дело с простыми интерполяционными формулами, более или менее точно аппроксимирующими табличные данные. Исключительный интерес представляет такая аппроксимация действительных функций, при которой показатель адиабаты, определяющий ход гидродинамического процесса, приближенно оказывается постоянным. Введение постоянного эффективного показателя адиабаты позволяет воспользоваться автомодельпыми и точными решениями уравнений газодинамики, которые, как правило, удается получить только для газа с постоянной тепло- емкостью.
Лднабатнческпе связи между двумя какими-либо термодипамическими параметрами, например, Т и и или р и о при учете неполного возбуждения колебаний, диссоциации, ионизации уже не описываются уравнениями типа адиабаты Пуассона. Можно формально определить в каждой точке показатель у таким образом, чтобы в окрестности этой точки истинная адиабата приближенно совпадала с уравнением адиабаты Пуассона.
Для этого следует, очевидно, положить: 180 ткгмодинАмическик сВОйстВА ГАЭОВ [ГЛ. 111 комбинации. В результате уравнение адиабаты де + р ду = — 0 ([' = 1)9) примет вид адиабаты Пуассона р о», е д» вЂ” ' с эффективным постоянным значением у.
Удельную внутреннюю энергию в зависимости от температуры и плотности удобнее всего аппроксимировать формулой степенного типа е=аТ Ч (3.68) с постоянными, а, а и р. В области возбуждения колебаний теплоемкость не зависит от плотности и р = О. В области диссоциацик и ионизации теплоемкость всегда растет при уменьшении плотности газа, так как при этом увеличивается степень диссоциации или ионизации и возрастают соответствующие затраты энергии. Поэтому показатель р всегда положителен. Показатель а обычно больше 1, так как теплоемкость растет с повышением температуры как в области неполного возбуждения колебаний, так и в областях диссоциации и ионизации. При аппроксимации функции з (Т, У) формулой (3.68) с постоянными показателями а и р н аппроксимации функции р (е, о) или р (е, Р) уравнением (3.67) с постоянным показателем у трк константы а, ([ и у нельзя выбирать независимым образом. Функции р (е, »') и е (Т, У) должны удовлетворять общему термодинамнческому соотношению: Легко проверить путем непосредственной подстановки, что три показателя а, р, у связаны ме1кду собой условием у — 1= — —, (3.
69) справедливым, конечно, только в том случае, если они считаются постоянными. При описанной интерполяции, что легко проверить с помогцью уравнения адиабаты 1[з + р 11»' = О, адиабатнческие связи Т н О и е и 9 также характеризуются единым показателем адиабаты у, как и в случае адиабаты Пуассона: Т 9» ', е О»-1 р 9», у =сопзг. Это получается несмотря на зависимость теплоемкости от температуры и объема. Для иллюстрации численных значений показателя адиабаты в табл.
3.2 представлена комбинация 1 + р!Оз = у в области многократной ионизации воздуха. Мы видим, что покааатель у уменьшается с уменьшением плотности. В диапазонах температур 10 000 †2 000' К и плотностей 10ов— — 10-э ов (Оэ — нормальная плотность) внутреннюю энергию воздуха в грубом приближении можно описать интерполяционной формулой (3.68) со следующими значениями констант: з=8,3( —,„-) ' ( — ') ' эв[молекула. (370) ) По формуле (3.69) эффективный показатель адиабаты равен у .= 1,24.) '.У Существенно, что показатель у, определяемый формулой (Х67), иаменяется гораздо меньше, чем показатели а и [) в формуле (3.68). Это 9 9] удАРИА5! АдиАБАТА ПРи диссоциАции и ионизАции 181 положение крайне благоприятно, так как для расчета адиабатических процессов связь з (Т, )') фактически не нужна, достаточно связи е (р, илн р (з, $'), которая дается уравнением (3.67).
Следует отметить, что эффективный показатель адиабаты и показатели степени и и () в интерполяционной формуле (3.68) довольно слабо меняются при переходе от одного газа к другому, если пытаться аппроксимировать широкий диапазон температур и плотностей. Это и понятно, так как кривые потенциалов ионизации в общем всегда похожи друг на друга, различаясь в деталях, влияющих на ход энергии и давление в небольших областях изменения температуры и плотности газа. з 9.
Ударная адиабата в условиях диссоциацин и ионизации 11араметры фронта ударной волны в газе с постоянной теплоемкостью были вычислены в гл. 1. В случае сильной волны, когда давление за фронтом много больше начального р, » рс, сжатие во фронте стремится к предельному значению Ь .= (у ,'— 1)/(у — 1). Так, в одноатомпом газе (инерт- 6 5 ные газы, пары металлов) су = — 5»'Й, у = —. и Ь = 4, в двухатомном 5 7 газе с невозбужденными колебаниями су = —,ХЬТ, у =- — и Ь = 6 *). 2 ' 5 Уже ив формулы для Ь в случае газа с постоянной теплоемкостью видно, что сжатие во фронте тем больше, чем больше теплоемкость и чем ближе к единице показатель адиабаты. Тенденция к увеличению сжатия прн возрастании теплоемкости сохраняется и в общем случае, когда теплоемкость зависит от температуры и плотности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
