Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 53
Текст из файла (страница 53)
усреднение прои»водится по всем положениям влектронов (или по времени) Разбивая вириал 1 на три составляющие, соответствующие силам, действующим на электрон со стороны других электронов 1„, ядра 1еа и границы 1», и производя несложные преобразования (см. (31)), получйм: 1о=го ~ ) )гграяила ) =4нг~ар =-ЗР)' т 2.» 1 = г — = — Е еа=,т . = пота г; ч~ чч г;(г1 — гт) ет ч~ ч1 $ 1 ~ аот т т Подставляя все эти слагаемые в теорему вириала, получим (3. «93).
1У7 3 1З1 МОДКЛЬ ЛТОМЛ ПО ТОМЛСУ вЂ” ФКРМИ рнс. 3.5. Перераспределение электронной плотности прз сжатии атома. и',и", и"',и"" — схематические ресирехелеиия в ячейках радиусов и', т,",, т'", т""; и — рвсоревелеиие в свободйом атоме (та = ) то ее следует отсчитывать от энергии свободного атома, т. е. из полной энергии ячейки Е (аа) следует вычесть энергию атома Е . Поскольку давление в свободном атоме равно нулю, то из давления ничего вычитать не надо.
Здесь следует подчеркнуть, что модель Томаса — Ферми по своему существу описывает только силы отталкивания, действующие между атомами (атомными ячейками), эквивалентные положительному давлению, и не описывает сил притяжения, которые появляются только прн учете обменной энергии. Поэтому модель не может обеспечить связыва- и ние атомов в твердое тело. Чтобы сжать атомную ячейку до размеров ее в твердом теле в модели Томаса— Ферми, необходимо затратить работу против сил давления, и энергия такой ячейки больше, чем энергия сво- я л' бодного атома, в то время как в действительности давление в твердом о теле при нуле температуры равно нулю, и энергия связанного состоя- л„о' ння атома меньше энергии свободного атома.
'а па~ а'а а'а а'е т' лл -Юа лм и При небольших сжатиях свободного атома в рассматриваемой модели, когда объем $' » 'кос, электронная плотность перераспределяется только вблизи границы (рис. 3.5), давление и энергия ЬЕ = Š— Е" невелики. Приближенную зависимость давления от объема ячейки можно получить, полагая, что плотность на границе г, в первом приближении такая же, как н плотность в точке г = го в свободном атоме. Как легко проверить, асимптотическое решение уравнения (3.104) для свободного атома при х — со имеет вид т = 144 х '. Согласно (3.105) и (3.102) плотность на границе з п(ге) — Е'(."'-)з — Я'х ' — Язг,,'Я '- г Р-в, а давление по формуле (3.107) Р пес пе1а $' "1' и не зависит от Я.
Существенное возрастание давления и энергии начинается при больших сжатиях, когда объем атомной ячейки становится порядка и меньше эффективного объема Р;с, занимаемого основной частью электронов в атоме, Электроны теперь занимают весь объем ячейки (см. рис. 3.5) н среднее расстояние между частицами г порядка Рч1в, а средння плотность н Я/'р'. При этом Е„и Хяв1в Я11аР' '1в, а Еиот — Яв/г гвалт-1/в Как видно из этих соотношений, при сжатии кинетическая энергия растет скорее, чем потенциальная, и в пределе малых объемов, т. е. больших плотностей вещества Екии > Е„„, Е Е„„и, Р Е„,в!'а'.
Все давление становится «кинетическим» и предельный закон имеет внд 3 з 3 Р Ез)а з пчз (3.110) Давление сильно сжатого холодного вещества пропорционально плотности вещества р (которой пропорциональна средняя плотность 198 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ 1гл. Гп электронов и) в степени 5!3, как для свободного вырожденного электронного газа. удельная внергия соответственно пропорциональна е оие. Надо сказать, что фактически эти предельные законы становятсн справедливыми лишь при очень больших плотностях, рвз в десять превышающих плотности обычных твердых тел. О реальных зависимостях давления и энергия холодного сжатия твердых тел от плотности речь будет идти в гл.
Х1. и 14. Вычисление термодинвмических функций высоконагретого плотного газа методом Томаса — Ферми 1 Г5 г ( З Еиии+ 2Епоте+ Епота ~ее ) (3.111) где Е„„, и Е„„— потенциальные энергии взаимодействия электронов друг с другом и с ядром (см. формулу (3.109)). Для определения химиче- ского потенциала р как функции Т и ег служит нормировочное усло- вие (3.101).
*) Заметим, что уравнение Пуассона лежит и в основе вычисления кулоковского взаимодействия данного иона с образующимся вокруг него электронно-ионным облаком в методе Дебая — Хюккеля. Однако, в отличие от атого метода, здесь куловозская эпергия не предполагается малой по сравнению с кинетической и для плотности аарядов выписывается точное выражение, а кроме того, для описания электронов используются фуикции раснределевия ве Больцмава, а Ферми — Дирака, Общая схема термодинамического описания плотного газа при высоких температурах в рамках модели Томаса — Ферми была изложена в начале предыдущего параграфа. Обобщение уравнений модели холодной атомной ячейки на случай отличной от нуля температуры производится элементарно.
В основе лежит уравнение Пуассона (3.97) для электростатического потенциала в ячейке ор (г) *), который по-прежнему удовлетворяет граничньгм условиям (3.99) и (3.100), а также полагается равным нулю на границе ячейки для целесообразного отсчета потенциальной энергии. Однако вместо простого соотношения (3.96), связывающего электронную плотность п (г) с потенциалом, теперь появляется интегральное соотношение (3.93) с функцией распределения 7 (Р), зависящей от температуры по формуле (3.91), где энергия электрона выражается, как и раньше, формулой (3.95). По-преяснему справедливо нормировочное условие (3.101).
Полная кинетическая энергия ячейки вычисляется путем интегрирования плотности кинетической энергии (3.94) по объему ячейки, а потенциальная энергия выражается через электронную плотность и потенциал формулой (3.109). Для давления справедлива формула (3.106), если под 9 (р, г,) понимать теперь функцию распределения по импульсам, зависящую от температуры по формуле (3.92). По-прежнему справедлива и теорема вириала, приводящая к соотношению (3.108), которое следует и непосредственно из выражений для Р, Е„„и Е„„.
Известные затруднения представляет вычисление энтропии ячейки Ю. Непосредственное вычисление ее с помощью термодинамических соотношений и'выражений для энергии Е и давления Р ячейки было проделано Брахманом (32). Менее строго, путем приближенного вычисления статистической суммы энтропию нашел Латтер !31). Энтропия ячейки равна Вычисдених ФУнкций Высоггонлггетого 1!потного ГАЗА 199 Можно показать, что при Т -я 0 выражение в скобке стремится к нулю быстрее, чем Т, так что Я -я- 0 в соответствии с теоремой Нернста. Систему уравнений для определения функций ~р (г) и п (г), а также выражения для энергии, давления и энтропии можно преобразовать к безразмерным переменным (в качестве масштаба длины вводится радиус ячейки Г,), причем, как и при нуле температуры, модель допускает преобразование подобия относительно Я.
При нуле температуры распределение плотности выражалось формулой (ЗЛ05), откуда следует, что плотность на границе ячейки можно представить в виде и (г,) = я»Г (яг я) (г«ЯН»-+- И 3), давление согласно (ЗЛ07) — в виде Р = юЯМЯЕ4 (И Я), а энергию согласно (3.108) — в виде Е = Яц«Р» (у' Я). При отличной от нуля температуре зтн соотношения подобия обобщаются таким образом, что температура всегда входит в виде комбинации Т7, Чя, так что 13 4 т 4 РЕ з =У(УЛ, тг й), Ег »=П(["г, ТХ З). Энтропии и химический потенциал всегда фигурируют в виде комбинаций ЕЯ 4, [4Я /я Уравнения модели Томаса — Ферми были регпены численно с помощью электронной машины, и результаты вычисления термодинамических функций в гпироком диапазоне переменных $'7 и ТТ, Оя (плотностей и температур) приведены в виде графиков в статье Латтера [31) *).
Из энергии Е вычиталась энергия холодного свободного атома Е (соответственно нз Е„„„и Е„„вычиталпсь Е„,„и Е„„'). Рассмотрение результатов расчетов показывает, что при повышении температуры в нчейке заданного объема кинетическая и полная энергии н давление монотонно возрастают. Потенциальная энергия меняется мало, только за счет перераспределения электронной плотности, которая при повышении температуры выравнивается по объему ячейки. В пределе очень высоких температур, Ья когда снимается вырождение электронного газа (при йТ ~) — (2/[г)ягя; тя см. формулу (3.87)), энергия и давление стремятся к естественным вначениям: Е Е яя -~-Л Р г'. ~й.
Если изотермически сжимать атомную ячейку, давление в ней монотонно возрастает, правда, медленнее, чем в случае нуля температуры, что видно хотя бы из того, что в пределе высоких темггератур Р 1/1', тогда как при Т = 0 и [Я -я- 0 Р 1!ИЯгя. Энергия при не слишком высоких температурах имеет пологий минимум в зависимости от объема: увеличение энергии при разрежении связано с тем, что при больших размерах ячейки электроны из-за наличия температуры н «теплового» давления стремятся занять несколько больший объем, чем в случае холодной ячейки, что приводит к некоторому возрастанию потенциальной энергии.
«) Еще до работы Леттере ряд авторов [ЗЗ[ пытались рассмотреть методы теории еозмущепнй температурную пояравку к решенням для нуля температуры. Однако такая процедура сопряжена с численными расчетами, не на много мейее сложнымн, чем решенне точных уравнений, а охватывает температурный днапееон гораздо более узкий. 200 Ггл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
