Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 178
Текст из файла (страница 178)
Поверхность фронта расширяется при этом, оставаясь подобной самой себе. Координата какой-нибудь точки фронта, скажем, точки В, растет со временем по закону х, 1«. Давление на фронте (например, в той н е точке В) уменьшается с увеличением массы М по закону р„М-, причем константы и и а связаны ме»г<ду собой простым соотношением п =- 2 (1 — а)/За **). При сосредоточенном ударе показатель и, так же как и в плоском случае„ограничен неравенством: 1 ( п «- 2.
(12. 55) Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим стадию, на которой М » т и р — М-", и составим приближенные нырял<ения для энергии и вертикальной х-составляющей импульса газа, содержащегося в «чаше». С учетом размерных параметров в коэффициенте пропорциональности между р и М, но без учета численного коэффициента среднее по объему «чаши» давление можно записать в виде 1»1 лвтомодкльнов движвнив пни сосгвдоточв>тном Удали 655 Импульс газа во всей «чаше» сравним с импульсом той ее части, которая заключена мехгду поверхностью фронта ударной волны и пунктирной поверхностью, где вертикальная составляющая скорости меняет знак, т.
е. равна нулю. Череа эту поверхность импульс в вертикальном направлении не вытекает, а давление на ней положительно. Следовательно, импульс растет с течением времени, и по формуле (12.59) и ( 2. Вертикальный импульс гааа в «чаше» уравновешивается так>ко растущим, но противоположно направленным импульсом газа, вытекшего из «чаши» и разлетающегося в пустоту. Таким образом, неравенство (12.55) можно считать доказанным е). Значение и = 1 соответствует сохранению энергии в «чаше», т.
е. взрыву в неограниченной среде. Значение и = 2 соответствовало бы сохранению импульса. То же неравенство (12.55) справедливо и в «цилиндрическом» случае или при «нитевом» ударе. Картина движения при «нитевом» ударе (взрыве) в качественном отношении подобна картине, изображенной иа рис. 12.17. Только теперь взрыв происходит не в точке О, а вдоль прямой, проходящей через точку О перпендикулярно к плоскости рисунка. Все движение симметрично относительно плоскости, проходящей через эту прямую и ось г.
Поверхность фронта образует не «чашу», а бесконечно длинную «канаву», поперечное сечение которой и изображает рисунок. М вЂ” это масса, приходящаяся на единицу длины «канавы». Можно установить еще более узкий интервал для показателя в законе затухания ударной волны. Физически ясно, что при одном и том же показателе адиабаты в случае сосредоточенного удара волна ослабляется с ростом массы медленнее, чем в плоском случае.
В самом деле, ослабляющее действие оттока газа от фронта выражено тем меньше, чем относительно меньше площадь, через которую гаа вытекает в пустоту. В «сферическом» случае площадь «отверстия» гораздо меныпе площади поверхности фронта ударной волны (см. рис. 12.17). В плоском же случае обе площади равны. «Цилиндрический» случай является в атом отношении промежуточным. Если обозначикь через и„и„иа показатели в законе ослабления ударной волны р М" для плоского, нитевого и сосредоточенного ударов соответственно, то в силу сказанного, при одном и том же показателе адиабаты 1(и»(и,(и,(2 (12. 60) Например, при у = 7/5 и, =- 4/3 и 1(и»(4/3. При у = 5/3 и, = 1,275 и 1 ( и, ( 1.275.
Таким образом, сосредоточенный удар ближе к точечному взрыву в неограниченной среде, чем плоский удар к плоскому варыву. й 19, Результаты упрощенного рассмотрении автомодельиого движения при сосредоточенном и нитевом ударах Для того чтобы определить показатель и (у) в законе затухания ударной волны р М-", необходимо, как и в плоском случае, решить уравнения автом одел ьного движения. Однако «сферическая» и «цилиндрическая» «) Заметны, что предельный переход к автомодельному режиму соответствует т — >- О. Для того, чтобы давление было коне«к»о«, надо, чтобы Ес>' ' сов»1, т.
е. чтобы анергня была бесконечной, Š— т и 1> ->- ос, а начальный импульс — нулевым: 1 /гс (Ет)в - т» " — э 0 656 некотОРые АВтомодельные пРОцессы В ГАЭОВОЙ динАмике игл. хг! задачи несоизмеримо сложнее плоской, ибо они — двумерны и автомодельное движение описывается не обыкновенными дифференциальными уравнениями, а уравнениями в частных производных. Положение существенно осложняется еще н тем, что поверхность фронта ударной волны, на которой зада»отся граничные условия, заранее неизвестна и сама должна быть найдена в ходе решения. По этой причине даже численное интегрирование уравнений автомодельного движения должно быть связано со значительными трудностями.
Некоторое представление о численных значениях показателя и общих характеристиках движения дает упрощенное рассмотрение задачи, проведенное в работе [20). Было построено точное частное решение дифференциальных уравнений автомодельного движения, которое является обобщением точного решения одномерной задачи (см. э 15) и в некоторых отношениях правильно Р передает черты двумерного процесса. В решение входит ряд неизвестных постоянных. Разумеется, с помощью такого, довольно произвольного, частного решения уравнений нельзя удовлетво» рить граничным условиям на фронте ударной волны.
Поэтому вместо условий на фронте решение было подчинено общим соотношениям, выражающим в интегральной форме балансы массы, энергии и составляющих импульса газа, содержащегося в «чаше» (в «канаве»). При этом форма поверхРвс. 12.18. Замена чэшв НОСТИ фрОнта была выбрана самой простой. «Чаша» эквивалентным цялвяд- была заменена круговым цилиндром с «дном», Ром.
а «канава» закругленного сечения — «канавой» прямоугольного сечения (рис. 12.18). Подобно тому как в одномерном случае точное аналитическое решение существует только при одном (избранном) значении показателя адиабаты у (равном 7/5), так и приближенное решение, которое является обобщением точного одномерного, годится только для одного-единственного значения у.
Это значение вместе с соответствующим значением п находится в процессе решения. Оказалось, что в случае сосредоточенного удара к = 1,07 при у = = 1,205; отношение высоты «цилиндра» Ь к диаметру д равно 1,05; плотность газа в сечении «отверстия» составляет Оэт» = 0,0187 й» и из «отверстия» вытекает только 1,6% всей массы, охваченной ударной волной. Плотность газа на «дне» цилиндра равна О»вэ — — 10,3 Оэ, что очень близко к фактической плотности на фронте ударной волны ((у + 1)/(у — 1)) х у, О» = 10,7 О». Вертикальная составляющая скорости меняет направление на глубине 0,846Ь от «отверстия» и на расстоянии 0,154Ь от «дна». В случае нитевого удара п = 1,14 при у = 1,266, ЫО = 1,21 (Ь— высота «канавы», О' — ширина), из «канавы» вытекает 2% всей массы. Мы видим, что показатели п оказались очень близкими к единице, т.
е. отток газа от фронта ударной волны вследствие расширения его в пустоту лишь немного ослабляет ударную волну по сравнению со взрывом в неограниченной среде. Это, очевидно, связано с тем, что эа пределы «чаши» («канавы») оказывается выброшенной очень малая доля всей массы. Форма «чаши», по-видимому, существенно отличается от полусферической, которая соответствовала бы взрыву в неограниченной среде. Высота «чаши» вЂ” цилиндра равна примерно диаметру, тогда как при замене полу- УДАР ПРИ ПАДЕНИИ ОЧЕНЬ БЫСТРОГО МЕТЕОРИТА 657 «ае1 сферы эквивалентным цилиндром высота была бы примерно вдвое меньше диаметра.
То же относится и к нитевому удару. К счастью, показатели адиабаты у = 1,205 и у = 1,266, для которых годятся приближенные решения, близки к реальным значениям эффективных показателей адиабаты газов при высоких температурах, когда существенны процессы диссоциации и ионизации. Заметим, что в плоском случае показатель п монотонно уменьшается с ростом у. Если таково все положение и в двумерных случаях, что представляется весьма вероятным, то для сосредоточенного удара 1 ( п ( 1,07 при у ) 1,205, а для нитевого 1 ( и ( ( 1,14 при у ) 1,266.
В реальных процессах вряд ли могут представить интерес значения у, существенно меньшие, чем 1,205 или 1,266. Отсюда следует, что в большинстве реальных процессов, моделью которых может послужить задача о сосредоточенном (или нитевом) ударе, ударная волна затухает ли«нь немного быстрее, чем при взрыве в неограниченной среде. й 20. Удар при падении очень быстрого метеорита на поверхность планеть« Характерным примером явления «сосредоточенного удара» может служить процесс, протекающий при падении на поверхность планеты метеорита со скоростью порядка нескольких десятков или ста километров в секунду (и выше). При этом имеет смысл рассматривать либо планеты, лишенные атмосферы, такие как Луна, либо же достаточно крупные метеориты.
Маленькие метеориты испаряются, «сгорают» по пути вследствие трения об атмосферу, так и не достигая поверхности планеты. При ударе метеорита о грунт происходит резкое торможение и начальная кинетическая энергия Е = тв»/2 (т — масса метеорита, в— скорость падения) в значительной степени переходит во внутреннюю, в тепло.
Глубина проникновения тела метеорита в грунт обычно порядка размеров самого тела, так что з начальный момент эиерговыделение происходит в массе порядка т. От места энерговыделения по грунту распространяется ударная волна *). Будем интересоваться ударами только с очень большими скоростями, когда удельная энергия в'/2 во много раз превышает энергию связи атомов и молекул веществ метеорита н грунта (теплоту исцарения). В этом случае существует стадия, когда ударная волна охватывает массу грунта /)й, значительно превышающую начальную массу яь, но вещество в ударной волне можно рассматривать как плотный газ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
