Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 175
Текст из файла (страница 175)
(12.35) ") Вообще говоря, при проиэзольиом эиачеиии у показатель а ие выражается з виде дроби с целочисленными числителем и эиамеяателем. Однако, по счастливой случайности, при у = 7/5 решение азтомодель~ых уравнений может быть найдено з аналитическом виде, и а при этом равно 3/5 (см. ниже). Естественно было бы считать безразмерные интегралы 'константами. Тогда каждое иэ двух условий, взятое в отдельности, дало бы возможность определить показатель автомодельности а. Условие сохранения импульса дало бы ХХ =- сопз1, откуда Х 11/э, а = 1/2.
Из условия сохранения энергии следует Х'Х = сопзс, откуда Х сэ/э, а = 2/3. Но взятые вместе, эти условия противоречат друг другу, так как приводят к различным показателям а. Возникает парадоксальное положение, при котором не могут быть одновременно выполненными законы сохранения импульса и энергии, лежащие в основе уравнений газовой динамики. Создается впечатление, что задача не имеет автомодельного решения. Разрешение этого противоречия, однако, заключается в ином. Дело в том, что автомодельное решение, которое существует и которое будет найдено ниже, в действительности принадлежит ко второму типу. Показатель автомодельности а находится не из законов сохранения или соображений размерности, а путем решения уравнений для функций-представителей, из условия прохождения истинного решения через особую точку, так же как и в задачах, рассмотренных в предыдущих разделах.
Для того чтобы сразу же разрешить описанный парадокс, отметим, что при аначении показателя адиабаты у = 7/5, показатель автомодельности, как показывает решение, равен а = 3/5 *). Он заключен меясду значениями 3 а диктуемыми условиями сохранения импульса и энергии --~ — ( —. 2 5 3 ' Ниже будет показано, что при любом аначении показателя адиабаты 1 ( у ( оо показатель автомодельности а заключен в указанных пре- 1 2 делах: — (а С вЂ”. 2 3 ' 14! АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗЛКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 643 Показателю автомодельности а = 3/5 соответствует размерность пара»!етра Л в законе Х = А!«, равная (А) = сз«.сев-«!». Мы уже знаем (см. $ 5), что предельное автомодельное движение не полностью «забывает» о начальных условиях, а из обширной информации, заключенной в начальных условиях, «выбирает» и «помнит» одну-единственную константу А, которая как-то характеризует начальный «толчок».
В данном случае, из информации, предоставляемой кривой давления на поршне, р„=- П, ) (г/т) (и величиной начальной плотности О«), предельное решение «выбирает» один параметр А, равный по порядку величины следующей комбинации из характерных масштабов: 1 3 1 з .4 ( — !) т1 а= ( — !) т см.сев (12 30) Численный коэффициент в законе пропорциональности определяется формой кривой давления )(гй). Отсюда видно, по какому закону должно стремиться к бесконечности давление на поршне П„ если устремить т к нулю для того, чтобы в предельном движении было обеспечено получение конечного (не равного 0 или со) давления на конечном расстоянии. Для существования предельного решения нужно, чтобы параметр Л имел конечное значение, т.
е. нужно, чтобы произведение П,'1«тг «, равное П,"!т«п в случае у = 7~51, оставалось конечным при т — » О. Следовательно, при т-»-0 П, должно расти, как П, т ' (1 «! т "*. Теперь можно выяснить вопрос о выполнении законов сохранения. Количество движения, которое поршень сообщает газу, нли импульс удара по порядку величины равны 1 П1т, т. е. пропорциональны Х П,т т«а ' тп». При т — » 0 импульс 1 — ~ О. Следовательно, полное количество движения в предельном, автомодельном движении равно нулю (импульс газа, движущегося с ударной волной вправо, в точности компенсируется импульсом газа, раалетающегося в пустоту влево; см. рнс. 12.10).
Закон сохранения импульса записывается в форме 1 1 1 У = О«ХХ 1 бл А" 8з 1 Р11 «(з = 0„ Отсюда следует только то, что функции-представители дол!кны удовлетворять условию ~ ди А$ = О. Как видим, нельзя считать величину ХХ С постоянной и таким образом определить показатель автомодельности а.
Знергия, которую поршень сообщает газу, по порядку величины равна Е П,'1«то,— и«, Она пропорциональна Е П',1! с т»« ' т — О». При т — ~ 0 Š— » со. Полная энергия газа в автомодельном движении оказывается бесконечной. Закон сохранения энергии Е ХЛ 1 («+ ! Н)«( ! 1 ( + 1 я)А свидетельствует только о расходнмости интеграла от безразмерных функций, но ничего не говорит о величине Х'Х (из закона сохранения энергии также нельзя определить показатель автомодельности). Бесконечность энергии и расходимость интеграла энергии связаны с тем, что в точном. 4!» 644 некотоРые АВтомодельные пРОцессы В ГАЭОВОЙ динАмике игл.
хп автомодельном движении, которое соответствует пределу т -~ О, скорость разлета границы газа в пустоту бесконечна (см. конец $ 13). Бесконечна и кинетическая энергия на границе, так как квадрат «скорости» Р» при $ †» — оо стремится к бесконечности быстрее, чем уменьшается плотность д. 0 том, какой физический смысл имеет бесконечность энергии в авто- модельном движении, будет сказано ниже. Заметим здесь только, что на самом деле энергия газа, конечно, ограничена и равна работе, совершенной поршнем.
Просто автомодельное решение неприменимо к малой массе у гран|щы газа, которая и вносит расходимость в интеграл энергии. $15. Решение уравнений Общая методика отыскания автомодельного решения задачи о кратковременном ударе в принципе ничем не отличается от метода решения задач о сходящейся ударной волне или о распространении ударной волны по газу, плотность которого уменыпается с расстоянием по степенному закону (см. разделы 2 и 3 этой главы). Как и ранние, ищем решение уравнений газовой динамики (12.1) в автомодельной форме (12.33) и получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для представителей л, и, д. Эти уравнения совпадают с уравнениями (12.31), если положить в них число 6 равным нулю (в соответствии с постоянством масштаба плотности): (и — $) (1пд)'+и'=О, 1 (а — 1) а ~и+ (и — $) и'+ д 'я' = О, (Р— $) (1п яд-т) '+ 2 (а — 1) а ' = О.
~ (12.37) (12. 38) Вместо времени в масштабных функциях удобно ввести лагранжеву координату фронта ударной волны М=д«Х, т. е. массу газа (на 1 сз«» поверхности), которая охвачена движением к моменту к Автомодельной Граничные условия на фронте ударной волны при $ = 1 были выписаны в $ 11 (формулы (12.32)). На границе газа с пустотой давление и плотность обращаются в нуль, а скорость в ( — оо), т. е.
при $ = — ао я( — оо) =О,д( — оо) = О, Р( — Оз) = — оо. После ряда преобразований уравнения сводятся, как обычно, к одному дифференциальному уравнению первого порядка, одной квадратуре и одному алгебраическому соотношению между всеми переменными — интегралу адиабатичностн. Показатель автомодельности определяется из условия, чтобы искомое решение дифференциального уравнения прошло через особую точку. Фактически в работах [13, 14) уравнения записывались и решались не в зйлеровых, а в лагранжевых координатах. В одномерном плоском случае при постоянной начальной плотности лаграижева форма записи приводит к более простым и удобным соотношениям.
Разумеется, ничего принципиально нового переход от эйлеровых координат к лагранжевым не вносит. Лагранжева координата определяется как масса газа (на 1 см» поверхности), которая отсчитывается от границы с пустотой РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ переменной служит отношение "[=М1 (12.39) которое изменяется в интервале от 1[=0 (на границе газа с пустотой) до 0=1 (на фронте ударной волны).
Таким образом, решение записывается в форме р=ВЕ«М е/(«[) "= [/ВМ ' ш(д) Е=еое(т[) (12 40) где  — параметр задачи, связанный с параметром А в формуле Х=А(а и заменяющий его в новой записи. /, ю, о — но- вые представители, Новый показатель автомо- дельности и однозначно связан со старым, а. Действительно, п еа М=ЕХ 1«, и М г 1 'г и — Х 1« — 1 фр Отсюда — аи/2=а — 1 и 2(1 — о) 1 и= , а= 2 (12.41) / С математической стороной вопроса, последовательностью преобразований уравнений, их исследованием, конкретными методами решения можно познакомиться в статьях [13, 14[. Остановимся здесь более подробно на результатах для частного случая у = 7/5, для которого удается найти точное аналитическое решение уравнений. При рассмотрении аналитического решении становятся особенно наглядными все основные черты процесса.
При 7=7/5 показатели а и и имеют значения а=3/5, и= 4/3. Решение в лагранисевых координатах имеет вид г о /б / = т[, и = — —, 1/ — ' («[ — 3), о = бт(~. ЕУЗ (12. 42) РаспРеделениЯ давлениЯ, плотности и око- р П Рлс. 12Л1. Профили давлерости по'массе показаны на рис. 12.11. Заметим, лля, плоте ости л скорости что по определению, /= р/р„и )/6/5 = и/ио в аалаче о кратковремев- (//6 = /Е где индексом «1» отмечены величины вом уд~ре (в лавр"'олевмх =е на фронте ударной волны.
С помощью определений лагранжевой координаты (12.38) и авто- модельной переменной т( (12.39) легко перейти в решении (12. 42) к зйлеровой переменной $ = х/Х. В самом деле, в данный момент 1, т. е. при М = сове(: ыт е ых с[и»=Ео[х; И- —— — Х, откряа с[«(=ос[е и еох' Подставляя в это уравнение функцию д («[) по формуле (12.42) и внтегрируя с граничным условием Ч=1 при $=1 (яа фронте ударной 646 нккОГОРые АВтомодельные пРОЦВссы В ГА30ВОЙ дппАмиБВ [Гл, хп волны), получим т[ = (5 — 4с), $ = — (5 — т) ). 4 (12. 43) В зависимости от зйлеровой переменной, функции 7',ш, д имеют внд а 7'=-(5 — 4а), ю= — У -", (1 — 2с), ь д = 6 (5 — 4$) (12.
44) 11редставители 7', ид р связаны с представителями и, и, д, с которымп мы имели дело раньше, соотношениями: п= ~ ), и= [тг — ш, д= 7'). (12.45) 5 /5 Распределения давления, плотности и скорости по эйлеровой координате показаны на рис. 12.12. Интересно, что давление линейным образом распределено по массе, а скорость — в пространстве.
Скорость обращается в нуль и меняет направление в точке т =1!2. Масса, заключенная между начальным полон;ением границы газа х = 0 и фронтом волны, в каждый момент времени составляет 90ейе от всей массы, вовлеченной в движенио. 10% массы в результате ударногосжатия и последующего расширения оказываются выброшенными левее начальной границы газа. 78% массы движется направо, а 22% — налево. Асимптотическое поведение решения в области малой плотности при й — — ао, т( — ьО дается выражениями: 7'-( — 5) ' -5 7-(-$) ' з з 7':-т), -т) ', д т)'. (1246) Рис.
12.12. Профили давления, плотности и скорости в задаче о кратковременном ударе (в зйлеровых координатах); у = 775. Особои точке, через которую. проходит решение дифференциального уравнения задачи, соответствуют значения автомодельных переменных т)е = 7 — з[з =- 0,054, ьс = — 11'2. Как и в заДаче о схожДении УДаРной волны„йе-линии на плоскости х, 1 ([)е-линия на плоскости т, 1 или т, М) является характеристикой (ИхЯ[ = и + с; с(т/71 = рс), которая отделяет область влияния. На рис. 12.13, 12.14, изображающих диаграммы х, 1 н пт, М, проведены линия фрон- *) Предоставляем читателю путем непосредственной подстановки функций я, Ю у по формулам (12.45), (12.44) в уравнения (12.37) с у = 7/5, и = 3/5 проверить, что опи действительно удовлетворяют уравнениям (и граничным условиям (12.32)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
