Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 170
Текст из файла (страница 170)
на расстояниях г, больших чем го — — Л (1) $0, уже никак не повлияет на движение ударной волны. Отмеченные выше свойства решения: прохождение истинной интегральной кривой через особую точку, возможное только при избранном значении показателя автомодельности а (откуда и определяется зто значение), и существование $0-линии на плоскости т, 1, которая соответствует особой точке, является характеристикой и ограничивает область влияния,— свойственны всем автомодельным режимам второго типа. й 8.
Результаты решения Практически решение и показатель автомодельности находят методом попыток. Задаваясь каким-то значением а, численно интегрируют уравнение (12.21) от начальной точки Ф ($ = 1) и проверяют, как идет интегральиая кривая. Исправляя значение а, путем последовательных приближений добиваются того, чтобы интегральная кривая пересекла параболу в нужной особой точке и устремилась к конечной точке О.
Л. Д. Ландау и К. П. Станюкович (1 ! указали приближенный метод, с помощью которого можно найти значение а, весьма близкое к фактическому. Это значение 'было использовано для первой попытки и затем уточнено. После того как найдены показатель а и функция Я (р), отыскание функций У (5), Я (5), 6 ($) не составляет труда. Таким путем в работах Ц, 3! было найдено значение показателя автомодельности а = 0,717 для показателя адиабаты у = 7/5. Кроме того, в работе (1! было найдено, что а = 0,638 для у = 3, а также установлено, что в пределе у -ь1 а — ь1. Законы изменения радиуса и скорости фронта ударной волны, а также давления за фронтом при у = 7/5 таковы: К !1!а )5(0,717 а-1 ! 71 < )1!а-1 /7 а !1 -Олоо Л-О 205 2 <а-!) р ) / <2 <а-1) /1 а ! 1 '-0,566 П-О,?0 Распределения скорости и и давления р по радиусу в разные моменты времени при у = 7/5 показаны на рис.
12.3, взятом из книги К. П. Станюковича (1!. Скорость за фронтом монотонно спадает, давление сначала немного увеличивается, а затем тоже падает е). Плотность за фронтом монотонно возрастает. Ударная волна непрерывно ускоряется и усиливается при схождении к центру. При г — ь О, Л -ь.
0 давление и температура на фронте стремятся а) Такой ход давления ке является общим; например, прк у = 3 давление, как и скорость, монотонно уменьшается ва фронтом ударной волам, 40 я, Б. зельдович, ю. и, Раеавр 626 нккотогын лвтомодкльнык пэоцвссы в глзовоа динамики [гл. хы к бесконечности; плотность газа остается конечной; на фронте волны она постоянна и равна [(у + 1)/(у — 11)) дю. Нри схождении ударной волны происходит концентрирование энергии вблизи фронта ударной волны: температура и давление неограниченно растут. Однако вследствие того, что сами раамеры автомодельной области уменьшаются с течением времени, полная энергия, сосредоточенная в пей, также уменьшается.
Автомодельное решение справедливо только в некоторой сфере, радиус которой уменьшается вместе с радиусом фронта, пропорционально Л, т. е. эффективной границей автомодельной области является некоторое постоянное значение г)Л = й = $,. Количество энергии, заключенной в автомодельпой ю7 области, т. е.
в сфере переменного радиуса г, = $,Л, равно: лг' юл Е„,= ~ 4ягзг[гй ( — — + — ) =- / 1 р изх (.,у — 1 р 2) Ю гак Ь =4ЯЛзоеЛз ~ д ( — — + — ) йздй. Гб зюж Интеграл по 3 от 1 до $, есть постоянное число, так что энергия Е„„- ЛзЛз -Л'-(з!к>. Для всех реальных значений показателя адиабаты у степень у Л положительна. Например, при у= 7/б, а = 0,717 Ю г;ак Рню. 12.3.
Распределения давления в произвольных единицах (а) н скорости (б) з разные моменты времени прв схождении ударной волны центру; т = т/5. ГРаФики взяты кз книги Пй Е Лгге +О при Л-+О Если распространить интегрирование по $ до бесконечности Д, =со), то интеграл расходится, (Это пояснено в сноске на стр. 627.) таким образом, энергия во всем пространстве в рамках автомодельного решения бесконечна. Это и свидетельствует, в частности, о неприменимости автомодельного решения к большим радиусам г (при данном радиусе фронта Л).
Количество энергии, заключенной в сфере постоянного радиуса г, может воарастать (но не беспредельно), однако движение во всей области от Х до г = сопз$ ) Л не описывается автомодельным решением. Авто- модельное решение относится только ко все уменьшающейся сфере, т. е. г к области конечных $, тогда как й = — -з. оо при г = сонэ(, Л -з. О. Вид предельных распределений газодинамических величин по радиусу в момент фокусировки 1 = О можно установить на основе соображений размерности.
В нашем распоряжении имеется один-единственный параметр А см сея к, с помощью которого можно связать скорость и и скорость внука с с радиусом г. РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ Это дает предельный закон в момент 1 = О: 1 1 1 (1-а) - 1-— и с ° 4ог о=Аог о Поскольку моменту 1 = 0 и г ~ 0 соответствует значение з = со, предельная плотность о = дсб (оо) постоянна по радиусу. Предельное распределение давления, следовательно, есть г г <1-о) 1 р= — йсг оеА г М Предельные законы и (г), с (г), р (г), естественно, совпадают с законами на фронте в ходе процесса и1 (В), с, (В), р, (В) (с точностью до численных коэффициентов) е). Численные коэффициенты в предельных законах для и (г), с (г), р (г), так же как и предельное значение плотности опрея —— дсб(оо), можно найти только в результате решения уравнений автомодельного движения.
При у = 7/5 предельная плотность равна олоел = 21,6 ре (плотность на фронте ударной волны 61 = бйе). Такое же значение о = =21,6 йе имеет плотность на больших расстояниях от фронта г-~- со и до момента фокусировки (так как при В ~ 0 и г-ь со $ = г/В -~ со) и — = 6($)- б(о). Ге „ Количество энергии, сосредоточенной в сфере радиуса г в момент фокусировки, пропорционально с 2 ~ 4пг~ 1(г й ( г + "— / — г с а —— (так же как и Еает В а; см.
выше). Энергия, сосредоточенная в сфере конечного радиуса, конечна и при г — О также стремится к нулю. Чем больше сфера, тем больше заключено в ней энергии (в рамках автомодельного режима). После момента фокусировки, при 1 ) О, отраженная от центра ударная волна распространяется по газу, движущемуся навстречу к ней, к центру. Движение в этой стадии также автомодельно, показатель автомодельности не меняется. Закон распространения фронта отраженной ударной волны при 1 ) 0 есть В (о. Расчеты показывают, при что у = 7/5 плотность газа эа фронтом отраженной ударной волны равна о1 стр —— 137,5 ос, она в 23 раза больше, е) Предельные законы можно установить н аналитически, исходя нэ урааненнй для представителей, если найти асимптотическое решение в окрестности точки $ = оо, у = О, 2=0.
Получим: У вЂ” й Ыо, 2 — Ь 2'с, что прн переходе краамерным величинам н даст выписанные в тексте предельные ааконы. Величины с н а = уп/З при 4:„=~=.оо согласно определению (12.12) пропорциональны сэ — а — йера -$ Е (со) = б (оэ) = сопег. Отсюда видно, что интеграл энергнл расходится прн 51 — ьоэ Ь 1/ г 2 1 л оа ь— ~ а( — — + — / агой — ~ 5 ег-ь 1 1 и энергия во всем пространстве в рамках автомодельного решення бесконечна в любой момент эременн.
628 нвкотОРЫН АВтомодильные пРОцессы В ГА30ВОЙ динАмике [Гл. хн чем плотность за фронтом падающей волны, О, = бйе. Скорость за фронтом положительна, т. е. газ разлетается от центра, причем скорость разлета уменьшается с течением времени, начиная от бесконечности, в соответствии с законами Л 7о, Л 7 — П вЂ” о) *). 2 9. Захлопывнине пузьгрьков. Задача Рэлеи дз ' 1 г и=гг — =А — 5=в гз ~з1 = 77 ,'(г2.22) е) Б работе одного из авторов [26 [ построено семейство азтомодельных решений для цилиндрического движения в акустическом приближении.
Оно получается путем суперпозицни плоских волн. Показатель автомодельности является произвольным и выбирается по начальным услозиям. Для сходящейся цилиндрической ударной волны [в акустическом приближении) давление на франте р — ~ г , 'Ы~, причем радиус фронта В=с ~с[. Интересно, что в отраженной ударной волне давление на фронте бесконечно прн й ~ О, Результаты для ударной волны были получены ранее Е. И. Эабабахиным и М.
Н, Нечаевым [27 [. Давление на фронте обращается в бесконечность только в рамках акустического приближения, что разъяснено в [26, 27[ еа) По-видимому, в реальном процессе на последней стадии захлопыванвя давление паров внутри настолько возрастает, что сдерживает напор жидкости и заставляет ее отступить обратно. Благодари очень быстрому сжатию, пар не успевает конденсирозаться и сясатие его з конце происходит по аднабате Пуассона. Однако рассматривая захлопывание до не слишком малых радиусов, давлением пара можно пренебречь, Также можно пренебречь и поверхностным натяжением на гравице жидкости. С процессом схождения ударной волны к центру имеет целый ряд общих черт процесс захлопывания пузырьков в жидкости (в воде).
В реальной жидкости часто образуются маленькие пузырьки, заполненные паром жидкости и нерастворенными газами. Явление образования пузырьков носит название кавнтации. В стационарных условиях пузырек устойчив, газовое давление изнутри уравновешивает давление в жидкости. Когда жидкость участвует в движении и попадает из области низкого давления в область более высокого, внутреннее давление в пузырьке, который Образовался раньше, при низком давлении, становится меньше нового, высокого давления в жидкости. Жидкость при этом устремляется к центру, захлопывая пузырек. При захлопывании пузырька, как и при фокусировке ударной волны, происходит концентрирование энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
