Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 169
Текст из файла (страница 169)
Разделив третье из уравнений (12.19) на первое, получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка: И Лэ(г, у) л~ = л, (г, р) (12.21) ") Отмеченное свойство не случайно и является следствием размерностной структуры уравнений газовой динамики, которые не содержат никаких раамерных величин, кроме самих переменных. То, что какая-то величина входит под анаком дифференциала логарифма, свидетельствует о произволе в выборе единиц для измерения этой величины. Что касается плотности Э = Эсб, то это непосредственно видно из уравнений (12.1'), ваписанных для функций Э, и, сэ (см. сноску на стр.
620). Если в общих, пеавтомодельных уравнениях перейти к новым неаависимым переменным: с = г/А Р и и = г/гэ, где А и гэ — какие-то внесенные извне размерные параметры, то, поскольку выбор этих параметров ничем не ограничен, они должны вьшадать иэ уравнений. И действительно, преобрааование показывает, что новые переменные входят в уравнения только в виде о')п $, с')п Ч (в случае автомодельных движений все функции зависят только от 5 и не зависят от Ч, так что члены о')п Ч исчезают).
Безразмерные величины Е и 2 составляются из самих размерных переменных: у = г/ги; 2 = гэ!гэсэ = эгэ!гэур, без участия каких-либо посторонних параметров, поэтому и в уравнения они входят в свободном виде, не под знаком Л )п. После того как найдено решение этого уравнения Я ()г), его можно. подставить в первое уравнение (12 19) и путем квадратуры определить функцию )г (Э), а затем, подставляя )г (э) и я ['г' (С)] во второе уравнение, путем квадратуры найти функцию С (ь).
На самом деле достаточно одной квадратуры, так как система уравнений (12.15) обладает одним интегралом, представляющим собой алгебраическое соотношоние между всеми переменнымн. Существование этого интеграла, интеграла адиабатичиости, связано с выполнением закона нсслндованив увавнвннй сохранения энтропии в газовой частице *). Вообще, выполнение законов сохранения всегда сопровождается существованием соответствующих интегралов автомодельных уравнений. Так, в задаче о сильном взрыве (см.
$ 25 гл. 1) уравнения обладают интегралом энергпи. Итак, основная задача сводится к решению уравнения (12.21) с граничными условиями (2.17), (2.18). Рассмотрим, как проходит искомая интегральная кривая на плоскостк )е, Я. На фронте ударной волны прн $ =- 1 )е = )е (1), Я =- 2 (1) (см. формулы (2.17)). Нанесем эту точку на плоскость и обозначим ее буквой Ф. На бесконечности, при $ = оо )е (со) =- О, 7 (оо) = О, т. е. интегральная кривая Я ()е) идет из точки Ф в начало координат О (рис.
12.1). Чтобы решение уравнений газовой динамики имело физический смысл, оно должно быть однозначным. Каждому значению независимой переменной $ должны соответствовать единственные значения )' и Я. Это зна- Е чит, что функции З от )е и $ от Лили, что все равно, 1п з от )е и 1п с от Я, не должны иметь экстремумов. Производные с(1п зЯ)е = Л/Л, н с(1п $/с(Я ==- Л/Лз в области изменения переменной1, $(со, О «1п й ( со в истинном решении нигде гетгеь не должны обращаться в нуль. е/е Но детерминант Л = — 7+ (1' — а)' 8 равен нулю на параболе Я = (Š— а)а, проведенной на плоскости )е, 7 (рис.
12.1). Легко проверить путем непосредственного вычисления, что точка Ф лежит выше параболы, т. е. искомая интегральная кривая вдоль своего пути от точки Ф до Рис. 12И. Ход ивтегральиой крвточки О непременно должна пересечь вой на плоскости г 2. параболу. Чтобы нрн этом производные е( 1п $/с()е и е( 1п ~/с(Я не обратились в нуль, необходимо, чтобы в точке пересечения обращались в нуль определители Л,и Л,(можно проверить, что при Л .=- О Ле и Л, обращаются в нуль одновременно). Таким образом, точка пересечения истинной интегральной кривой Я (Р) и параболы есть особая точна уравнения (12.21) (Л, = О, Л, =- О, е(7/ое)е =- О/0).
Если задаться каким-то произвольным значением показателя автомодельности а н начать интегрировать уравнение (12.21) от точки Ф. то интегральная кривая либо вообще пе пересечет параболу, либо пересечет ее в какой-то обыкновенной точке, и эта кривая не будет отвечать истинному решению. е) Чтобы вывести интеграл адвабатичности, воспользуемся первым и третьим уравнениями (12 15). Первое (уравнение иеярсрывности) разделив ла )е — а и представим в виде с'1пб+е)1п()е — а)= — ЗН1п $ — .-.,— — .
За ч'1п4 Третье (энтропийное) уравнение разделим на 2 и представим в виде е)пСт Х т 2(а — 1)а е)1пй +2Н1 и — а Исключая из этих двух равенств с' 1п с/(у — а) я собирая все члены в одну сторону, получим уравиекие вида е/!и (1, 6, у, 2) = О, которое дает интеграл 11, 6, )е, 2) = = — сопа1. Константа определяется с помощью граничного условия (12.17). 624 нккоторык двтомодвльнык процкссы в глзовон динамики ~гл. хы Только при специальном, избранном значении а интегральная кривая пересечет параболу, пройдя через нужную особую точку уравнения (12.21), и устремится к своей конечной точке О. Это условие обязательного прохождения истинной интегральной кривой через определенную особую точку уравнения (12.21) и определяет пока- Е ватель а.
Особая точка В и схематический Г " * Р а Р 2 "Р" на рис. 12.1 (можно показать, что точка В лежит на левой ветви параболы). В особой точке В, через которую проходит истинная интегральная кривая я (р), величины Я и У принимают определенные значения, связанные, кроме того, уравнением параболы Я = (Рà — а)2. Поскольку )Г Е=/ и 7 являются функциями $, особой точке соответствует определенное значение $ = Зо. ' 'д"арра»'ма ддн. В свою очередь значению $ = $о соответвроцесса схождения ударной ствует некоторая линия на плоскости г, — нин Еронта тдарнов «зо-линия».
Уравнение этой линии есть г= волин; Р =- Ь" а а т Ь- жо. — В (/) ро —— А ( — /)н $о, а дифференциальное Проведено неоколько дарактернЕтнн СР- Н С--аЕИЕаотк. уравнение для нее имеет вид 22г/222 Вз НГ Линия фронта ударной волны есть: $ = 1, г = В (/), — == А. Обе нн линии показаны на рис. 12.2 (ааметим, что ось г есть линия $ = оо). $о-линия обладает важным свойством; она является одной из,'С -характеристик. Чтобы убедиться в атом, перейдем в раамерном уравнении для С -характеристик Иг!Ш = и — с к автомодельным переменным. При атом следует принять во внимание, что скорость звука с есть величина существенно положительная. Принятый масштаб ее В или гВ отрицателен. Гн Следовательно, при извлечении корня из выражения с' = — 22 следует положить с= — — —,! )/Я!. Таким образом, — =- и — с = -- У + —, )/ Й ! = — 5 (У+ ! )ГГ 7 ! ) = — „"' ($ + ! )/ Е ! ).
Будем интересоваться теми С -характеристиками, которые проходят через $о-линию на плоскости г, ~. Для этого положим в уравнении характеристик З = $о. Но при З = $о (так как РГ(а; действительно, при 5=1 У(1) = а ( а; при 5 =- оо 2 у+» Р' = О; функция РГ ($) — монотонная). Поэтому рассматриваемые С -характеристики в каждой точке $о-линии имеют наклон — = —. (РГ Яа) + Г/Г Нй2 22 а +- !)Г Я ($е), ') = В$о, совпадающий с наклоном самой $а-линии.
Значит, $о-линия либо огибает семейство С -характеристик, либо просто совпадает с одной из ннх. Оказывается, что справедливо второе утверяедение: $е-линия совпадает с С -характеристикой, т. е. сама является С -характеристикой. 625 РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ 5 а) Отсюда вытекает важное следствие, касающееся причинной связи явлений. Как известно, в области непрерывного течения характеристики одного семейства никогда не пересекаются. Значит, все те С -характеристики, которые проходят выше $0-линии (см. рис.
12.2), не догоняют фронт ударной волны до момента фокусировки. (С -характеристики, проходящие ниже йо-линии, догоняют фронт; Се-характеристики сами выходят с линии фронт..) Таким образом, йс-линия ограничивает область влияния. Состояние движения в данный момент времени в тех точках, которые лежат правее $е-линии, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
