Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 171
Текст из файла (страница 171)
Скорость захлопывания и давление нарастают по мере уменьшения радиуса пузырька и в стадии фокусировки достигают весьма больших значений. После схлопывания в центральной области образуется пик давления и от центра распространяется ударная волна. Когда подобный процесс протекает вблизи твердых поверхностей, ударная волна может привести к повреждениям материала поверхностей. Считается, что в этом состоит одна из причин быстрого износа гребных винтов и турбин. Задачу о движении жидкости при захлопывании пузырька в идеализированной постановке решал Рэлей [4). Жидкость считалась идеальной (невязкой) и несжимаемой.
Сферически симметричная полость считалась пустой, т. е. давление внутри и на поверхности полости полагалось равным нулю **). Пусть в начальный момент в нсндкости имеется сферическая полость радиуса Лз. Давление в окружающей жидкости равно рс, и жидкость покоится. Распределение скорости по радиусу г после начала движения найдем из уравнения непрерывности при О= — сонзь: ЗАХЛОПЫВАПИЕ ПУЗЫРЬКОВ. ЗАДАЧА РЭЛЕЯ где В (1) — радиус полости, а  — скорость границы.
Подставляя выра- жение для скорости в уравнение движения и интегрируя его по г от г до со, получим распределение давления: ЛЛ+2Вз Вз Р =Ре+0 — Е,—.. (12.23) Если отнести зто уравнение к гравице полости 9=1, где р=О, получим уравнение для функции В(1): О = ре+ 0( ВВ + — В (12.24) Интегрируя уравнение один раз с начальным условием В=О при В=В„получим закон нарастания скорости нри захлопывании: (12,25) Это уравнение можно получить и непосредственно из энергетических соображений.
Примем за нуль энергию жидкости без пузырька. Потенциальная энергия жидкости, в которой имеется пузырек радиуса В, равна работе, потраченной на преодоление сил внешнего давления при обрааовании полости объемом 4ПВз/3. Эта работа равна рс4яВ'/3, независимо от распределения давления в районе пузырька**). Кинетическая энергия жидкости равна %О ОЭ 4яг' — ое = 4ягзй с/г 2яйВзВз 9кз Р ВзВе 2 2се Полная энергия, равная сумме кинетической и потенциальной, сохраняется: (12.26) Отсюда и получается выражение (12.25). С помощью соотношения (12.24) профиль давления (12.23) можно представить в форме (Профили скорости и давления схематически изображены на рис.
12.4,) Из формулы для давления видно, что задача неавтомодельна (несмотря на, казалось бы, «автомодельный» вид скорости (12.22)). Это и понятно: в задаче имеются характерные масштабы длины Ве и скорости )/ ре/0. «) Интегрирование уравнения (12.25) дает время захлопываиия пузырька т = = 0,915Ле У 9/Ре. НапРимеР, в воДепРи 9 = 1 е/слз Ре 1 атл, Ве = 1 мл, т = = 0,915.10 е сев. *е) Пояснить зто положение можно следующим образом. Представим себе сосуд с жиДкостыо, иахоДЯЩейса паД Давлением Рс, закРытыи поДвижным поРшнем с площадью поверхности 8. Если внутри образуется полость объемом Я, жидкость в силу своей иесжимаемости выдавливает поршеиь иа расстояние 1, такое, что М = Я.
При атом ока совершает иад поршнем работу реЯ = ре1), котораа определяется только давлением Ре вдалв от пузырька и ие аависит от распределения давлеиик вблизи пузырька. 630 некотОРые АВтомодельные пРОцессы В ГА30ВОЙ динАмике 1Гл. хы Однако в пределе, когда радиус полости стремится к нулю, Л -+. О, а скорость и давление растут, стремясь к бесконечности, решение асимптотически принимает автомодельный характер: р — — — — ' Л' ол«г1 1~.
4 2Р«н1 2 (,5 $4,/ зо л«' (12.27) Масштаб длины, начальный радиус, становится слишком большим, а масштаб давления р« становится слишком малым, чтобы характеризовать истинный процесс, для которого теперь масштабами служат переменные во времени радиус полости Л и скорость границы В (Л х Л«, В» "))гР«; р ОЛ«» р«). Движение как бы «забывает» о начальных условиях. и/Я Зто, в частности, проявляется в том, что параметры р« и Л«входят теперь в уравнение l движения границы не в отдельности, как раньше (см. формулу (12.25)), а только в ' комбинации, пропорциональной полной энергии жидкости Е = 4НЛ«р«/3 (см.
формулу (12.27)). — Как видим, автомодельность принадлежит к первому типу — сохраняется энергия. Размерные параметры в автомодельном течении такие же, как и в задаче о сильном взрыве — энергия и плотность. Закон движения границы дается уравнением (12.27) ! Ея 4 л 1 Л« — —, а давление р Е/Лэ. Отсюда Ряс. 12.4. Профили скорости и давления з задаче разек. СРазУ полУчнм Л (Е/й)' ( 1) 1 Л (Е/о)гг« ( — 1) '!4, как в задаче о сильном взрыве (эа нуль времени принят момент фокусировки). Показатель автомодельности а = 2/5.
В пределе Л -~ 0 из формул (12.22) и (12.27) получаем 4 Я« ЯЗ 1/'Л Л« ~ 1 И и Л вЂ” — —; л,~ —— г« г« ' Р нз( г г4 / д«г г4' Скорость границы стремится к бесконечности, Л Л '/4, но скорость на конечном радиусе г чь 0 стремится к нулю. В пределе Л-~ 0 потенциальная энергия р«4НЛ«/3 стремится к нулю, и вся энергия Е, которая теперь является кинетической, концентрируется в точке начала координат. Плотность энергии в ней бесконечна. В отличие от скорости, давление в момент фокусировки бесконечно и на любом конечном радиусе г ~ 0 (с давлением в модели несжимаемой жидкости не связана энергия). Зто свидетельствует о несовершенстве модели несжимаемой жидкости.
Как будет показано в следующем параграфе, при учете сжимаемости давление на конечных расстояниях от центра ограничено. э 10. Захлопывание пузырьков. Учет сжимаемоети и вязкости Захлопывание пустой полости в воде с учетом сжимаемости (но без учета вязкости) рассматривал Хантер (51. Уравнение состояния было принято в форме 631 О )О) учет сжимлемости и вязкости с у =- 7. Однако фактически в пределе болыпих давлений единица опуска- лась, так что уравнение состояния имело форму, аналогичную газовому, р = В (Е/Ео)т.
Величина В предполагалась постоянной, не зависящей от энтропии (течение считалось изэнтропическим). Было принято В = = 3000 атм. Численное решение уравнений гидродинамики (в переменных и, с) с надлежащим образом выбранными начальным и граничными условиями показало, что в пределе, когда радиус полости становится очень малень- ким, а скорость границы очень большой, решение становится автомо- дельным. В соответствии с этим искалось решение уравнений в автомодельной форме и = Ви (г!В), с' = В»2 (г(В), где радиус полости Л = А ( — ))а а). Уравнения в автоиодельных переменных, их общие свойства и ход иссле- дования во многом аналогичны тому, что имеет место в задаче о схождении ударной волны к центру. В результате численного интегрирования пока- затель автоиодельности а получился равным а = 0,555 (для у = 7).
Энергия всего течения бесконечна, как и в задаче о фокусировке ударной волны. (Энергия, заключенная в сфере радиуса г в момент фокуси- ровки 8 = О, Л = О, пропорциональна г'"). Отсутствие интеграла энер- гии и относит автоиодельную задачу ко второму типу. Распределения скорости, квадрата скорости звука и плотности по радиусу в момент схло- пывания полости, когда Л = О, имеют вид 1-а 2 11-а) 2 (1-а) 2!1-а) т и г "; с' г а; Е г а(т — '); р г .а(т-1) В отличие от случая фокусировки ударной волны, когда распределения и и с' (со — ) имеют такой же вид, предельная плотность здесь нерее/ менная.
Это связано с тем, что с самого начала задача считается изэнтропи- чвской. Резкое повышение с' и р связывается не с ростом энтропии, как в ударной волне, а с ростан плотности. Автомодельное решение в какой-то мере описывает реальный процесс лишь в области очень малых радиусов, когда езабыты» начальные условия. Сопоставление автомодельного решения с результатами численного интегрирования уравнений в частных производных при начальных усло- виях, соответствующих атмосферному давлению в воде и начальному радиусу Во = 0,5 см, показало следующее.
В момент полного схлопывания 1 = О, В = 0 автомодельное решение справедливо в области с радиусом порядка 10-' см. В такой сфере содержится примерно 10 — 20% энергии жидкости, а давление на ее границе порядка нескольких десятков тысяч атмосфер. В работе Хантера найдено также автомодельное решение для ударной волны, которая распространяется от центра после схлопывания пузырька, К интересным закономерностям приводит учет вязкости жидкости. Задачу о захлопывании пустой сферической полости в несжимаемой вязкой жидкости решал Б.
И. Забабахин (6). Исследование уравнений показывает, что характер движения зависит Во- ро от значения числа Рейнольдса Ве = — '1г ~', где у = т)IŠ— кинематиче—,Уе *) Для исследования н решения уравнений оказалось более удобв)ои выбрать е качестве автомоцельвой переменной ке 5 = г/В = г/А ( — 1)а, а зеличвну 5' = = — (В)г) "= А))а)г ыа (на границе полости г = В, 5'= — 1; ка бесконечности г=оо, $'=О). 632 нккотОРык Автомодкльнык НРОцкссы В гАзовои динАмике ~гл, х14 4 окая вязкость.
При Ке ) Ке~, где Ке* — некоторое критическое число (малая вязкость), скорость границы полости Л неограниченно возрастает при Л -~ 0 по такому же закону как и в задаче Рэлея, Л Л 4~4, но с меньшим значением коэффициента пропорциональности (часть энергии превращается в тепло за счет диссипации). При Ке (Ке* (болыпая вязкость) вязкость сильно препятствует ускорению жидкости, захлопывание пузырька происходит медленно, за бесконечное время. Кумуляция энергии, характерная для задачи Рэлея, отсутствует. В промежуточном случае при Ке = Ке~ пузырек захлопывается за конечное время; скорость Л при Л 4- 0 неограниченно растет, но слабее, чем Л '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
