Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 172
Текст из файла (страница 172)
Численное интегрирование уравнений дает для критического числа Рейнольдса значение Коз = 8,4. Для данной жидкости, находящейся под данным давлением, т. е. при заданных р, Р, рс, можно говорить о критическом радиусе пузырька Л,*. При Лс ( Л; кумуляция полностью устраняется вязкостью.
Реально, критический радиус чрезвычайно мал; наприиер, в воде (о =- 1 сlсм'", рс = 1 атм, Р =- 0,01 см4!сск) Л,*, = 0,8 10 ' см. Следовательно, вязкость слабо влияет на захлопывание пузырьков с радиусом, превышающим 0,8.10 4 см. 3. ВЫХОД УДАРНОЙ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТЬ ЗВЕЗДЫ з 11. Распространение ударной волны при стеленном законе уменьшения плотности Известно (см., наприиер, [7)), что вблизи поверхности звезды плотность вещества спадает к нулю приблизительно по степенному закону Ос„= Ьха, (12.
28~ где з — координата, которая отсчитывается от поверхности внутрь звезды, а Ь и б — постоянные. Такое распределение плотности устанавливается в результате совместного действия сил гравитации и теплового давления, причем в установлении распределения температуры, которой пропорционально давление газа, существенную роль играет лучистая теплопроводность (см.
об этом также х 14 гл. 11). Показатель степени б в распределении плотности (12.28) связан с константами, входящими в закон лучистой теплопроводности; он обычно порядка 3. Когда в центральных областях звезды происходят внутренние возмущения, сопровождающиеся повышением давления, образуется ударная волна, которая распространяется из центральных областей к периферии и выходит на поверхность.
Распространение ударной волны по гаау с падающей до нуля плотностью, как это имеет место вблизи поверхности, сопровождается концентрированием (кумуляцней) энергии, что представляет болыпой интерес для астрофизики и для проблемы возникновения космических лучей (см. следующий параграф).
Имеется некоторое физическое сходство между процессами кумуляции при распространении ударной волны по газу с падающей до нуля плотностью и при схождении ударной волны в центр. В обоих случаях энергия сообщается неограниченно уменьшающейся массе вещества таким образом, по удельная энергия — энергия единицы массы — неограниченно растет. Различие состоит в причинах уменьшения массы, на которую падает энергия. В первом случае масса уменыпается вследствие уменьшения плотности газа, во втором — вследствие уменьшения объема.
1 111 РАспРОстРАнение УдАРКОЙ ВОлны пРи Уменьшении плотности 633 (12.30) 6+ (п — ь) (1и я) ' + п' = О, Р (а — 1) а Тп+ (и — з) п' + — =- О, х (п — $) (1п ля-т)'+ )с = О, ) =2(а — 1) а 1 — (у — 1) 6. ) (12.31) Будем интересоваться предельным видом движения в той стадии, когда фронт ударной волны находится близко от поверхности авезды. В атих условиях можно пренебречь кривизной поверхностей звезды и фронта и считать движение плоским.
Поскольку ударная волна — сильная, можно пренебрегать силами гравитации. Лучистая теплопроводность играет существенную роль в установлении стационарных распределений температуры плотности газа. За малое время прохождения очень сильной ударной волны она не успевает внести заметные изменения за счет перераспределения тепла, поэтому процесс можно приближенно считать адиабатическим. В такой постановке задача о предельном виде движения была впервые решена Г. М. Гандельманом и Д. А. Франк-Каменецким [8).
Позднее ту же задачу рассматривал Сакураи (9), который нашел точно такое же решение, но для других численных значений показателя 6 в законе (12.28) и адиабаты у. Схематическое l изображение процесса распространения ударной волнь1 показано на рис. 12.5. Я Т ЕДИНСТВЕННЫМ РаЗМЕРНЫМ ПаРаМЕтРОМ В /,аа;-ОЛЗ условиях задачи является постоянная Ь, кото- г з рая содержит символ массы. Никаких других размерных параметров пег. Поэтому естественно искать автомоделъное решение аадачи, причем автомодельность должна относиться ко второму типу. Представим решение в Рлс. 12.5. Схема выхода форме (12.3), (12.5) — (12.7), В соответствии УдаРвой волвы на повеРхс плоской симметрией будем обозначать ность звезды. Профпл" ПЛОТНОСТИ.
координату ударной волны, отсчитываемую от поверхности звезды х =- О, через Х (1). В качестве масштаба плотности да следует принять величину плотности невозмущепного газа перед фронтом ударной волны. Поскольку волна распространяется по газу переменной плотности, этот масштаб зависит от времени, либо же от координаты фронта Х, что все равно (см. конец З 2). Именно, масштаб СО равен 9,=9 (Х)=ЬХ. (12.29) Как и в задаче о схождении к центру ударной волны, примем за начало отсчета времени 1 = О момент выхода ударной волны на поверхность, в соответствии с чем изменим знак у т в автомодельном законе: Х 41а ~Х 4( 1)а Итак, ищем решение в виде, 9 = йая (Ь), р = 9ОХ я ($), и = Хп ($), $ = х, ОО = ЬХО, Х = А ( — ~)а.
Уравнения (12.4) для представителей в данном случае принимают вид ( =1) 634 некОтОРые АВтаиадельные пРОцессы В ГАЭОВОЙ динАиике 1Гл. Хи Граничные условия на фронте ударной волны, которая предполагается сильной, выражаются формулаи .16), откуда следует граничное условие для представителей, аналогично $2.17): при 9 = 1 д (1) = —, и (1) = —, и (1) = — . у+1 2 2 у — 1 ' у+1 у+1 (12.32) В момент выхода ударной волны на поверхность, т.
е. при Х = О, для любого значения х, отличного от нуля, автоиодельная координата $ = оо. Газодинамические величины при любом конечном значении х в момент выхода должны быть ограниченными. Это накладывает дополнительное граничное условие на искомые функции при 9 = оо. Ход решения вполне аналогичен решению задачи о фокусировке ударной волны. Вводим новые представители: г', 6, Х, и получаем систему, соответствующую (12.15). Система сводится к одному дифференциальному уравнению первого порядка относительно 5' и Я и двум квадратурам; фактически вместо двух квадратур получается одна квадратура и одно алгебраическое соотношение между переменными — интеграл адиабатичиости. Собственное значение системы уравнений, показатель а, находится методом попыток, путем численного интегрирования уравнения для функции Я ()/), из условия, чтобы интегральная кривая прошла через нужную особую точку.
Как и раньше, особой тачке соответствует $5-линия на плоскости х, ц которая является С -характеристикой и ограничивает область влияния на движение фронта ударной волны. В работе (8) было найдено значение показателя автомодельности для значений б = 13/4 = 3,25, у = 5/3, равное а = 0,590. В работе (9) были найдены показатели и для ряда других значений б и у.
Эти результаты сведены в табл. 12 1. Таблица 12.1 0,5 5,25 0,877 0,906 0,920 О, 590 0,696 0,718 0,752 0,816 0,831 0,855 5/3 7/5 6/5 Тот факт, что показатель автоиодельности а всегда меныпе единицы, свидетельствует о том, что ударная волна непрерывно ускоряется: 1-а Х вЂ” (1(", (Х) — (1( — <'-Ю вЂ” Х з, )Х! — +со При Х вЂ” эО. В соответствии с этим неограниченно возрастает и температура на фронте, которая пропорциональна квадрату скорости фронта или квадрату — 3 (1 — Ю скорости звука: Т ~ Х ~ ' Х з .
Неограниченное воарастание температуры, как отмечалось выше, связано с тем, что конечное количество анергии сообщается неограниченно уменьшающемуся количеству газа. Давление на фронте ударной волны уменыпается по мере приближения фронта к поверхности, несмотря на возрастание скорости, так как плотность перед фронтом уменыпается быстрее, чеи растет температура (или $1!) РАспРОстРАненив УдАРнОЙ волны пРи Умвньшвнии плотности 635 квадрат скорости): Ь- 2(' ) р,-ееХ -Х' Легко проверить с помощью данных табл.
22Л, что показатель степени у Х в этой формуле всегда положителен, т. е. р, — в О при Х -+ О. Предельные распределения величин по координате х в момент выхода ударной волны на поверхность 1 = О, Х = О (1 = О, х ф= О соответствуют $ = со), очевидно, совпадают по форме с законами на фронте ударной волны.
Это, как 1-с и в задаче о сходящейся к центру ударной волне, следует просто из соображений размерности. Получаем в момент 1 = О: да 1-а 2 (1-а) и х, Т вЂ” их — сг — х ьг(1-а) е-х', р- (Конечно, те же законы следуют из уравнений в пределе $ -+ со.) Плотность в конечном распределении увеличивается в определенное число раз по сравнению с плотностью в исходном состоянии.
распределения величин по координатах до выхода и в момент выхода волны на поверхность схематически показаны на рис. 12.6. Энергия газа прн 1 = О, заключенная в слое от х = О до х в столбе с сечением в 1 сх(2, пропорциональна величине 2<0 х х 2 (1-а) е '1х ~ р~х-х Рис, 12.6, Профили платков ь сти„давления и скорости прв При х -+- со знергия стремится к бесконечверхвость звезды. ности; интеграла энергии нет. Энергия слоя,<0 — де выхода 1= ь — аоконечной толщины конечна и при х-» О стре- веет выхода. 1'> ь — вееве мится к нулю. В отличие от сходящейся ударной волны на краю, при х-э-О стремится к нулю и плотность знергии, пропорциональная давлению.
Неограниченно возрастает только температура, т. е. энергия единицы массы. «Бесконечная» энергия сообщается исчеаающе малой массе гааа. Конечно, в действительности, температура не может возрасти до бесконечности, как зто получается в математическом решении. Так, например, когда ударная волна подходит настолько близко к поверхности, что в оставшейся малой массе слоя от х = О до х = Х содержится небольшое число газокинетических пробегов, вообще теряет смысл газодинамическое рассмотрение. Беспредельный рост температуры может ограничиваться причинами физического характера: потерями знергии на излучение высоко нагретого вещества. 636 нвкотогыв лвтомодвльныв пгоцвссы в глзовои динлмикв ~гл. хгх Как и в задаче о схождении ударной волны в центр, автомодельноо решение справедливо только в ограниченной области с размерами порядка координаты фронта Х. Далеко от фронта при х» Х решение не автомодельно и зависит от условий возникновения ударной волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
