Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 174
Текст из файла (страница 174)
Полупространство х ( Π— пустое; поверхность х = О представляет собой границу между газом и вакуумом. Пусть на наружную поверхность газа действует кратковременный импульс давления (поверхность газа подвергается удару). Возможны рааличные конкретные способы осуществления кратковремен- Р» ного удара. / » 1) В течение малого времени т в газ вдвигается плоский поршень с постоянной скоростью Х/„который создает в газе давление П,. С точностью до численного коэффициента порядка единицы (зависящего а) а) от показателя адиабаты у) П, ж 9»ХУ,*. Влизка к ХУ, и скорость ударной волны О, которая создается под действием поршня. По прошествии времени т поршень «мгновенно» убирается, в газ, испытавший кратковременный удар, оказывается предоставленным самому себе (импульс давления показан на рис.
12.9, а). 2) На поверхности газа подрывается тонкий слой взрывчатого вещества. Если массовая толщина слоя равна т г/см', а калорийность, т. е. энерговыделение на 1 г, равна ~/ грг/г, то при взрыве выделяется энергия Е = т9 грг/см'. Продукты взрыва разлетаются со скоростью ХУ, ж )lф Поскольку продукты разлетаются в обе стороны'и до момента взрыва все покоилось, суммарный импульс равен нулю, однако импульс продуктов, движущихся в одну сторону, по порядку величины равен Х ж тХУ, ж ж т)/~ (на 1 смз поверхности). В газе продукты взрыва создают ударную волну с давлением порядка П, ж 9«ХУ;. Время действия давления т определяется из условия,что за время т энергия и импульс передаются от продуктов взрыва газу: 640 некотОРые АВтомодельные ПРОцессы В ГАЭОВОЙ динАмике [гл.
Х11 Итак, в общем случае будем считать, что на поверхность газа действует давление, достаточно быстро спадающее'со временем, как показано на рис. 12.9, б. Кривую давления можно представить в виде р„= П,/ [17т), где [ — функция, характеризующая форму импульса давления. В дальнейшем для конкретности н удобства рассуждений там, где будет идти речь о начальных условиях, мы будем оперировать понятием «поршня», как в первом примере. При этом будем иметь в виду, что все выводы с равным успехом можно перенести и на любые другие способы осуществления удара. Задача заключается в том, чтобы найти законы движения газа— функции р [х, 1), о [х, 1), и [х, 1) ло пров1ествии времени, достаточно большого по сравнению с временем удара т, т. е. найти асимптотический режим при 1й » 1 для данной кривой г" действия внешнего давления.
Ее можно сформулировать и несколько иначе. Сохраняя форму кривой 7 [17т), устремим время т к нулю, а давление П, — к беско- Ю х нечности, и будем искать получающееся при этом предельное рев1ение уравнений газодинамики для конечных времен. Реп1еЮ ние задачи должно, в частности, ответить на вопрос, как именно, по какому закону Р Х х должно возрастать давление П, при т-+ О, и чтобы обеспечить данное конечное дави, ление в гаае череа конечное время к Например, если в решение войдет комбид А х нация П,тз, то это означает, что при т — э- 0 П, должно расти как т-а. Изложенная задача была поставлена и исследована в работе одного из автоРвс. 12.10.
Профили плотности, давления в скорости в задаче о ров [12], где были выяснены физические кратковременном ударе. особенности возникающего движения и математического ревгения. Исследование уравнений и численное интегрирование было проведено В. Б. Адамским [13]. А. И. )Куков и Я. М. Каждан [14], Хефеле [15] и Хернер [16] нашли аналитическое решение для одного частного случая [у = 7/5).
Последние две работы являются развитием статьи Вейцзеккера [17], в которой ставился вопрос о пределах изменения показателя автомодельности при плоских движениях. Следует отметить, в работах [15, 16, 17] не был выяснен физический смысл полученного формальным путем решения. Общий характер возникающего под действием кратковременного удара движения иллюстрируется рис. 12.10. По невозмущенному газу распространяется ударная волна, на фронте которой достигается предельное сжатие Ь = —. С другой стороны газ беспрепятственно расширяется у+1 т — 1' в пустоту; на границе с пустотой плотность и давление падают до нуля.
За фронтом ударной волны давление, плотность и скорость уменыпаются, причем в некоторой точке скорость меняет знак, так как непосредственно за фронтом газ движется вправо, а у границы он разлетается в пустоту влево. Амплитуда ударной волны с течением времени уменьшается. Решение задачи о мгновенном импульсе давления должно дать ответ на вопрос о максимальной возможной скорости убывания амплитуды $ !41 АвтомодельнОе Решение и 3АкОны сОхРАнения 641 плоской ударной волны при распространении по газу с постоянной начальной плотностью. Ясно, что если действие давления растянуто во времени, то это только поддерживает ударную волну и замедляет ее затухание.
Характер предельного решения не зависит от конкретной формы импульса давления, т. е. от вида функции / (г/т), если только она спадает достаточно быстро. Выше было отмечено, что под действием давления П, во время удара газ приобретает скорость 4/1 — 1/ — '. С такой по порядчо ку величины скоростью граница газа разлетается в пустоту. Когда мы переходим к пределу т -ь О, П, -ь оо, скорость границы стремится к бесконечности, так что распределения р, О, и в предельном решении, показанные на рис.
12.10, простираются влево до х = — оо. 5 14. Автомодельное решение и законы сохранения энергии и импульса Движение, которое возникает непосредственно после приложения импульса давления, конечно, не является автомодельным. Оно характеризуется масштабами времени т и длины хо — — )/ П1/11от и зависит от формы кривой приложенного давления / (г/т).
Однако по прошествии достаточно большого времени, в моменты 4' » т, когда фронт ударной волны уйдет на расстояние Х» хо, начальные масштабы т и хо, очень малые по сравнению с естественными масштабами движения / и Х, уже не будут характеризовать процесс. Предельное движение„соответствующее стадии 1» т, Х» хо, или, что то же самое, соответствующее предельному переходу т — ь О, будет автомодельным. Единственный масштаб длины в этом движении — зто сама переменная координата фронта ударной волны Х, а масштаб скорости — скорость фронта Х. Решение уравнений, следовательно, надо искать в автомодельной форме: Е=еоб.(Ы, Е=Х 6), р=ЕХ (э), э= ~ =,.
(12.ЗЭ) Прежде чем заниматься математическим решением уравнений, следует решить вопрос, к какому из двух типов принадлежит автомодельное движение, нельзя лиаопределить показатель автомодельности а из соображений размерности*или законов сохранения. В отличие от двух задач, рассмотренных выше: о схождении ударной волны к центру и о выходе ударной волны на поверхность звезды, в рассматриваемой задаче в каждый момент времени 1 в движение вовлечена вполне определенная, конечная масса газа ОоХ (на 1 слев поверхности).
Поскольку после прекращения действия поршня, который совершил удар по поверхности газа, на газ болыпе не действуют никакие внешние силы (давление на границе с пустотой равно нулю), в газе должны сохраняться количество движения и энергия. Количество, движения газа равняется импульсу давления поршня: оь «о Х= ~ Рие44=П т ~ /( — /44( — /.
С точностью до численного коэффициента эта величина равна Пах. Энергия газа равна работе, произведенной поршнем за время действия давления. Для того чтобы точно вычислить эту работу, потребовалось 41 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Раааег 642 некоторые АВтомодельные процессы Б ГА30ВОЙ динАмике игл. х11 бы решить уравнения газодинамики в стадии действия поршня, так как еэ работа равна ~ ря и Ю, где и (2) — скорость поршня, которая заранее о неизвестна (задана только кривая давления ре (7)). Однако с точностью до численного коэффициента, зависящего от вида функции / (1/т), эта работа равна э Г Вс Е у/- — и йэ (511 — масштаб скорости поршня). Если подставить в интегральные выражения для количества дважения и энергии всего газа давление, скорость и плотность в автомодельной форме (12.33) и учесть, что интегралы по холодной, невоэмущенной области Х < л с оо исчезают, то законы сохранения импульса и энергии (на 1 сзсе поверхности) можно записать в виде СО 1 / = ~ Ои с(х= — йеХХ ~ дпссэ =-сопз~, (12.34) Х Е= ~ ( Π—,+ -р) с(х=-йеХэХ ~ (Л'-+- — я) с(~=сопМ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
