Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 177
Текст из файла (страница 177)
2 171 Выход неАВтомодельного дВижения нА пРедельный Режим 651 охваченного движением (рис. 12.15). В пределе 1 — 1- со эту малую массу можно не учитывать ни в дифференциальных уравнениях, ни в сходящемся интеграле импульса. Однако при вычислении интеграла энергии замена в малой массе то истинного решения автомодельным приводит к сугцественному изменению интеграла, делает его расходящимся.
В автомодельном решении скорость и кинетическая энергия газа при приближении к границе т -~ Остремятся к бесконечности, тогда как на самом деле прн конечном давлении г на поршне П, и отличной от нуля длительности т скорость и кинетическая энергия газа вблизи границы конечны. Чтобы получить конечную энергию газа, отвечающую фактически конечной работе поршня, нужно при вычислении энергии с помощью авто- то 1Ч 41 т модельного ревоения остановить интегрирование в той области, где авто- Рвс.
12АВ. модельное решение неприменимо. Будем вычислять энергию, пользуясь лаграняоевыми координатами. Тогда при интегрировании удельной энергии по массе газа, охваченного движением, в качестве нижнего предела следует взять массовую координату, по порядку величины равную массе шо, которая не описывается автомодельным решением, и 1 Е= ~ ( Ф У 11(т=ДОХ Х ~ (2+ 1 И44Ч йо ™/ -о!Аг Проделаем вычисления для случая у =-- 7/5. Основной вклад в интеграл дает область вблизи нижнего предела, где скорость газа и кинетическая энергия очень велики (в пределе воо~М -о- О, и — ~ — ао). Поэтому для вычисления интеграла воспользуемся асимптотическим выражением для скорости (12.46), (см.
также (12.45)). Получим 1 4 Е р ХоХ ~ ц й) р Х'Х( — э-) оо, Аго Выразим в этой формуло переменные величины череа Х: д 2 з М = РоХ; Х = АзХ з (так как Х = А44). Имея в виду определения А = (П1!Ро)ойтно (формула (12.36)) и то— — (П1ро)'!о т, найдем, что В2411141с12 Е РА2 Х УХт зрзХй=ойАот з Пбо 22. Как видим, энергия всей массы газа, за исключением малой массы шчь к которой неприменимо автомодельное решение, постоянна во времени, конечна и по порядку величины равна работе поршня. Такого яое порядка энергия заключена и в относительно малой массе шо.
Эта масса летит в пустоту со скоростью — У„ обладая кинетической 652 ннкоторын лвтомодвлъныв процвссы в глзовоа динамики ~гл. хы энергией порядка таУ,' ж А/7,'т = р ~П,/эе)'Уа т = П„'Уа р Мв т = Е. В рамках же автомодельного решения в массе т, сосредоточена бесконечная энергия, несмотря на то, что масса т, с течением времени составляет все меньшую и меньшую долю от всей массы М газа, охваченного движениемм. Существенно, что область газа, которая не описывается автомодельным решением и которая дает расходимость в интеграле энергии, если проэкстраполировать на нее автомодельиое решение, де>кит за пределами У фр ур х Рнс. 12Л6.
Выход неазтомодельного дзнження на автомодельный режим. Графики ваяты ив работы Пай За единицу времени принята ппитсаьвссуь аеаствиа поршня ь сферы влияния, левее особой линии и никак не влияет на распространение ударной волны. В самом деле, граница неавтомодельной области описывается уравнением т ж т„а особая линия т = у)оМ )т = 0,054 М при у = 7/5). При /-и оо М-с- оо, тс « у)сМ. Чтобы получить представление о том, как неавтомодельное движение выходит на предельный, автомодельный режим, авторами работы )14) был предпринят численный расчет уравнений газовой динамики с у = 7/5 при прямоугольном импульсе давления поршня, показанном на рис. 12.9.
На рис. 12.16 приводятся кривые зависимости р/р„и/и„о/о„от авто- модельной переменной х/Х для нескольких моментов времени (р„и„ о, — величины на фронте). Там н<е нанесены кривые точного автомодельного решения. Как видно из графиков, уже при 1/т = 5 истинное решение довольно близко к авто- модельному, а при б/т = 15 — почти совпадает с антса)сдельным. Таким образом, выход движения на автомодельный режим осуществляется весьма быстро. Из решения неавтомодельной задачи можно найти численный сосРедоточенний удАР по повеРхиости ГА3А 653 1 181 коэффициент в выражении (12.36) для параметра А.
Он оказывается равным 1,715, так что А = 1,715 (П1/Оа)М»т»/». Численный коэффициент характеризует форму импульса давления поршня. Можно сказать, что прямоугольному импульсу свойственно число 1,715 (при у = 7/5). й 18. Сосредоточенный удар по поверхности газа (взрыв иа поверхности) Представим себе «сферический» аналог плоского движения газа при кратновременном ударе по его поверхности.
(Попутно остановимся и на «цнлиндрическом» случае.) Этот вопрос был рассмотрен в работе одного из авторов (20). Пусть полупростракство г - 0 занято идеальным газом с показателем адиабаты у. Плотность газа дс постоянна, давление равно нулю. По дру гую сторону плоскости з = 0 при г ( 0 пространство пустое. В начальный момент 1 = 0 в массе газа л», окружающей точку О на граничной поверхности г = О, быстро выделяется энергия Е. Это может произойти в результате Рнс. 12.17.
Поле скоростей пря сосредо- точенном ударе. *) Если причиной даяження послужил удар «снаряда», то е> — порядка массы «снаряда», Š— порядка его кннетнческой енергнн, ие — порядка скорости удара. г' взрыва на поверхности или же в результате «сосредоточеккого» удара » о>' по поверхности быстрым «снаря- ,А А, дом», если последний не проникает далеко в глубь вещества, а резко тормозится вблизи поверхности.
При этом кинетическая энергия его дни>кения быстро превращает- у ся в тепло, т. е. происходит нечто а подобное взрыву. От точки О по газу побежит ударная волна. С другой стороны нагретый газ разлетается в пустоту. Начальные скорости движения газа как в сторону распространения ударной волны, так и в сторону пустоты порядка ис ) Е/О> е). Поверхность фронта ударной волны, которая является поверхностью вращения вокруг оси г, обрааует нечто вроде «чаши», как показано ка рис.
12Л7. Через круглое «отверстие» чаши (сечение в плоскости г = 0) газ, нагретый ударной волной, вытекает из «чаши» в пустоту. Отток газа ослабляет ударную волну по сравнению с тем случаем, когда «отверстие» закрыто неподвижной «крышкой». Этот случай соответствовал бы взрыву в неограниченной среде. Быстрее всего ударная волна дни>Естся вниз, медленнее всего— вдоль поверхности я = О, где она сильно ослабляется за счет расширения газа в пустоту. Поэтому поверхность фронта вытянута вниз по сравнению с полусферой. Вблизи фронта газ движется в сторону распространения волны.
Где-то внутри «чаши» проходит поверхность, на которой вертикальная составляющая скорости меняет направление. Выше этой поверхности, схематически показанной на рис. 12.17 пунктиром, газ движется 654 нвкотогын лвтомодильиьгн пгоцнссы в гласной динамики 1гл, хы Ерс ( т )в ( т )и (12. 56) Здесь р» Ейс/т — начальное давление в момент удара («взрыва»). Средняя скорость газа в «чаше» по порядку величины равна 1 п » (12. 57) Энергия в «чаше» порядка Е» — Ми' - — Р - Е (у™-) — Е»с (- — ) (12.58) где ń— начальная энергия в «чаше», которая, очевидно, порядка полной энергии Е. Импульс в «чаше» порядка 1» — Ми — ( Ега ( — -) ~ -Х,с (---) (12. 59) где 1»з (Ет)Н» — начальный импУльс «*«).
Энергия вытекает из «чаши» через «отверстие», так как скорость газа в сечении «отверстия» направлена в сторону пустоты. Следовательно, энергия Е„содержащаяся в «чаше», уменыпается с течением времени (с ростом массы М), и по формуле (12.58) и ) 1. *) По-видимому, вблизи плоской границы невозмущенной среды газ, вытекающий из «отверстия», движется вдоль плоскости з = О, и давление у самой плоскости равно нулю. Возможно, что при некоторых значениях у происходит отрыв, так что около плоскости з =- О вне «отверстии» образуется пустая коническая щель. Быть может, прн некоторых у давление на плоскости» = О вне отверстия — конечно, и вблизи точки А возникает тронная точка.
Фронт ударной волны вдоль плоскости з = О простирается тогда до бесконечности. **) М вЂ” з' — гзо. Скорость газа за фронтом пропорциояальна и — о»»~ۻ— 1 — 1« ' й' р — м шз — г зошз, Отсюда: а — 1 == — эпя(2 или п = 2(1 — а)(эа. ***) В случае удара «снаряда»!»з порядка импульса ударяющего тела. в сторону пустоты (направления скорости указаны стрелками). По мере удалении от плоскости х = — О в ранее пустом пространстве г ( О скорость разлета возрастает, что схематически показано на рисунке стрелками возрастагогцей длины е). Представляется довольно очевидным, что в пределе, когда ударная волна захватывает массу М » т, движение автомодельно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
