Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 181
Текст из файла (страница 181)
По газу в сторону возрастания плотности побежит ударная волна, а нагретый газ будет расширяться в сторону пустоты. Будем искать предельное движение в стадии, когда ударная волна охватывает массу газа М, которая гораздо больше, чем масса т» в области малой плотности, подвергшаяся начальному действию удара. Начальное давление газа будем считать равным нулю. Как видим, постановка задачи вполне аналогична постановке задачи о кратковременном ударе по поверхности газа постоянной плотности, граничащего с пустотой (см.
$ 13). Задача о кратковременном ударе в случае неоднородной атмосферы была сформулирована и решена в работе одного из авторов (30). Ясно, что предельное движение (М Р ги,) является автомодельным. Однако эта автомодельность имеет необычный характер. Дело в том, что в отличие от всех других рассмотренных автомодельиых движений, в условиях задачи имеется масштаб длины Л, но нет параметра, размерность которого содержала бы символ массы (обычно такой параметр существует в связи с заданием начальной плотности гааа).
Величина О» в (12.66) АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 665 «зз) где численный коэффициент а зависит только от показателя адиабаты у. Координата фронта Х растет с течением времени по логарифмическому закону: Х=а Л)п1+сопэ«. (12. 70) Вырансения для скорости, плотности и давления газа аа фронтом ударной волны имеют вид 2 о и = ифи = — а — и, у+1 с у+1 О=ОЕО=,—, Ое(Х) Е. 2 зла р=рфр=, аз — е-де(Х)р, (12.71) где безразмерные функции-представители и, о, р аависят от'автомодельной переменной $ — безразмерного расстояния, отсчитываемого от фронта ударной волны, и у. Функции-представители определены таким образом, чтобы на фронте ударной волны при $ = 0 они все обращались в единицу и(0) =-О(0) =р(0) =1. (12.72) Другое граничное условие состоит в том, что в «пустоте», при х =- — со, Е = со, р(со) = О. Плотность газа непосредственно перед фронтом ударной волны ое(Х) выражается через массовую координату фронта М формулой (12.67), е) С» — зто плотность а точке х = О, ко начало х = О иы вправе поместить в тачку с любой плотностью.
е*) Ниже ев будет саяаак с анергвей взрыва. не может служить параметром, так как она неопределенна из-за произвола в выборе начала отсчета координаты х*). Координата х определена лишь с точностью до аддитивной постоянной, поэтому движение может зависеть только от разности координат, но не от самой координаты х. Разностью координат является расстояние, отсчитываемое от фронта ударной волны, координату которого обозначим Х, так что движение зависит от безразмерного расстояния (12,68) Эта величина и является автомодельной переменной, причем, в отличие от всех других рассмоггренных автомодельных двия«ений, автомодельная переменная не содержит времени.
Движению, конечно, свойствен некий параметр А, характеризующий «силу удара»**), однако иэ-аа отсутствия другого параметра, размерность которого содержала бы символ массы, иа величин х, А, о невозможно составить комбинацию размерности времени и, следовательно, иа независимых переменных и параметров х, ~, А, о нельзя составить безразмерной переменной, в которую входило бы время После сделанных замечаний о раамерностных свойствах задачи и неопределенности координаты х легко найти закон движения ударной волны и ааписать общие выражения для искомых функций: скорости, давления и плотности, Скорость фронта ударной волны равна Х>= Х=а-,—, (12.69) ббб нккОтогык АВтОмодкльнык ЛРОцессы В РАЗОВОЙ динАмике [Рл.
хп йз(Х) = М Аза Ь Ь (12.74) Движение, как уже отмечалось выше, обладает необычной автомодельностью; профили скорости, плотности, давления как бы «привязаны» к фронту ударной волны и движутся вместе с фронтом, не растягиваясь с течением времени (меняются лишь амплитуды этих величин). Однако в лагранжевых координатах движение автомодельно в обычном смысле. Лагранжева координата т равна и= ~ й(х) Ах=сонэ( М ~ о Я) А$, «! $ т. е. $, а следовательно, й, О, р являются функциями автомодельной переменной т) =- АМ = лз/А1".
Уравнения автомодельного движения удобно решать в лагранжевых координатах. Подставим выражения (12.71) и (12.74) в соответствующие уравнения газовой динамики — + — =О, — =0, рр- =Г( ). ди др д (1/С) да дз д!а ' дз д!а Получим уравнения для функций-представителей и (т)), о (1)), р (1)): 1 Г1 !' 2 и+атон'=ар", — +т) ( — ) = — и', — с 'с~- 2 — +2-1 рй ч (12.75) Интегрируя второе из этих уравнений и исключая из системы (! и и, получим основное уравнение задачи 1 2-а 1 — — 1 — Р тз) ат Ф 7+1 у+1'. у / (12 76) 1 — Р т ч ат 27 Решение р(з)) должно проходить через две точки р(1) =1 и р(0) =О, чем н определяется показатель а.
В частном случае у=2 удается найти точное аналитическое решение задачи. Имеем: 3 3'Ь. 1 з 1 а= — М 1»М В ' и — — 0 -гзя 2 ' 2 с ' ! ! с Нз ' (12.77) 3Г 1,;«) р=«), О=«)Н! и= — ( 1 — З)-»1« ) ) 2 ( 3 «) Рвшснке в лагравшевкх координатах совершенно аналогично акалкткческому решеввю обычной аадачк о кратковременном ударе, в случае у 7/б.
(Ск. (12.42).) Масса газа, охваченного ударной волной, в отличие от геометрической координаты, зависит от времени, как обычно, по степенному закону М =да(Х) Х=МХ!А=Ма( ', откуда М=А(а. (12.73) Здесь А — постоянная интегрирования, которая и является параметром, характеризующим «силу удара». Размерность ее — (А) = г см 'сек а. Таким образом, в формулы (12.71) можно подставить явную зависимость дс(Х) от времени 1 241 пРиложение автомодельного Решения к В3РыВу 667 В эйлеровых координатах решение имеет вид: р =(1+25)-ы», о=-(1+2$)- г» и=1 — ~, (12.76) Аналитическое решение возможно и при у=1: а=1, р=»), о=»), и=1. Этот случай представляет интерес лишь с точки зрения ограничения показателя автомодельности а, так как ему соответствует бесконечное Рнс.
12.23. Распределения сноростн я, давления р н плотности о в пространстве за ударной волной. Рнс. 12.22. Распределенняскоросгн и,давленнярннлогностнэ по массовой координате. сжатие газа во фронте волны, в результате чего в эйлеровых координатах р, 9, и превращаются в 6-функции: 6($). Поскольку реальные значения у ааключены в диапазоне 1(у(2, надо полагать, что соответствующие значения показателя автомодельности лежат в интервале 1(а( — ).
За 2 При произвольном значении у решение можно найти путем численного интегрирования уравнения (12.76) методом попыток. На рис. 12.22 и 12.23 приведены полученные таким образом распределения скорости, плотности и давления по массе и в пространстве для у = 1,25. Показатель а при этом равен а =- 1,345. 4 24. Приложение автомодельного решения к взрыву Движение ударной волны сильного точечного взрыва вниз приобретает черты автомодельного движения, описанного в предыдущем параграфе, когда давление в полости р, становится малым по сравнению с давлением рс на фронте ударной волны в нижней точке. В численном расчете движения ударной волны, сделанном в работе [29), фигурируют обе эти величины, так что мы имеем возможность «привязать» автомодельное решение к какой-либо определенной точке численного расчета.
Надо сказать, что в момент резкого уменьшения давления в полости решение (29) *) Рассмотрение балансов енергнн н импульса, аналогичное тому, которое было проведено в 1 16, приводит и общему ограничению 1 ( а ( 2. 668 некОтОРые АВтомодельные пРОцессы В ГАЭОВОЙ динАмике 1Гл. х11 тернет силу, так как в приближении (29! прн нулевом давлении в полости исчезает сила, движущая ударную волну. Между тем, в действительности движение ударной волны после этого момента продолжается довольно долго и оно как раз и имеет характер движения, которое является результатом первоначального «толчка».
Численные оценки покааывают, что давление в полости становится гораздо меньше давления на фронте, когда скорость фронта еще достаточно велика, так что при рассмотрении последующего движения противодавлением со стороны невозмущенного воздуха еще можно пренебречь. Поэтому автомодельное ре1пение может описать распространение ударной волны вниз В течение еще некоторого времени после прорыва атмосферы. Предположим для определенности, что переход на новый режим происходит при ре/рс = 10.
Согласно (29! этому значению соответствует время от момента взрыва 11 =- 19т», где т» = (9,Л»/Е)Ч» — масштаб времени, характерный для взрыва в неоднородной атмосфере (9, — плотность воадуха на высоте взрыва, Š— энергия взрыва). К моменту ударная волна уходит вниз от точки взрыва на расстояние г = 1,9 Л; скорость фронта при этом равна Р, = 2,5 10-'Л/та. Проэкстраполируем предельные законы распространения ударной волны (12.69), (12.70) к моменту «перехода» на новый режим, причем координату и время будем отсчитывать таким образом, чтобы выполнялось начальное условие Р = Р, при Х = О»).
Получим приближенную зависимость координаты фронта от скорости фронта и от времени (координата отсчитывается вниз от точки «перехода» на новый режим): Х = а Л 1и — = а Л !и —. 2»1 г е. Параметры Р, и О определяются через параметры взрыва выраягения- ' 1/» ми Р, = 2,5 10-' — = 2,5 10-' ( — '-) ' **); О = 40 ат», а =- 1,345 при у = 1,25. Параметр удара А атом же приближении равен л = ех'дс ЛО "=- = 6,7 Ес Л О-'.
Оценка с помощью реальных численных значений параметров показывает, что в процессе замедления ударной волны от «переходной» скорости Р1 до скорости Р 1 км/сек, в несколько раз превышающей скорость звука в холодном воздухе, ударная волна проходит вниз расстояние примерно (2 —: 3) Л. Оно добавляется к расстоянию около 2 Л вниз от центра взрыва, которое следует иа теории [28, 29!. Таким образом, в процессе замедления ударной волны сильного взрыва до скорости порядка 1 лм/сек волна проходит вниз от точки взрыва расстояние около (4 —:.- 5) Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
