Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 180
Текст из файла (страница 180)
Посмотрим, как распространяется ударная волна сильного точечного взрыва в неоднородной атмосфере. При этом, очевидно, нас будет интересовать та стадия, на которой волна уходит от точки взрыва на расстояния, сравнимые с масштабом неоднородности Ь; только тогда и проявляется влияние неоднородности. Ударную волну предполагаем сильной (давление за фронтом гораздо больше давления перед фронтом). Газодинамический процесс не является автомодельным, так как имеется масштаб длины А и, более того, движение не одномерно, а двумерно.
В цилиндрических координатах с вертикальной осью, проходящей через точку взрыва, двинсение зависит от координаты х и радиуса г. Полное решение газодинамической задачи можно найти только путем численного интегрирования уравнений газодинамики. Однако получить представление о характере распространения ударной волны и форме ее поверхности можно на основе простых соображений, что было сделано А. С.
Компаиейцем в работе (28). Предположим, что, как и при взрыве в однородной среде, давление выравнено почти по всему объему, охваченному взрывной волной, а на фронте постоянно вдоль поверхности фронта и пропорционально среднему давлению, в объеме, т. е.
отношению энергии взрыва ко всему объему й: (12.64) Здесь )г(у) — численный коэффициент, который для оценки можно взять, например, из репгения задачи о взрыве в однородной среде (см. гл. 1). Пусть уравнение поверхности фронта ударной волны в цилиндрических координатах есть 1(з, г, 1) = О. Дифференцируя это уравнение, получим — ггя+ а аг+ а гь1=0 а1 а1 а1 или Р,+ Є— РР1 —— где Р, и Є— составляющие вектора скорости фронта Р. Нормальная составляющая скорости фронта выражается известной формулой Р„= — — ' '7/!.
а( ~,, дг/ 1 *) В действвтельпоств земная атмосфера ке является строго экспопекцквлькой тзк как температура воздуха мекяется с высотой. Масштаб А, определенный кзк А =- — (е !п 0/ЛЬ) ', кзмекяется в интервале от б до 15 вл ка высотах ниже 150 хл. Вмш е 150 кл масштаб А становится еше ббльшвм. 662 некоторые АВтомОДельные процессы В ГА30ВОЙ ДинАмике 1гл. Х11 Но согласно условию на фронте сильной ударной волны 1 где о« вЂ плотнос перед фронтом в данной точке поверхности. Из двух последних выражений имеем: 1 Подставим сюда давление р, по формуле (12.64) и выразим объем 12 в виде интеграла Й= ~ Й2 с помощью уравнения поверхности фронта, ограничивающего обьем 12. При этом уравнение )(г, г, 1) будем считать разрешенным относительно радиуса г = г (я, (). Атмосферу будем считать строго экспоненциальной.
Такая операция приводит к дифференциальному уравнению в частных производных для искомой функции г=г(з, 1), которое точно решается в работе (28). ~/л Эволюция поверхности фронта ударной н волны видна из рис. 12.21, заимствованного из этой работы, на котором изображены сечения волны вертикальной плоскостью, проходящей через точку взрыва (через ось з).
с/б На рис. 12.21 показаны сечения в последо- вательные моменты времени. Волна, вначале с/ сферическая, постепенно принимает яйцевид- О ную форму. При движении в разных направлениях ее интенсивность изменяется неодинаково. В направлении вертикально вниз, в сторону Рнс. 12.21. Разрез понерхпо- наиболее резкого увеличения плотности, стей фРонта Удайной волны ударная волна ослабляется и замедляется прн сильном взрыве па большой Высоте вертикальной пло- быстрее всего. Напротив, при движении верскостью, проходящей через тикально вверх, в сторону наиболее резкого точку взрыва.
уменьшения плотности, она даже ускоряется укаааныпопл«лоннтнльнпк момен- ива конечное время т уходит вверх на бескотп крен«нн. На отрезке Л плотность нтнооф«рпнкняктсян враз. вечность, как бы «прорывая» атмосферу. При этом поверхность фронта образует нечто вроде «чаши» и в огромной полости, ограниченной атой поверхностью, давление падает до очень малой величины (до нуля, в рамках сделанных приближений). Двигаясь в горизонтальном направлении, волна ослабляется, но медленнее, чем при движении вниз.
Легко понять физическую причину ускорения ударной волны на больших расстояниях при движении вверх (31). Если Х вЂ” расстояние верхней точки ударной волны от центра взрыва, то объем полости Й пропорционален Х» и давление р1 Е(Х», Плотность перед фронтом равна д« вЂ” — д«ехр ( — Х1А), где д« вЂ” плотность на уровне взрыва, поэтому скорость фронта (12.65) е, «Я при Х-+ оо неограниченно возрастает, а время ухода волны вверх, на Аэтоыодельное движение удАРнОИ волны $22) бесконечность, йс "' 2А " Е»2»е 2л с)В Е~/« оказывается конечным *). Как следует из этого соотношения, время «прорыва» атмосферы т = т (д«А»/Е)М«, где т — численная константа (она определяется в результате полного решения задачи). Нетрудно видеть, что т — это единственная величина, имеющая размерность времени, которую можно составить из размерных параметров аадачи: Е, 9„А. Закон движения ударной волны, форма поверхности фронта и константа У были несколько уточнены по сравнению с (28) в работе Э.
И. Андрианкииа, А. М. Когана, А. С. Компанейца и В. П. Крайнова (29), в которой задача рассматривалась в той же общей постановке, но с учетом распределения давления на ударной волне вдоль поверхности фронта. При этом определялось движение каждого участка поверхности фронта. Уточненное значение константы т оказалось равным т 24 (для показателя адиабаты у = 1,2). К моменту «прорыва» атмосферы ударная волна проходит вниз расстояние около 2А, по горизонтали (на уровне точки взрыва) примерно 3,5 А. В соответствии с самой постановкой задачи решение (28, 29) теряет силу вблизи момента прорыва атмосферы, так как прн этом давление падает до нуля и дальнейшее распространение ударной волны (при сделанных приближениях) прекращается.
Неоднородность атмосферы сказывается лишь при таких взрывах, при которых ударная волна уходит на расстояния, превосходящие масштаб неоднородности А, оставаясь еще достаточно сильной. В противном случае ударная волна затухает еще до того, как начнет проявляться неоднородность, и взрыв протекает так же, как в однородной1 атмосфере.
Приближенное условие реализации описанной выше эволюции поверхности фронта ударной волны можно определить так (29): отношение давления на фронте к давлению воздуха перед фронтом р«/рс при распространении волны (по законам взрыва в однородной атмосфере) на расстояние А должно превьппать (у + 1)/(у — 1), скажем, в 10 раэ (см. сноску на стр. 84 в 2 25 гл. 1). Например, на высоте 100 кирс ж ж 10 ' атз« = 1 бар и зто условие (р«/рс ж 100) выполняотся только при взрывах с энергией Е ) 10'с эрг.
Взрыв не чрезмерно большой мощности на малой высоте протекает практически как в однородной атмосфере. е 23. Автомодельное движение ударной волны в сторону возрастания плотности Рассмотрим более пристально, как протекает газодинамический процесс в области нижней точки ударной волны сильного взрыва, движущейся вертикально вниз. При взрыве в однородной атмосфере давление в объеме выравнено и всего в два-три раза меньше давления на фронте ударной волны (см. 2 25 и 26 гл. 1). Это внутреннее давление «поддерживает» ударную волну, способствует тому, что волна затухает медленнее, чем в отсутствие внутреннего давления.
Роль внутреннего давления ») Заметны, что знергкя, сосредоточенная в данном телесном угле, вершина которого лежит в точке взрыва, не остаетсн постоянной, как прн сферической сныыегрнн. Энергия имеет тендевпню «перетекать» снизу вверх, что также способствует ускорению ударной волны вверх. (Масса, напротив, перетекает вдоль поверхности фронта .яз верхннх областей ударной волны в ннжнне.) 664 некотоРые Автомодельные пРОЦессы в РАЗОВОи динАмике [Гл, х11 выступает особенно отчетливо, если сравнить движение при плоском варыве с движением при плоском кратковременном ударе (см.
предыдущий раздел этой главы). Давление в области эа фронтом ударной волны в этом последнем случае уменыпается до нуля и внутреннего, поддерживающего волну давления нет. Поатому ударная волна затухает скорее, чем при плоском взрыве. Нечто подобное происходит и при взрыве в неоднородной атмосфере. Происходит резкое падение давления в полостн из-за быстрого увеличения ее объема, связанного с ускорением волны вверх. Это приводит к тому, что внутреннее давление больше не поддерживает ударную волну, распространяющуюся вниз, а газ иа нижних слоев оттекает от фронта вверх, устремляясь в «пустую» полость.
Положение в какой-то мере приближается к тому, которое имеет место в аадаче о кратковременном ударе. Сближает его с этой задачей также и то обстоятельство, что при достаточно болыпом удалении ударной волны от точки взрыва кривизна нижнего участка поверхности фронта становится малой и участок вместе с прилегающим к нему слоем газа за фронтом оказывается «плоским». Таким образом, для приближенного описания течения газа в нижней части ударной волны представляется целесообразным рассмотреть идеализированную задачу о распространении плоской ударной волны в неоднородной атмосфере в сторону повышения плотности. Ее, очевидно, следует поставить так.
Пусть плотность газа распределена в пространстве по экспоненциальному закону (12.66) Оо — р"ел, Л=сопз$ (ось х для удобства направим вниз). Это распределение обладает тем свойством, что масса газа, сосредоточенная в столбе единичного сечения, от х = — оо, где О» = О, и до х = Х, равна массе газа в столбе с длиной Л, если плотность в нем равна О«(Х) (12.67) Пусть в начальный момент 1 = О, где-то в области очень малой плотности, при х — оо проиаводится кратковременный плоский удар.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
