Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 176
Текст из файла (страница 176)
647 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 1 15) та ударной волны 9 = 1,7) = 1, особаялиния 9 = йо,т[ = г[оихарактеристнки обоих семейств "). Особая линия является С+-характеристикой. Все характеристики С+-семейства выходят из начала координат, причем Рис. 12.14. ж,М-диаграмма для задачи о иратиоиремеииом ударе. И = 1 — линия фронта ударной ионны; Ч = Иа — особая Ъ-линия. Прокодоны характеристики С,- и С--оаыейотв.
Рис. 12.13. хд-диаграмма для аадачи о кратйоиромонном ударе. = а — линия фронта ударной волны; = Ы вЂ” особая йхиинин.проведены характориотики С~.- и С-.оеиейотк. те из них, которые идут правее особой линии, догоняют фронт ударной волны, а те, которые идут левее, никогда не догоняют. Таким образом, состояние движения в относительно малой массе, заключенной между границей с пустотой и особой линией, не влияет на распространение фронта ударной волны и*).
В работах [15, 16)путем Таблица 12.2 в табл. 12.2. Профили давления, плотности, скорости при разных значениях показателя адиабаты в качественном отношении подобны профилям в случае у = — 7/5 (см. рис. 2.11, 2.12). Из таблицы видно, что ударная волна затухает тем медленнее, чем больше показатель аднабаты. Однако затухание всегда быстрее, чем в а) Заметим, что ось М яиляотся ц = О-дяяией, ось г па плоскости х, г с = 0- линией. Отрицательная полуось х на плоскости х, 1 является 5 = — со-линией. *а) В частности, гаа может граничить но с пустотой, а с «поршнева, данлеинв па котором спадает по достаточно быотрому степенному аакону.
Искажении состояния диюквпия з области между границей и 5о-пинией, связанное с присутствием поршня, не ндияет на движение пранас ко-динан н на аакои распространения ударной волны, если только давление па поршне спадает достаточно быстро. Это показано з работе В. Б, Адамсиого и П. А. Попова [18). В атой работе, а также з работе П.
Л. Крашенинпикоиой [19), рассматривалась аитомодельиая аадача о движении газа под дайстинем давления иа поршне, изменяющегося по степенному закону. численного интегрирования уравнения были найдены значения показателей автомодельности и для некоторых других показателей адиабаты у. Результаты сведены 1,1 1,515 ~ 0,57 5/3 1,275 0,612 7/5 473 ~ 3!5 2,8 1,045 ~ 0,656 648 некотОРые АВтомодельные пРОцессы В ГАЗОВОе динАмике 1Гл. хп случае, когда газ на границе не разлетается в пустоту, а неподвижен, как в задаче о сильном плоском взрыве. Если в плоскости х = 0 происходит мгновенное выделение энергии Е зрг/см» и газ в плоскости х = 0 всегда неподвижен (либо занимает пространство по обе стороны плоскости, либо ограничен жесткой стенкой), то энергия сохраняется и ударная волна затухает по закону 2 2 р„— Х ' — 1»; и=1, а= —.
з В следующем параграфе будет показано, как ограничение и ) 1, 2 а < — следует из закона сохранения энергии при произвольном значез нии у. 'Гам же будет видно, что закон сохранении импульса накладывает ограничение на показатели с другой стороны: и ( 2, а ) '/ю $ 16. Ограничение показателя автомодельности законами сохранения импульса и энергии Характер движения, которое возникает при кратковременном ударе, таков, что какая-то доля газа увлекается ударной волной вправо, а остальной газ разлетается влево в пустоту. Существует точка, которая разграничивает указанные доли газа; назовем координату этой точки х".
В точке х* массовая скорость газа меняет направление, т. е. равна нулю, и* = и (х*) = О. Сама граница хх распространяется в пространстве и по массе направо. В автомодельном решении точке обращения знака скорости соответствует некоторое определенное значение автомодельной переменной: $ = ех; х* = е«Х. Рассмотрим объем, заключенный между поверхностью фронта ударной волны х = Х и поверхностью «раздела» х = х«. В этом объеме заключена масса (на 1 см' поверхности): х ! М'= ~ й«(х=о»Х ~ б!/4=сопэФ.О«Х. х* 1» Она составляет вполне определенную долю от полной массы, охваченной движением М = О»Х (при у = 7/5 М*/М = 0,78). Остальная масса М вЂ” М~ разлетается влево. Масса М*, так же как и полная масса М, растет с течением времени пропорционально Мх — Х вЂ” 1х.
Граница х" распространяется по массе вправо, т. е. газ вытекает через поверхность х* влево. Запишем выражения для импульса и энергии газа, который движется с ударной волной вправо: х ! Х' = ~ Ои !1х = О ХХ ~ дэ !/~ = сопя! 12« — ', (12. 47) х» Р х 1 Е" = ~ ( ~ + 1) !1х=Ю«Х Х ~ ( ~ + — 1) !!Е=совзэ Гзх-2. (12.48) х* »» Справа, через поверхность фронта ударной волны, в рассматриваемый объем х" ~ х ( Х Втекает невозмущенный газ с нулевым давлением и температурой.
Он не вносит в объем ни импульса, ни энергии. Слева через поверхность х* газ покидает объем с нулевой скоростью, но конечным давлением р* (газ покидает объем не за счет собственного движения, а за 1 171 ВыхОд неАВтОмодельного дВижения нА пРедельный Режим 649 счет распространения поверхности, которая ограничивает объем).
Импульс через поверхность х» не вытекает. Изменение импульса в объеме равно давлению, приложенному к его границе: '— ,',*=р >О. (12.49) Импульс в объеме растет с течением времени. Из формулы (12.47) следует, что 2а — 1 ) О, а ) 1/2 и по формуле (12.41) п < 2. Изменение энергии в объеме определяется только вытеканием внутренней энергии через левую поверхность х». Кинетическая энергия не вытекает, так как скорость газа и» и кинетическая энергия на границе х» равны нулю.
Работа сил давления на поверхности л» р"и» ог также равна нулю. Следовательно, — = — — — Π— = — Р $ Х<0. ЙЕ" 1 р~ «Из~ 1 /1 = у — 1 о П = у — 1 (12.50) Энергия в объеме уменьшается с течением времени, вытекает из него влево вместе с массой газа, который меняет направление скорости и начияает разлетаться влево, в пустоту. Из формулы (12.48) следует, что За — 2 < 0, а < 2/3 и по формуле (12.41) п->1. Итак, мы приходим к следующим ограничениям показателей автомодельности: <о< з ' 2)")1' (12.51) Крайние значения п = 1, а = 2/3 соответствуют иеизмеяности энергии Е* = сопз1, а крайние значения п = 2, а = 1/2 — неизменности импульса 1» = совз$. В 17.
Выход яеавтомодельного движения на предельный режим и «бесконечность» энергии в автомодельиом решении Автомодельное решение, строго говоря, отвечает идеализированным начальным условиям, в которых длительность удара т бесконечно мала, а давление на поршне «в течение удара» П, бесконечно велико. При этом предельный переход т-з-О, П, -~ оо совершается таким образом, что произведение П',~ах' «, которому пропорционален параметр А (см.
фор- мулу (12.36)), остается конечным. В соответствии с предельными значени- ями т -~ О, П~ -~ оо поршень сообщает газу бесконечную энергию: з Е = йэ Пз х — т-1з-з«> — ~ со, а < —, 2 (12. 52) и нулевой импульс 1 ж П,т тза-1-+О, а ) —. (12. 53) Сопоставим энергию Е* и импульс 1» той доли газа, который движется вправо, в сторону распространения ударной волны (см. формулы (12.47), (12.48)) с энергией Е и импульсом У всего газа в целом.
Имеем Энергия Е* газа, движущегося с ударной волной вправо, успевает уменьшиться к данному моменту 1 в тем большее число раз по сравнению с начальной энергией Е, чем короче был удар. Неудивительно, что в пределе исчезающе малой длительности удара т -~ 0 нужна бесконечная работа 650 нккотогыв лвтомодвльныв пгоцвссы в гАзовои динамики ~гл. хп поршня (бесконечная энергия газа Е), чтобы, сократившись в бесконечное число раз, энергия в определенной доле массы осталась конечной. Вся эта бесконечная энергия сосредоточена теперь в той доле массы, которая разлетается в пустоту, точнее, на самом краю газа, который обладает бесконечной скоростью разлета и бесконечной кинетической энергией. Односторонний импульс Х* в данный момент времени тем больше импульса поршня Х,чем короче был удар.
В пределе т — ь 0 односторонние импульсы частей газа, которые движутся вправо и влево, компенсируют друг друга с точностью до исчезающе малой величины 1. По существу, идеализированное предельное решение отвечает не просто нулевой длительности удара т, а бесконечно большому отношению //т: г/т — ~- со и Е*/Š— О, Хч/Х вЂ” ь со. Выгпе, прн истолковании этого условия, мы рассматривали конечные времена 8, но исчезающе малые времена удара т, в соответствии с чем работа поршня Е была бесконечной, а импульс 1 — нулевым.
Ближе к реальности иное толкование предельного условия, когда не длительность удара устремляется к нулю, а при фактически конечной длительности удара и конечной энергии Е рассматриваются времена г, большие по сравнению с т (г/т — ~- оо не за счет т -ь О, а за счет г — ~- оо).
При рассмотрении предельного режима с такой точки зрения возникает вопрос, каким же образом происходит асимптотическое превращение истинного, неавтомодельного в силу конечности т, движения в предельный рея<им? Как согласовать при этом бесконечность энергии предельного движения с фактически конечной работой поршня? Дело в том, что приближение истинного решения к автомодельному с течением времени происходит неравномерно. С ростом времени г и массы газа, охваченного движением /)Х = осХ, давление и все другие величины приближаются к значениям, отвечающим автомодельному решению. Однако такое приближение происходит не везде.
В некоторой массе т„вблизи границы, которая во время удара подверглась непосредственному воздействию поршня, состояние никогда не приближается к тому, которое диктуется автомодельным решением. По порядку величины эта масса равна массе газа, по которой пробегает ударная волна в течение самого удара: т, рс(/,т (/ П1рст. Скорость разлета в пустоту этой массы всегда остается конечной и равной по порядку величины (/, (Х/1 1/ П,Яс), тогда как в автомодельном решении скорость разлета границы газа бесконечна (при т — ~ О, П1-~- -~ оо и Х/, -~ со). Конечна в энтропия массы т„равная, в силу адиабатичности движения, начальной энтропии.
Действительно, о' = сг 1п рд т -'- -'- сопзп Величина рр т в массе тс по порядку величины равна П,д, т, т. е. ограничена при конечных т и П,. В автомодельном решении с у =- 7/5 по формулам (12.42) имеем ь 4 — /,„-т „з т з при т-+ О. Таким образом, масса т, у границы всегда несет отпечаток начальных условий и состояние ее не описывается автомодельным решением даже в пределе Г- со. Это положение вовсе не противоречит общей тенденции к превращению истинного решения в автомодельное в пределе ~ — 1 со. Масса тс с течением времени составляет все меньшую и меньшую долю от всей массы газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
