Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 168
Текст из файла (страница 168)
В задаче нет характерных параметров длины или времени. Е!ачальный радиус «поршни» не может служить масштабом для предельного двиясення в области, размеры ноторой очень малы по сравнению с ним. Единственным масштабом длины является сам переменный во времени радиус фронта ударной волны Л. Масштабом скорости являетсн меняю- ИН щаяся во времени скорость фронта — =.= Л = — Р. Поэтому естественно предш положить, что предельное движение будет автомодельным.
При этом заранее нет никаких оснований для определения показателя автомодельности а. Помимо начальной плотности ое, нет больше никаких видимых параметров, с помощью которых можно было бы построить автомодельную переменную. Конечно, энергия всего гааа, равная энергии, сообщенной газу поршнем, имеет вполне определенное значение. Однано в автомодельной области, размеры которой малы (порядка Л) и уменыпаются с течением времени по мере схождения волны к центру, сосредоточена лишь небольшая, и притом уменьгпающаяся со временем долл полной энергии *). Как будет показано ниже, энергия в автомодельной области, «) Предположение о равенстве нулю начального давления, т.
е. о том, что волна сильная, исключает нз задачи н параметр скорости — начальную скорость звука се, ноторен вместе с начальным давлением равна нулю. 619 ч в] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ радиус которой порядка В, а масса порядка 9»й», уменьшается с течением времени по степенному закону. Однако она уменыпается при  — » О медленнее, чем Л», вследствие усиления ударной волны и возрастания плотности энергии (давления). Из сказанного ясно, что автомодельное движение должно принадлежать ко второму типу.
В решение войдет некий параметр А, неизвестной заранее размерности„связанной с показателем автомодельности а ((А) = сз».сев-«; см. 3 2). Если показатель автомодельности, т. е. размерность А, найдется из самого предельного решения, то численное значение параметра А останется неопределенным. Оно зависит от начальных условий задачи, от движения всего газа в целом. Как уже было сказано, предельное, автомодельное решение справедливо только в области малых размеров порядка радиуса фронта и притом вблизи момента фокусировки ударной волны, когда этот радиус мал.
Если численно решать задачу о движении всего газа в целом при каких-то начальных условиях, обеспечивающих возникновение сходящейся ударной волны (задачу со «сферическим поршнем», совершающим толчок внутрь), то истинное решение в области с радиусом, который уменыпается пропорционально радиусу фронта, будет все более и более приближаться к предельному автомодельному решению. Вид предельного решения не зависит от начальных условий и характера движения газа на далеких расстоянинх, в частности, от закона движения поршня.
Однако предельное решение не полностью «забывает» о начальных условиях. Оно «забывает» о форме начального движения, но выбирает нз всей многообразной информации, предоставляемой начальными условиями, единственное число А, которое характеризует «интенснвность» начального толчка (более «сильному» толчку отвечает большее значение А).
Если сам вид предельного решения не зависит от начальных условий к движения газа на далеких расстояниях от центра, то характер приближения истинного решения к предельному, конечно, зависит от начальных условий. Чем ближе начальное движение к предельному, тем раньше выйдет истинное движение вблизи фронта на автомодельный режим. Однако этот выход рано или поздно обязательно произойдет, какими бы ни были начальные условия и движение на далеких расстояниях.
Итак, будем искать автомодельное решение аадачи о схождении и центру ударной волны. Эта интересная и важная задача была решена независимо Л. Д. Ландау и К. Л. Станюковичем [1) и Гудерлеем !3). $6. Основные уравнения За начало отсчета времени « = 0 примем момент фокусировки, когда .й =-= О. Тогда время до момента фокусировки оказывается отрицательным. В связи с этим определение автомодельной переменной следует несколько изменить, положив г г В=А( — 1)«, (12А 3) и А( — 6« Формально решение, которое мы ищем, охватывает все пространство. вплоть до бесконечности, так что интервалы изменения переменных таковы: — со < 8 < О," Л ~4 г < со; 1 < $ < СО (фактически автомодельное решение справедливо лишь в области с радиусом порядка В, а на болыпих расстояниях как-то смыкается с решением полной, неавтомодельной задачи).
620 пекотогые Автомодельпые пгоцессы В ГА30ВОЙ динвмике (Гл. хет На фронте ударной волны $ = 1. Скорость распространения фронта направлена к центру, т. е. отрицательна,/) ==- А = аЛ/( = — аЛ/((~ = О. Подставим в уравнения газовой динамики (12.1) решение в автомодельной форме (12.3). Система сводится к уравнениям (12.4), в которых т = 3, в соответствии со сферической симметрией движения.
Масштаб плотности в задаче постоянный, р, = сопз1 (в этом довольно очевидном утверждении мы убедимся при рассмотрении граничных условий на фронте ударной волны). Поэтому член ре/ре в первом из уравнений (12.4) исчезает и квадратная скобка обращается в нуль. Множители, зависящие от масштабов, в уравнениях (12.4) сводятся к следующим константам: Нг( а — 1 )т д "е 2(а — 1) — — —. — (1е й'-т/(е) = —— Ле а ' Л де 0 а Получим систему уравнений для представителей: (и — г) (1п д)'+и'+ — =О, й (а — 1) а го+(и — е) о'+я 'и'=О, (и — $) (1п яд — т) ' + 2 (а — 1) а ' = О.
(12.14у Х=ав— $3 После введения новых переменных система (12.14) приобретает вяд„ др д1ЕС +(У вЂ” а) „= — Зу, (г' — а) — + — + — = — — 2 — У ()' — 1), (12.15) др 2 д)цС 1 дг 2 д1а4 у д1вй у д1п$ у е) Систему уравнений газовой динамики (123) мепео записать в относительно функций о, и, св вместо р, и, р: д1вс д1цо ди и де дг де +.— — + — +(.—  — =о, ) (!2.1') д~ д дг В целях упрощения системы проделаем ряд преобразований. Перейдем к новым функциям — представителям Р, П, )', связанным со старыми я, я, о формулами (12.12) (можно, конечно, и с самого начала искать"' решение размерных уравнений (12.1) в виде (12.11).
Далее, введем вместо давления новую неизвестную функцию — квадрат скорости звука*) и соответственно перейдем к представителю квадрата скорости звука. В размерных переменных св = ур/О. В представлении (12,3) с' = = уАея/д= Л'г, где представитель г =уя/е. ге р гг В представлении (12.11), к которому мы перешли, с' = у —, — = — Х, Ее ~ ее где представитель 7=уР/С. Формулы (1212) дают связь между представителями г и с': 621 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ 1 71 Это есть система трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно трех неизвестных функций Г, С, 2 от независимой переменной $. Рассмотрим граничные условия.
На фронте ударной волны выполняются законы сохранения, которые в предельном случае сильной ударной волны дают известные соотношения между газодинамическими величинами за фронтом и скоростью фронта (см. формулы (1.111)): у+1 2 2 2 2у(у — 1) С>=рэ- 1; р>=-+,-В1)'; э,= +, 7); с,'= ( +,, г~. (12.16) у — у у у+ Подставляя сюда выражения размерных величин через представители (12.11) и имея в виду, что на фронте ударной волны г = Л, $ = 1, а также принимая во внимание, что 1): — 11 = аЛ>1, получим граничные условия для представителей: при $ = 1 Р(1) = а; С(1) =У вЂ”; Я(1) = У(У ) а2. (12,17) у+1 ' у — 1' (у+1)2 Отсюда, кстати сказать, непосредственно видно, что масштаб плотности не зависит от времени или радиуса фронта.
В противном случае невозмо>кно было бы удовлетворить услови>о с> = - оэ —— сопз1 на у+1 у — 1 фронте ударной волны. Представители подчиняются также условиям на бесконечности. Ь В момент фокусировки 1= 0 скорость, давление, скорость звука на любом конечном радиусе г ограничены. Но при 1 = О и конечном г $ =- ао. г 2 22 Чтобы при 1 = О и конечном г величины и = — К, с' = --Я были ограни> ' Рл ченными, необходимо, чтобы >' и Я обращались в нуль. Таким образом, получаем еще условие, которому должно удовлетворять решение: при $ = — ао Р(»=О; 2(»=О.
(12.18) Вообще говоря, граничных условий (12.17) достаточно для того, чтобы начать интегрирование уравнений (12.15) от точки э = 1 в сторону $ ) 1, задавшись каким-то значением числа а. Однако исследование уравнений, о котором речь пойдет в следующем параграфе, показывает, что получить однозначное решение и прийти в точку (12.18) нельзя при произвольном значении а.
Это оказывается возможным только при некотором избранном значении а, что и определяет выбор показателя автомодельности. э 7. Исследование уравнений Покажем, как находится показатель автомодельности при решении уравнений (12.15). Для этой цели следует прежде всего произвести исследование уравнений. Мы не будем здесь стремиться к математической строгости обоснований и приводить подробные выкладки. Остановимся только на наиболее важных принципиальных моментах, а также наметим основные пути решения задачи. При этом мы постараемся подчеркнуть некоторые особенности задачи, общие либо для всех автомодельных решений, либо для решений второго типа.
Ния>е мы следуем системе изложения, предло>кенной Н. А. Поповым, которому мы благодарны за ценные советы. 622 нккотогыг автогиодкльнын пвоцвссьг в газовой динамики (гл. хы При взгляде на систему уравнений (12.15) сразу же бросается в глаза, что переменная )п $, которую можно рассматривать как новую независимую переменную вместо Э, входит в систему только в виде дифференциала с()п 3. Точно так же только в виде дифференциала Ы 1п С входит и одна из искомых функций — С. Это свойство уравнений (12.15), характерное для любых автомодельных движений, позволяет свести систему трех дифференциальных уравнений к одному дифференциальному уравнению относительно переменных )г и Я и двум квадратурам э). В самом деле, разрешим систему (12.15) относительно производных д)г/Ы)п $, И )п СЫ 1п э, ЮЯ )п $.
Вместо того чтобы выписывать получающиеся весьма громоздкие выражения, запишем результат решении алгебраической системы в символической форме, через детерминанты Л Л,, Л)па Лз тх Лэ (12.19) л)п5 л а)п5= Л ' лы|= л ' где определитель системы Л равен $' — а 0~ 2 1 У У вЂ” = — 2+ (у — а)э. (у — 1) 2 — 1, (12. 20у 0 Детерминанты Л„Лз, Лэ получаются после замены соответствующих столбцов в детерминанте (12.20) правыми частями уравнений (12.15). Коэффициенты при производных и правые части в уравнениях (12.15) зависят только от )г и Я, но не аависят от С и $, так что все величины Л, Л„ Лз, Лэ являются функциями только У и Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
