Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 166
Текст из файла (страница 166)
В сферическом и цилиндрическом случаях это невозможно, так как радиус входит в уравнение непрерывности не только под знаком дифференциала. Уравнения газовой динамики содержат пять размерных величин: О, р, и, г, г, из которых три обладают независимой размерностью. Например, если выбрать в качестве основных размерных величин плотность, координату и время, то размерности скорости и давления представляются в виде (и! =- )г)/(Г); (р! = (О! (гг)/(зг!. В соответствии с существованием трех независимых размерных величин уравнения допускают три независимые группы преобразований подобия, которые свнзаны с произволом в выборе единиц измерения основных размерных величин.
1) Пусть функции д =- /, (г, з), р = /г (г, з) и и =- /з (г, ~) представляют собой решение уравнений для некоторого определенного движения, Изменим масштаб плотности, не меняя масштабы координаты и времени, без чего введем новые переменные д' = /зр, р' =- /зр, оставив остальные без изменения. При этом уравнения не изменятся. Если одновременно иаменить таким же образом начальные и граничные условия, увеличив плотность и давление в /з раз, то новое движение будет описываться функциями й = /з/з (г Г) р = /з/г (г, з), и = /з (г З). Новое движение подобно старому, отличаясь лишь масштабами плотности и давления.
2) Изменим масштаб длины, не меняя масштабы плотности и времени. Уравнения не, меняются, если перейти в них к новым переменным: г' =- тг, и' = ти, р' = т'р, оставив остальные, д и з, без изменения: о' = р, =- з. Это значит, что если какое-то движение описывается функциями р = /з (г, Г), р = /г (г, Г), и = /з (г, з), то путем простого изменения масштабов можно описать и новое движение, в котором расстояния и скорости увеличены в т раз, а давление увеличено в т'раз (плотность остается неизменной). Решением для нового движения являются функции: О'=Яг', Г), Р'=т'/г(г' З), и'=т/з(г' Г).
3) Наконец, изменим масштаб времени, не меняя масштабы длины п плотности. Уравнения допускают преобразование: Это значит, что если в начальных и граничных условиях уменьшить скорости в п раз, а давление в и' раз, оставив плотность неизменной, то 39» 612 пвкотогыв ьвтомодкльнык пгоцвссы в газовой динамики (гл. хп новый процесс будет подобен старому, на только будет протекать в и раз медленнее. Путем последовательного применения трех групп преобразований подобия можно получить решения для бесчисленного множества новых движений с измененными масштабами плотности, длины и времени.
В частности, если одновременно растянуть длину и время в одинаковое число раз г/ =- /г, 8' =- И, то решение останется неизменным. Такое преобразование эквивалентно последовательному применению преобразований 2) и 3) с т = п = 1. В символической форме это можно записать так: и(г, 8) — » 1и(1г, «) — » —.1и(1г, П) = и(1г, П) 1 и аналогично для других функий, о и р. 5 2. Автомодельные движения В предыдущем параграфе было показано, что уравнения газовой динамики допускают преобразования подобия, т.
е. возможны различные движения, которые подобны друг другу и могут быть получены друг из друга путем иаменения основных масштабов длины, времени и плотности. Что же касается данного движения, то оно может описываться самыми рааличными функциями двух переменных г и 1: о (г, /), р (г, /), и (г, Г), включающими в себя также параметры, которые входят в начальные и граничные условия аадачи (и покааатель адиабаты у). Существуют, однако, такие движения, отличительным свойством которых является подобие, сохраняющееся в самом движении. Такие движения называются автомодельными. Распределение любой из газодинамических величин по координате, скажем, давления р, в автомодельном движении эволюционирует со временем таким образом, что изменяются только масштаб давления П (/) и координатный масштаб области, охваченной движением /Г (/), но остается неизменной форма профиля давления. Путем растяжения и сокращения масштабов П и Л можно добиться точного совпадения кривых р (г), отвечающих различным моментам времени «.
Функцию р (г, «) можно представить в виде р (г, г) = П («) я (г/Л), где размерные масштабы П и Л как-то зависят от времени, а безразмерное отношение р/П = я (г/В) является «универсальной» (в смысле независимости от времени) функцией вовой, безразмерной, координаты $ = г/Л. Растягивая и сокращая масштабы П и Л в соответствии с их зависимостью от времени, можно из «универсальной» функции я Я) получить истинную кривую распределения давления по координате р (г) для любого момента времени «. Аналогичным образом выражаются и другие газодинамические величины: плотность и скорость.
Для автомодельпых движений система уравнений газовой динамики з частных проиаэодных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно новых неиавестных функций автомодельной переменной з = г/Л. Выведем эти уравнения. Для этого представим решение уравнений в частных производных (12.1) в виде произведений масштабных функций на новые неизвестные функции новой, автомодельной, переменной — /) = /) (1). (12.2) Масштабы давления, плотности, скорости, длины не все независимы между собою. Если выбрать в качестве основных масштабы длины Л б13 Ф г1 Автомодельные движкпия и плотности Ео, то в качестве масштаба скорости мол<но взять величину он — не А, а в качестве масштаба давления ЕоЛ . Это не нарушает общности, о масштаб определяется с точностью до численного коэффициента, который всегда можно включить в новую неизвестную функцию. Будем искать решение в виде Р=ВЛ'Я($), Е=Еобй), и=Лоб), (12.
3) где я, д, и — новые, безразмерные функции автомодельной переменной $, для которых и следует составить дифференциальные уравнения. Зги функции иногда называют представителями давления, плотности и скорости соответственно. Масштабы г(, Ео, Л как-то зависят от времени, пока неизвестным образом. Подставим выражения (12.3) в уравнения (12.1), примем во внимание определение автомодельной переменной (12.2) и воспользуемся правилами дифференцирования типа: ~е 'ео Ф г И ° к д ло б Ео йз Ж но Еоб Е~б~ В де еаза' (дифференцирование масштабов по времени будем обозначать точкой, а дифференцирование представителей по автомодельной переменной— штрихом).
В результате после простых преобрааованнй получим уравнения: е' + — ( и'+(и — $) (1пд)'+(т — 1) — 1 = О, — и+(и — ~) и'+ — = О, ВВ Я' Во л — „— (1п Е'- йо)+( — 4) ()н Яд- )'= О. д ы оо о (12. 4) Я = Аго. (12.5) Здесь А и а — некоторые постоянные (А — размерная, а — число). В первом уравнении (12.4) надо полоясить — =сопзФ вЂ”, что дает ео и ео е,= вгз, (12.6) где В и р — также постоянные. Первый член в третьем уравнении (12.4) при этом превращается в константу автоматически.
Для того чтобы представление (12.3) имело смысл и можно было написать дифференциальные уравнения для новых неизвестных функций я(з), б($), и($), необходимо, чтобы переменные г и $ в уравнениях (12.4) разделились. Для этого во втором из уравнений следует положить ВЛ/Но = =совзз, откуда (при сопзо~1) 014 некОтОРые АВтОмОДельные пРОЦессы В ГА30ВОЙ ДинАмике 1гл, х11 Таким образом, все масштабы в автомодельном движении зависят от Времени по степенным законам, а автомодельная переменная имеет вид*) г Г (12.7) Я Ага Уравнения (12.4) превращаются теперь в систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно трех неизвестных функций я (з), д Я), 1~ (ь). В систему входит показатели степеней: постоянные числа а и р. Аналогичным путем преобразуются к безразмерной форме и начальные и граничные условия задачи, которые превращаются в условия для функций л, д, н.
Не будем здесь выписывать систему уравнений в общем виде. Уравнения будут записаны в дальневшем применительно н конкретным задачам. Во многих движениях масштаб плотности рс является постоянным (показатель р — — О). Это имеет место, например, во всех случаях, когда ударная волна (или волна разрежения) распространяетсн по исходному газу постоянной плотности. Показатель р обычно отличается от нуля в тех задачах, в которых плотность исходного газа распределена в пространстве по степенному закону типа р„= сопз1 гс. В этих случаях показатель р определнется через известный показатель 6 и а (при Ь = 0 р = — О).
Таким образом, в систему уравнений дли функций л, д, г (и в граничные условия) входит только один новый параметр: показатель автомодельности а. Показатели степеней в масштабных функциях однозначным образом связаны с показателями а и () (т. е. а и Ь). Например, в случае, когда масштаб плотности — постоннный (р == О, рс = сопз1), В 1а, В га-1 П = рсВт 111а-11 Поскольку масштаб длины Л однозначным образом связан со временем, масштабы скорости, плотности и давления моясно считать функциями не времени, а масштаба длины Л; с помощью соотношении Л найдем: а-1 й ю 1а-1 Л а, гр Ла Р+З(а-1) П-оаВ'-1Р+' -' -В Из выражений для масштаба плотности дс тз ВЗ1' и закона распределения начальной плотности в пространстве рсс = сопз1 гс видно, что рр = Оаа (Л); например, масштабом плотности рс служит начальная плотность газа в точке, где находится ударная волна в момент 1 (лт'— координата фронта ударной волны).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
