Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 167
Текст из файла (страница 167)
Отсюда следует упоминавшаяся выше связь показателей р и 61 р = аб. *) Как заметил К. П. Станюкович (1), кроме степеннбй, возможна еще и экспоненцпальная автсмсдельнссть, при которой Л = А'еГа1, ос = В'еа1, с = ге Ю'/А ', где А', В', т, и — константы. Экспсненциальнсе решение удовлетворяет уравнению НВ~Н' =- сонат при саазг = 1, В большинстве практически интересных задач автомсдельнссть имеет степеннбй характер. 615 УСЛОВИЯ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ ДВИЖЕНИЯ При р = — О, Е, = сопв1 функции р, Е н и по формулам (12.3) можно записать в любой из эквивалентных форм: р= сопв1та(а — мя ($) = сова! Д а я (В), а-1 и= совет/а — 'и(в) =сопво!! " О(в), Е = сопво у (в).
(12.8) й 3. Условия автомодельности движения Естественно поставить вопрос: каким требованиям должны удовлетворять условия задачи, чтобы двин'ение было автомодельпымо Для ответа на этот вопрос следует привлечь соображения размерности. Уравнения газовой динамики (12.1) помимо переменных функций р, и и независимых переменных г, г не содержат никаких размерных параметров (единственный параметр у — безразмерный).
Размерные параметры входят в начальные и граничные условия задачи. Это и дает возможность построить функции р (г, о), е (г, г), нбо все пять переменных, р, Е, и, г, г, имеют различные размерности, причем три из них — независимые. Поскольку в размерности давления и плотности входит символ массы, по крайней мере в одном пз параметров задачи также должен содержаться символ массы.
Во многих случаях это — постоянная начальная плотность газа ео в г см '. В ряде задач начальная плотность распределена в пространстве по степеннбму закону Еоо = бго. Тогда это — параметр Ь, с размерностью [6! .= г см о о. Обозначим параметр, содержащий символ массы, через а. В самом общем случае его размерность есть [а! = г.см"сек". Имен в виду размерности функций: [р! = г см-'сек-', [Е! =.= г см-', [и! = см сек-г, можно, не нарушая общности, представить их в форме, предложенной Л. И.
Седовым [2[: Р, гоопооо а (12.9) где Р, С, У вЂ” безразмерные функции независимых переменных, которые зависят от безразмерных комбинаций, содержащих г, г и параметры задачи. В общем случае безразмерных переменных — две: г/го и г/8о, где го и го — параметры с размерностями длины и времени, которые либо непосредственно входят в условия задачи, либо могут быть составлены путем комбинации параметров других размерностей. Функции Р, 6, У при этом зависят от г и 1 раздельно и задача не является автомодельной.
Можно привести множество примеров подобных движений. Соптлемся на один: задачу о волне разрежении, которая возникает, когда иа газа выдвигается поршень с переменной скоростью ио — — г/ (1 — е-и') (см. в 10 гл. 1). В этом примере роль параметра а играет постоянная начальная плотность газа Ео. Кроме того, в задачу входят размерные параметры [т! = сек; [Г/! = см сек-' и начальная скорость звука [с ! =.- см сек-' ( ':= ) или начальное давление р;, с,' = у — ) . Беэразмерными переменными Ро ~ Ео) ' могут служить, например, г/т и г/сот или г/г/т (го = сот или с'т). Если иа параметров задачи нельзя составить масвггабов длины и времени, то переменные г и г не могут входить в функции Р, С, !г раздельно; 616 некОтОРые АВтомодельные НРОцессы В ГАЗОВОЙ динАмике игл.
хн функции могут зависеть только от безразмерной комбинации, составленной из г и г, $ = г/А/о, где А — некий параметр размерности (А] =- = си сек-". Выражения (12.9) приобретают Вид р= „,',„,,Р6); а=-,—,—,, С(В)) = " т (р, (1210) В этом случае задача автомодельна и выражения (12.10) эквивалентны выражениям (12.3), отличаясь от последних только формой функций— представителей. Продемонстрируем это на примере автомодельных движений с постоянным масштабом плотности.
Прн этом а = Ою й = — 3, з = О, так что выражения (12.10) принимают такой вид: р=-Π—,, Р(ч), й=йзСЯ), и= —,КЯ), (12.1!) Подставляя сюда г = $Л и замечая, что Л = ОЛ/г, найдем, что формулы (12.11) и (12.3) эквивалентны, если Р (В) = аз — ' -,—; С (ч) = д (з); Р Я) =- а — . (12,12) Изучение автомодельных движений представляет большой интерес. Возможность сведения системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений длн новых функцнй— представителей, чрезвычайно упрощает аадачу с математической точки зрения и в ряде случаев позволяет находить точные аналитические решения.
Кроме того, часто автомодельные решения представляют собой те пределы, к которым асимптотически стремятся решения неавтомодельных аадач. В дальнейшем это положение будет пояснено при рассмотрении конкретньгх задач. 3 4. Два типа автомодельных решений Существует два резко отличных типа автомодельных решений. Решения первого типа обладают тем свойством, что показатель автомодельности а, а вместе с ним показатели степеней при гили Л во всех масппабах, определяются из соображений размерности или из законов сохранения. Показатели степеней при этом являются дробями с целочисленными числителями и знаменателями.
В задачах этого типа всегда имеется два параметра с неаависимой размерностью. Из этих параметров составляется параметр, размерность которого содержит символ массы, а (см. формулу (12АО)), и другой параметр А, который содержит только символы длины и времени. С помощью второго параметра А и можно построить безразмерную комбинацию — автомодельную переменную В = г/Аг". Размерность параметра А — см сек-з определяет показатель автомодельности а. Два движения такого типа рассматривались в гл.
1: задача об автомодельной волне разрежения (з 11) и задача о сильном взрыве (з 25). В первом случае двумя независимыми размерными параметрами являются начальные плотность и давление газа дз и р,. Из них можно составить размерный параметр, не содержащий символа массы: начальную скорость звука с, = (ур,/О,)нк Роль параметра А играет скорость звука сз. Соответственно 617 ДВА ТИПА АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 5 4] В задаче о сильном взрыве параметрами служат начальная плотность газа дг г см-' и энергия взрыва Е г см'сек-', которой всегда равна полная энергия газа, охваченного движением, благодаря чему в задаче появлнется интеграл энергии.
(Напоминаем, что в задаче о сильном взрыве начальные давление и скорость звука рг, сг предполагаются равными нулю, т. о. эти величины не являются параметрами задачи.) Иа параметров дг и Е составляется параметр, не содержащий массы Л = — (Е/ое)пг см сек-'!4, так что автомодельная переменная есть $ = г/(Е/о„)'/4йпе; о, 2 При сильном взрыве в среде с переменной начальной плотностью ргг = бгг параметрами служат энергия взрыва Е г смз сек-' н коэффициент Ь г см з '.
Из них можно составить параметр А, не содержащий массы, А=(- — ' / +~ см сек + Автомодельяа44 переменная имеет вкд 1 3 / ( о' ) ь-~-Е ~ 5+б . 2 а= —. 5 -(- б ' (Автомодел ьная аадача о взрыве в среде с переменной плотностью р ассматривал ась Л . И .
Седовым ( 2 ) . ) К этому же типу принадлежит и авто- модельная задача о распространении тепл ов ой волны от места, где выделилось определенное количество энергии (см . гл . Х ). Как было показано в з 2, показатель автомодельности входит в систему дифференциальных уравнений для представителей в качестве параметра. Поскольку в автомодельных аадачах рассматриваемого типа число а находится сразу же из соображений размерности (или законов сохранения ), дело сводится к интегрированию системы уравнений с известными граничными условиями. В автомодельных задачах второго типа показатель степени а нельзя найти иа соображений размерности или законов сохранения без решения уравнений.
В этом случае само определение показателя автомодельности требует интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений для функций — представителей. Оказывается, что показатель находится из условия, чтобы интегральная кривая проходила череа особую точку, без чего не удается удовлетворить граничным условиям.
Примерами автомодельных движений второго типа могут служить известные задачи о схождении ударной волны к центру или о кратковременном ударе, о которых речь пойдет ниже. Рассмотрение решений конкретных задач, принадлежащих ко второму типу, показывает, что во всех этих случаях в исходных условиях задачи имеется только один размерный параметр, содержащий символ массы, и отсутствует второй, с помощью которого можно было бы образовать параметр А. Это и лигпает нас возможности установить число а по размерности параметра А.
На самом деле задаче, конечно, свойствен некий размерный параметр А см сек-г; в противном случае невоаможно было бы составить безразмерную комбинацию Е = г/Аге. Однако размерность этого параметра (т. е. число а) не диктуется исходными условиями задачи, а сама находитсн из решения уравнения. Численное значение параметра А нельзя найти из уравнений автомодельного движения. 61б нвкотогык лвтомоднльныв пэоцнссы в газовой динамика игл. хп Его можно определить только зная, как возникло данное движение. '1ак, например, если автомодельное движение возникло в результате какого-то неавтомодельного течения, которое асимптотически вышло на автомодельный режим, то величину А можно найти только путем численного решения полной, неавтомодельной задачи, когда прослеживается сам процесс перехода неавтомодельного движения в автомодельное.
Подробнее эти положения будут разъяснены при рассмотрении конкретных задач. Автомодельные движения первого типа, в которых показатель автомодельности определяется из соображений размерности, подробно исследовал Л. И. Седов. Поскольку уже имеется книга Л. И. Седова !21, в которой дано исчерпывающее описание этих движений и решение ряда конкретных задач, мы в этой главе не будем останавливатьсн на автомодельных движениях первого типа и займемся изучением движений только второго типа. 2. СХОЖДЕНИЕ К ЦЕНТРУ СФЕРИЧЕСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ И ЗАХЛОПЫВАНИЕ ПУЗЫРЬКОВ В ЖИДКОСТИ 5 5. Постановка задачи о сходящейся ударной волне Представим себе сферичесни-симметричное движение, в котором но газу постоянной начальной плотности ое и нулевого давления к центру симметрии идет сильная ударная волна.
Не будем заниматься причинами возникновении ударной волны. Волна могла быть создана, например, «сферическим поршнем», который толкнул газ внутрь, сообщив ему некоторое количество энергии. По мере схождения ударной волны к центру происходит концентрирование энергии на фронте 1кумуляция), и волна усиливается. Будем интересоватьсн движением газа на малых расстояниях от центра (скажем, малых по сравнению с начальным радиусом «поршня»). В моменты, близкие к моменту фокусировки, и на малых радиусах движение, надо полагать, в значительной мере (в какой, будет сказано ниже) «чабывает» о начальных условиях н вг«ходит на некий предельный режим, который и надлежит найти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
