Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 156
Текст из файла (страница 156)
Неравенство диагональных элементов тензора напряжений связано с тем, что в действительности деформация не является всесторонним сжатием (растяжением) и содержит в себе элемент сдвига. Это проявляется в явной форме, если перейти к другой системе координат или, что то же самое, рассмотреть силы, действующие на наклонные к оси стержня площадки. При этом сразу же становится ясным, что на наклонные площадки действуют касательные напряяеения, что и свидетельствует о существовании сдвиговых деформаций. Вычислим касательное напряжение, действующее на площадку, наклоненную к направлению действия внешнего давления под углом 45' (рис.
11.30). Для простоты рассмотрим не цилиндрический стержень, а плоский слой, бесконечный в направлении у и зажатый сбоку так, что в направлении х смещений нет. В системе координат х, у, з имеются напряжения О„и а„„= О . Чтобы найти касательное напряжение, действующее на плоскость АВ, введем новую систему координат х'р'з', повернутую 574 [гл, хт удАРные Волны В тВВРдых телАх относительно старой вокруг оси у (оси у и у' совпадают).
По правилу преобразования тензоров при повороте системы координат найдем о з о 1 о„, = о„соз»45 — о,„соз'45 = — (о„— о„„). 2 Это есть касательное напряжение, действующее в направлении оси х' на площадку АВ, нормаль к которой направлена вдоль оси з', э 15. Переход твердого тела в текучее состояние Одним иа характерных свойств твердого тела, отличающим его от жидкости, является устойчивость формы твердого тела, сопротивляемость по отношению к сдвигу. В нтидкости отсутствует сопротивление по отношению к сдвигу, жидкость с легкостью принимает любую форму, лишь бы при этом не менялся ее объем (плотность).
Касательные, сдвиговые напряжения в жидкости отсутствуют в статическом состоянии *). Жидкость характеризуется нулевым модулем сдвига С = О. Формально при С = О коэффициент Пуассона по формуле (11.53) равен о = '1а. Тензор напрян<ений при атом в любой системе координат диагонален, причем все три нормальные компоненты его одинаковы и равны егидростатическому» давлению, которое «изотропно». упругие свойства жидкости характеризуются только ее сжимаемостью или модулем всестороннего сжатия. Известно, что при достаточно больших нагрузках, не сводящихся к всестороннему сжатию, твердое тело меняет свои упругие свойства и становится пластичным, текучим, в некотором отношении подобным яоадкости. Текучее состояние твердого тела характеризуется не полным отсутствием касательных напряжений, как в жидкости, но отсутствием возрастания касательных напряжений при возрастании сдвиговых деформаций.
Начиная с некоторых критических сдвиговых деформаций и напряжений, твердое тело перестает сопротивляться дальнейшему увеличению сдвига. Выше модуль сдвига С был определен как коэффициент пропорциональности между касательным напряжением при чистом сдвиге и сдвиговой деформацией (см. формулу (11.52)). В силу линейности зависимости напря»кения и деформации при этом одновременно пропорциональны и приращения деформации и напряжения: о„,=СО, сЬ„,=СТО (при чистом сдвиге на угол О, каи показано на рис. 11.29). В текучем состоянии твердого тела, после того как сдвиг О и напрян<ение о„, станут больше критических Оер, о„р, дальнейший рост напряжения при увеличении деформации прекращается (или резко замедляется). Это иллюстрируется диаграммой оаа (9) рис.
11.31. Если формально определить модуль сдвига в этом состоянии как коэффициент пропорциональности между приращениями Но„, и Ю, но не между самимн величинами о„, и О, то его следует положить равным нулю. Рассмотрим одностороннее сжатие нетекучего и текучего тел. Пусть тело цилиндрической формы заключено в цилиндрический сосуд с жест- *) Они возникают только з момент изменения формы и зааисят не от самих деформаций, а от скорости их изменения. ПЕРЕХОД ТВЕРДОГО ТЕЛА В ТЕКУЧЕЕ СОСТОЯНИЕ 575 кими стенками и сжимается поршнем вдоль оси (рис. 11.32). Изо- бразим схематически, как меннется при атом расположение атомов тела (рис.
11.33). Решетку считаем для простоты кубической. Если тело нетекучее, то межатомные расстояния в направлении оси сокращаются, а в поперечных направлениях остаются неизменными; при этом — еле атомы остаются на «своих местах». Это показано на рис. 11.33, б. Если же тело текучее, то сокращаются все л межатомные расстояния, происходит перестройка решетки, такое перераспределение атомов, что решетка и в сжатом состоянии остается кубической (рис. 11.33, в). Для наглядности «атомы» на рис. 11.33 перенумерованы *). Первый случай (рис. 11.33, 6) содержит в себе элемент сдвига. Действительно, в недеформированном состоянии (рис. 11.33, а) проекция атома 2 на наклонную плоскость АВ, проходящую через атомы 1 — 6 двух соседних горизонтальных рядов, лоя«итси в точку С, Ю„ В находЯЩУи>сп иа С~Релин~ ~~Р~зк~ АВ.
ПРи рис 11З1 д„н ~, „, дефоРмации нетекУчего тела (Рис. 11.33, б) сагал»кое ' напряжепие— точка С сдвигается ближе к точке В. Наклон- угол сдвига. ные ряды атомов сдвигаются но отношению друг к другу: верхний ряд 2 — 7 — 12 сдвигается по отношению к ниж- нему ряду 1 — 6 — 17 вправо н вниз. При деформации же текучего тела решетка по-прежнему кубическая, проекция атома 6 на наклонную плоскость АВ, проходящую через атомы 1 — 18, точка С, как и в недеформированном состоянии, лежит посередине отрезка АВ. Наклонные ряды атомов 6 — 10 и 1 — 18 не сдвинуты по отношению друг к другу, как и в недеформированном состоянии.
При деформации тело приобретает упругую энергию за счет работы внешних сил, производящих деформацию. Если тело нетекучее, эта энергия связана как с изменением объема, так и со сдвигом. При даннои объеме упругая энергия мини| мальна, если сжатие всестороннее и сдвиговых ф деформаций нет. Поэтоиу при одностороннем си<а,;;4 тии нетекучего тела до данного объема тело находится в неравновесном состоянии. Равновесное состояние при данном объеме соответствовало бы всестороннему сжатию, т. е.
перестроенной кристаллической решетке. Для перестройки решетки нужна «энергия активации», атомам нунсио преодолеть потенциальные барьеры е*). При небольших нагрузках пере- стройки не происходит, твердое тело ведет себя по отношению к дефор- мации как нетекучее. Рис. 11.32. Схема одностороннего сжатия стержня. *) Не следует, конечно, думать, что перемещение определенных атомов происходит именно так, как показано па рис. 11.ЗЗ. ««) Возможно, перестройка связана с макроскопичсским раздроблением частиц тела, 576 (гл. хт удАРные волны в твердых телАх Однако при достаточно больших нагрузках твердое тело утрачивает свою «жесткость», нетекучесть и уподобляется жидкости, т. е. приобретает способность перестраиваться таким образом, чтобы знергия его при данном объеме была минимальной.
В частности, при одностороннем сжатии тела зто случается, когда касательное напряятение в плоскости, наклоненной под углом 45' к навравлению сжимающего усилия сх, (см, конец предыдущего параграфа), превьппает предел — критическое напряжение сдвига а„р. Замечая, что 1 1 1 — 2с пхяг = (вты Пхх) = Пвв = 2 2 1 — а 1 1 — 2о 21 — сР' найдем критическую сжимающую нагрузку р„р, выше которой происходит переход тела в текучее состояние: 1 — о ркр = — — 2пкр. 1 — 2с (11.56) Ряс.
11.33. Схема, вллюстрк рующая деформацию ветеку чего (е) в текучего (в) тел а — ведеформвровакяее со стояние. =, К+ а) — —, — * — *=й+ — 6'. 4 ~ Лг. в(ов» 4 3 ) Г, ' Г(Л1,)Г) 3 По формулам (11.50), (11.53) при атом 2 '~ ЛГ, Лохх =„=(~К вЂ” а) — —, — "" — -=К вЂ” --Б; — р«, 3 ) С Л (ЛЬ)Ь) 3 Л7, Лох в нхея = 2 (ою Охх) = "'т 1 я (Лгф) После того как нагрузка достигла критической величины, положим в формулах для производных от напряжений (но не в формулах для самих В отличие от термодинамнческих констант вещества (модуля Юнга или сжилтаемости), критическое напряжение сдвига, как величина, характеризующая прочность, д,а ° ° ° сильно зависит от обработки металла, кри- » к ', месей и т. д.
Для железа примерно а„р —— 4) « '(' 'ав 1 « = — 600 ЕГ)см», р„= 1900 ЕГ7см«. Рассмотрим одностороннее сжатие тела 'х 'в х в направлении г под действием сжимающего усилия р. В поперечных направлениях г, у деформаций нет (стержень зажат сбоку). Будем формально описывать переход из не- текучего в текучее состояние, полагая в законе пропорциональности между приращениями напряжения и деформации модуль сдвига равным нулю при нагрузках, превышающих критическую. По формулам (11.48), (11.55) или р = а„( р„р ско~~~~ь Рлспрострлнкння лкустичкских волн 577 % 1В) напряжений) (р = О.
Получим при р ) р„рс 7(сь//.) цдцб) ' л(д/.//.) = . (11.57) Нормальные напряжения о„, о„„, орр растут теперь одинаково в соответствии с модулем всестороннего сжатия (при одностороннем сясатии Лд /Ь = Л)к/У). Касательное папряжение в наклонной плоскости остается неизменным и равным о,з = авр (крсс к'ЛЬ ! сула-Ф тическая йдеформация равна ( -- ) кр о — — Диаграмма напряжение — део„р с ! ! с./ ! формация изображена на рис. 11.34. ! При нагрузках меньших критической и порядка критической окк ~ о„„сдавление» имеет существенно негидростати! Кр ческий характер.
В пределе, когда на~як) Ж. грузки достаточно велики, р )> р„р, от- ( с/кр носительная разность (а„— о„к) /акв =- =- 2овр/азв — » О, т. е. все три нормальных напряжения становятся почти одинаковыми. Касательное напряжение о„, = акр становится малым по сравнению с нормальным. Оно остается постоянным или ясе медленно возрастает, гораздо медленнее, чем раньше. Рис. 11.34.
Диаграмма 'капряжеиие — деформация для одиостороииего сжатия тела. й 16. Скорость распространения акустических воли и р (11.58) «) Такая постановка задачи акалогичиа задаче о порщке, рассматриваемой в газодиизмике (см. гл. )), *«) В динамическом процессе, который лротекает адизбатически, модуль Юнга несколько отличается от употребляемого з статике и соответствующего изотермиче- 37 я. в. зельдович, ю. и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
