Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 155
Текст из файла (страница 155)
Таким способом в работе [1! была получена кривая холодной сжимаемости железа (она изображена на рис. 11.2 в з 2). В работе [5! была найдена кривая холодного сжатия хлористого натрия. Сопоставление с выражениями для сил отталкивания в ионных кристаллах позволило определить входящие в эти формулы параметры, характеризующие силы взаимодействия. Метод вычисления температуры па ударной адиабате в волнах сравнительно низкой амплитуды, когда тепловые члены малы по сравнению с упругими, а ударная адиабата близко совпадает с кривой холодного ся<атия, описан в работе [22! (электронные члены при этом, естественно, не учитываются). Для аналитического описания ударной адиабаты и кривой холодного сжатия вещества рл ([т) часто пользуются интерполяционними формулами различного типа.
Для этого задаются функциями определенного вида, содержащими несколько параметров, которые определяют с помощью тех или иных опытных данных. Примером моя<ет служить широко распространенная формула рл = А [([то/У)" — 1), содержащая два параметра, Л и и. В работе [5! при исследовании хлористого натрия кривая рл ()т) получалась в аналитической форме путем использования степенного или ш<споненциального представления для сил отталкивания в ионных кри- «) В ряде случаев была использовала кесколько акая сияаь между 'фуикцкямк Г (У) к Р„(У), которая дается формулой Дутдала — Макдональда [27 [. 570 1гл.
хз УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ сталлах. Входящие в выражение константы определялись путем сравнения с данными по динамической сжимаемости. С. В. Кормер и В. Д. Урлин [14! построили интерполяциопную формулу для кривой холодного сжатия в виде 6 и ( Уоч ) Коэффициенты а„определялись без привлечения опытных данных по ударному сжатию только из условий связи коэффициентов с известными параметрами нормального состояния (сжимаемостью, коэффициентом Грюнайзена и др.) и условия, чтобы при больших давлениях кривая смыкалась с зависимостью, следующей из модели Томаса — Ферми— Дирака.
При этом получилось хорошее совпадение с кривыми рз (У), извлеченными иэ опыта* ). 3. АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ И РАСЩЕПЛЕНИЕ ВОЛН й 14. Статическая деформация твердого тела Выше, при изучении ударного сжатия твердых тел, всегда предполагалось, что давление в сжатом веществе изотропно, имеет гидростатический характер, как в жидкости или газе. Увеличение плотности рассматривалось при этом как результат всестороннего сязатия вещества. Соответственно, упругие свойства вещества характеризовались одной-един- 1 Гдк'~ ственной величиной, сжимаемостью х = — — [ — ), которая опре, [,др,)з деляла скорость распространения акустических волн сжатии (н разрежения) — скорость «звукаш "=г' [ (эг.) =у' Так можно поступать только в том случае, когда давления достаточно велики, и эффекты, связанные с прочностью твердых тел и существованием сдвиговых деформаций и напряжений, не играют роли. Ясли нагрузки малы, необходимо принимать во внимание упругостные свойства твердого тела, отличающие его от жидкости.
Это существенным образом влияет на характер динамических процессов и, в частности, на распространение упругих волн сжатия и разрежения. Так, оказывается, что в твердом теле акустические волны могут распространяться с различными укоростями, в зависимости от конкретных условий. Прежде чем рассматривать эти динамические явления, посмотрим, как ведет себя твердое тело при статических нагрузках. При этом считаем, что деформации и нагрузки малы, так что справедлива линейная теория упругости.
Состояние деформированного тела описывается двумя тензорами: тензором деформаций и тензором напряжений. В дальнейшем мы остановимся только на нескольких простейших случаях однородных деформаций (когда каждый элемент тела деформирован одинаковым образом), *) В дальнейшем С. Б.
Кормер, В. Д. Урлпз я Л. Т. Попова [15[ усовершепстзовалн этот метод, добавив к ряду еще один член с использованием одной экспериментальной точки па ударпой адпабете. Получилось очень хорошее совпадение с экспервмептальпыми кривыми. СТАТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 571 р с„ ь е я (И.46) Рис. 11.28. Схема сжатия стержня где Š— модуль [Онга (это есть определение модуля Инга). Относительное утолщение стержня пропорционально относительному укорочению: йс Дс — =- — а — —, (И. 47) где а — коэффициент Пуассона.
Коэффициент Пуассона всегда положителен и меньше 1/2. Зто следует из того, что при сжатии стержня последний становится толще, причем объем его может при этом только сократиться, но не увеличиться Лх 1ЛЬ (при неизиенном объеме УЛ = сопя[, — = — ††, а = -- ). Е 2 й ' 2 2.
Пусть боковая поверхность стержня зажата таким образом, что при осевом снгатии стержень не может деформироваться в поперечном *) См, сб этом, например, в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [28[. которые характеризуются простыми и наглядными величинами.
Поэтому не будем вводить тензор деформации в общем виде *). Компонента тензора напряжений оым где индексы > и й Обозначают координатные направления х, р, я, представляет собой проекцию на >-ю ось силы, которая действует на единичную площадку в теле с направлением нормали вдоль оси й.
Компоненты Охх~пэю охг представлЯют с060Й нормаль- и ные напряжения, пх„, — касательные или сдвиговые (рис. И.27). 'ГенЗОР О>Л СИММЕТРИЧЕН, т. Е. ах, = О,„, а„= О,Л, Ох„= Оах. [Пхх ж Рассмотрим несколько примеров деформаций. У 1. Представим себе цилиндрический й стержень длины А и диаметра И,к торцам и которого приложено сжимающее усилие— у давление р, Ось г направим вдоль оси стержня, как показано на рис. И.28. Боковую поверхность стержня предполагаем х свободной. Под действием нагрузки стержень укорачивается на длину ДА, И утОЛ- Рис.
11.27. Схема, иллюстрирующается (диаметр увеличивается на д~[). шля смысл лсяпсйснт тенэсра на- В данном случае отлично от нуля пряжений. только нормальное напряжение в осевом направлении охю которое равно внешнему давлению о„= р. Нормальные напрнжения в поперечных направлениях ах„, п„„отсутствуют, так как боковая поверхность стержня свободна и ничто не препятствует стержню расширяться в атом направлении. Касательные или сдвиговые напряжения пхю охю цэ, в выбранной системе координат также равны нулю, что очевидно. По закону Рука при малых деформациях относительное укорочение стержня пропорционально приложенному усилию: 572 1гл.
Х> РДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ направлении (стержень помещен в гильзу с жесткими стенками). При атом возникают нормальные напряжения в поперечном направлении а„= а»ю которые как раз уравновешивают внешнее боковое усилие, действующее со стороны стенок гильаы. Нормальное осевое напряжение а„по-прея<нему равно внешнему сжимающему давлению р. В теории упругости доказывается, что относительное укорочоние стерясня при односторонней, осевой деформации связано с внешним давлением соотношением, аналогичным 91.40): Лб р о„ >: Ь' Е> (И.48) где (1+ о) (1 — 2о) (И. 49) Величина Е' всегда больше, чем модуль Юнга Е: чтобы укоротить стержень, зажатый сбоку так же, как и свободный, необходимо приложить к нему большее сжимающее усилие.
Нормальные напряжения в поперочных направлениях равны а о ои„= а,„= а„= — — р. (И.50) 1 — о 1 — о Касательные напряжения в выбранной системе координат отсутствуют. Все соотношения в рассмотренных двух примерах справедливы и в случае Рис. 11.29. Деформа- растяжения стержня. цин чистого сдвига 3. При всестороннем сжатии (и расширении) з одномнапРавлении тело пеняет объем, сохраняя свою форму, т. е. остается подобным самому себе. Чтобы осуществить всестороннее сжатие, к поверхности тела нужно приложить постоянное давление.
Тензор напряжения при всестороннем сжатии диагонален (о„« — — а„„= о»а = О); все три нормальные компоненты одинаковы и равны давлейию. Зто имеет место при любом выборе системы координат. «Давление» в теле в атом случае «изотропно» и имеет гцдростатический характер, как в жидкости. При малых деформациях относительное изменение объема *) пропорционально давлению: Л> р р — у; (И.
51) *) Сумма диагональных компонент тензора деформации равна и„„+ паа + + и» = Л)>/У. При всестороннем сжатии и„„= и„> = и„> = О. где х — сжимаемость, а обратная величина К = 1/х —. модуль всестороннего сжатия. 4. Рассмотрим еще деформацию чистого сдвига в одном направлении, как показано на рис. И.29. При чистом сдвиге тело только меняет свою форму, но не меняет объема. В примере, показанном на рис. И.29, отлично от нуля только одно касательное напряжение о„,. Все. остальные компоненты тенаора напряжений равны нулю. По закону Тука угол сдвига пропорционален скалывающему усилию т (на единицу площади), 573 СТАТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА которое равно напряжению О„,: 9 1и9=- — = — "-'— (Н.52) где С вЂ моду сдвига.
Как известно (см. [28[), произвольную деформацию можно представить в виде суммы сдвиговых деформаций и всестороннего сжатия (расширения). Благодаря такой внутренней связи деформаций одностороннего сжатия стержня и элементарных деформаций всестороннего сжатия и сдвига четыре характеристики материала Е, О, К, 6 не независимы, а связаны между собою двумя соотношениями. Можно показать (см., например [28]), что я и обратно, К К = 2(1+с))- К=в(1 — 2о) ) (11.54) Так, закон Гука для односторонней деформации стержня, зажатого с боков (11.48), можно записать через модули К и 6 в виде (11.55) Рис. 11.30.
И вопросу о недизгскальности теизора напряжения. Для ориентации в численных значениях параметров материала укажем, что для желоза (обработанного с 1% углерода) Е 2,1 ° 10' кГ/см', С 0,82 10' ЕГ)смз, К-1,61 10' ЕГ[смз, О-0,28. е) Из формулы видно, что о ~ 1/2, так как К ) О. При всестороннем ся>атии или растяжении тела в любой системе координат тензор напряжения диагонален, и все три компоненты его одинаковы. При прочих деформациях тензор напряжения диагонален и касательные напряжения отсутствуют лигпь в некоторых специально выбранных системах координат. Примером тому служат рассмотренные вылив деформации с>патия стержня: свободного и зажатого сбоку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
