Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 140
Текст из файла (страница 140)
В области многократной ионизации газов т — 1,5 — 2,5. При степеннбм законе (10.12) коэффициент лучистой теплопроводности также представляется степеннбй функцией: к= ",'А Т =ВТ., п= +3, (10.13) причем показатель и — 4,5 — 5,5 в области многократной ионизацни. В том приближении, в котором теплоемкость газа считается постоянной, приходим к уравнению (10.10) с коэффициентом лучистой температуро- проводности, равным 'К= = — ТлпТ ° и а осу сну Уравнение нелинейной теплопроводности имеет вид — = а Йч (Т" ягаб Т) + д.
дТ (10. 14) (10.15) Обычно при высоких температурах в области многократной ионязации удельные теплоемкость и внутреннюю энергию газа можно аппроксимировать степеннйми функциями температуры: е=пТл+' су= — =(к+1) ПТл, дТ где а — константа, а й — величина, равная примерно 0,5 (см. 16 гл. П1). При степеннбм законе теплоемкости уравнение теплопроводности также можно привести к виду (10.15). Введем вместо температуры в качестве неизвестной функции внутреннюю энергию единицы объема ! Т=( '- ')'"' Е = циТл»', Получим д1 ==а'61ч(Е" ягабЕ)+д', (10.16) где а — й в и Л+1 а и-~- 11 =РР (л+ и -)л+' «0.1» Уравнение (10.16) не отличается от уравнения (10.15), совпадают и их решения.
Чтобы перейти от решения уравнения (10.15) Т = =Т(х, у, г, 1) для какой-нибудь конкретной задачи к решению уравнения (10.16) Е = Е (х, у, г, 1) для той же аадачи, следует только При лучистой теплопроводности нагревается и охлаждается вещество, а переносчиком энергии служит излучение, которое играет роль «посредника». Поэтому коэффициент лучистой температуропроводиости не просто равен коэффициенту диффузии излучения 1с/3, но пропорционален еще и отношению теплоемкостей излучения и веществаа Во многих случаях длину пробега квантов 1 приближенно можно считать степеннбй функцией температуры (плотность среды считаем .постоянной): 510 тепловыв волны заменить константы а и п на а' и и', а также заменить функцию источника о на о' =И'=дуст. Заметим, что при и =5 и й = 0,5 и'= 3.
В дальнейшем для удобства сопоставления выводов теорий нелинейной и линейной теплопроводностей мы будем исходить иа уравнения (10.15) для температуры. При этом будем иметь в виду, что найденное решение любой конкретной задачи можно сразу же записать и для случая степеннбй зависимости теплоемкости от температуры. Помимо лучистой теплопроводности, которая представляет наибольший интерес, существует еще один пример нелинейной теплопроводности. Это — электронная теплопроводность в плазме, о которой шла речь в $ 12 гл.
У11. (Ионная теплопроводность плазмы также сильно зависит от температуры, но она играет значительно меньшую роль, чем электронная.) Коэффициент электронной температуропроводпости у, Т,'/'. Интересно, что нелинейным уравнением теплопроводности типа (10.15) описывается совершенно иной процесс, а именно движение поли- тропического газа (давление и плотность которого связаны уравнением р = сопз1 д") в пористой среде. Плотность газа д удовлетворяет уравнению: — ~= Ьй1ч(о" агабд), где и — покааатель политропы, а Ь вЂ” константа, которая определяется пористостью и провицаемостью среды и свойствами фильтрующегося газа.
Конкретным задачам нелинейной теплопроводности соответствуют такие же задачи теории фильтрации. Процессы нелинейной теплопроводности впервые рассматривались Я. Б. Зельдовичем и А. С. Компанейцем (1), которые, в частности, нашли точное решение аадачи о распространении тепла от мгновенного плоского источника. Соответствующие вопросы теории фильтрации независимо исследовал Г. И.
Баренблатт (2). Он получил то яге самое решение для случая мгновенного сосредоточенного источника, а также решил ряд других конкретных задач. $ 3. Особенности распространения тепла при линейной и нелинейной теплопроводностях дт д ат дГ дх ~ дх (10.18) причем распределение температуры в пространстве подчиняется условию сохранения энергии (10.19) Основные черты процесса нелинейной теплопроводности и особенности, отличающие его от процесса линейной теплопроводности, лучше всего выяснить на примере задачи о распространении в неограниченной первоначально холодной среде тепла от мгновенного плоского источнийа энергии. Пусть в начальный момент 1 = 0 в плоскости к = 0 выделилась энергия 3 на 1 сма поверхности ф в дрг/сж').
В последующие моменты тепло растекается в обе' стороны от плоскости х = О. Уравнение теплопроводности (10.10) для рассматриваемой задачи имеет вид 6 33 РАспРОстРАнение теплА пРи РАзличных теплопРОВОДностях 511 Величина ~ равна Ж/Оср, если процесс происходит при постоянном давлении, и и/Осг — если постоянен удельный объем. В данном случае два уравнения, (10.18) и (10.19), эквивалентны одному уравнению теплопроводиости (10.10) с дельтообраэным источником (как по времени, так и по координате): о(х, Г) =1/б(х) 6(8).
В начальный момент 1 = 0 температуру среды считаем тождественно равной нулю везде, кроме точки, где произошло энерговыделение: Т (х, 0) = Я (х). Решение поставленной задачи в случае линейной теплопроводностн 11 = сопзФ хорошо известно. Оно дается выражением Т ~ е 4хс (10.20) 1~ Алтт Характерное свойство линейной теплопроводности состоит в';том, что тепло сосредоточено в точке энерговыделения только в начальный момент ~ = 0 (при х = 0 Т -э- со как Гч1).
В последующие моменты времени тепло г мгновенно распространяется на все Р пространство и температура стремится к нулю на бесконечности, при х-» ~ со, лишь асимптотически. Основ- в ное количество энергии сосредоточено в области с размерами порядка х ° )/ 41(1, которая растет с течением г"' времени пропорционально )/ 1. Соответственно, как 1/)/Упадает и температура, так что полное количество тепла, Рвс.
ТОЛ. Распространение тепла от пропорциональное ') Т ох Тх мгновенного плоского источника'врв лвневной тенлолроводвостн. —.)/ г 1, остается постоянным. Рас)/ г пределение температуры в последовательные моменты времени показаны на рис, 10.1. Асимптотическнй характер убывания температуры на бесконечности и мгновенность распространения тепла на' неограниченное расстояние в рамках теплопроводностной теории связано с конечностью коэффициента теплопроводности при нулевой температуре. Практически, конечно, на большое расстояние к данному моменту времени проникает лишь ничтожно малое количество тепла; закон спадания температуры на бесконечности крайне резкий, гауссов; однако в принципе на любом, сколь угодно большом, но конечном расстоннин от источника повышение температуры сразу же после момента энерговыделения отлично от нуля.
Следует заметить, что гауссов закон спадания температуры на бесконечности связан с приближенным описанием распространения тепла в рамках теплопроводностной теории. В действительности на больших расстояниях температура определяется не днффузней»горячих» молекул из нагретой области (в газе), а прямыми, «прострельными» молекулами, попадающими из нагретой области на большие расстояния, не испытав при этом ни одного соударенин. Повтому на самом деле на бесконечности закон спадания температуры не гауссов (10.20), а только 512 1гл. х ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ экспоненциальный, Т вЂ” е-*л, где 1, — длина пробега молекулы.
Ясно, что при любом предъэнспоненциальном множителе на данный момент времени простая экспонента ехр ( — хП,) в конце концов станет больше, чем гауссова экспонента ехр ( — х'/4уг) (т = 1ео!3). Однако в этой области на больших расстояниях заключается столь ничтожное количество тепла, что рассмотрение ее не представляет никакого интереса. Проверим предположение о возможности пренебречь движением вещества. Если среда газовая, от места энерговыделения (в данном случае от плоскости х = О) распространяется волна сжатия (или ударная волна). Скорость ее распространения по невозмущенному веществу порядка скорости звука в нагретой области, т. е.
порядка тепловой скорости нагретых молекул о. Скорость распространения тепла путем теплопроводности т. е. Нак толькотепло распространится на расстояние, большее среднего проРяс. 10.2. Распространение текле- бега молекул, скорость теплопроводвой волны ет мгновенного плоского постная станет меньше скорости гидисточника. родинамической. Поскольку вообще нет смысла рассматривать расстояния, меньшие пробега молекул, постольку можно считать, что тепло распространяется всегда с дозвуковойскоростью.
Если количество выделившейся энергии невелико, волна сжатия слабая, скорость вещества мала по сравнению со скоростью звука. Можно считать, как это и было отмечено с самого начала, что роль гидродннамики сводится просто к выравниванию давления, и процесс распространения тепла идет при постоянном давлении. Если же энерговыделение велико и волна сжатия, уйдя на значительное расстояние от места энерговыделения, является ударной, то мы имеем дело с чисто гидродинамическим процессом сильного взрыва, который рассматривался в $ 25 гл. 1; роль теплопроводности вещества в распространении энергии оказывается несущественной. Пусть теперь коэффициент теплопроводности зависит от температуры, причем он уменьшается с падением температуры и обращается в нуль при нулевой температуре, как это имеет место при лучистой теплопроводности.
В атом случае тепло не может мгновенно проникнуть на сколь угодно большие расстояния, а распространяется от источника с конечной скоростью таким образом, что существует четкая граница, отделяющая нагретую область от холодной, до которой еще не дошло тепловое возмущение. Тепло распространяется от источника в виде волны, фронтом которой является указанная граничная поверхность. Такую волну называют тепловой. Распределение температуры в тепловой волне в последовательные моменты времени схематически показано на рис. 10.2, В холодной невозмущенной среде температура и поток тепла равны нулю, поскольку обращается в нуль коэффициент теплопроводности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
