Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 141
Текст из файла (страница 141)
В силу непрерывности поток на фронте волны также обращается в нуль, При линейной теплопроводности, когда и = сопзФ, обращение в нуль потока тепла может быть связано только с исчезновением градиента температуры. При нелинейной теплопроводности с коэффициентом, убы- 31 РАспРОстРАнение теплА пРн РАзли"1ных теплопговодностях 513 вающим до нуля при Т -и О, поток может исчезать и при отличном от нуля градиенте температуры, только за счет обращения в нуль коэффициента теплопроводности. С этим обстоятельством, в частности, и связано возникновение резкого фронта тепловой волны.
Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим слой вблизи фронта волны. Если ограничиться неболыпими временами, в течение которых волна распространяется на расстояния, малые по сравнению с размером области, охваченной волной, т. е. с координатой фронта хф (см. рис. 10.2), то в течение такого времени скорость фронта можно приближенно считать постоянной.
Распределение температуры вблизи фронта можно искать в виде стационарной волны Т =- Т (х — РГ), где г — скорость фронта. Профиль температуры вблизи фронта квазистационарен в системе координат, связанной с фронтом. Подставляя в уравнение (10.18) решение в виде Т =- Т (х — из), получим для профиля температуры вблизи фронта уравнение Х дТ д дТ дх ди дй (10.21) Полагая з1 =: аТ" (в ) 0) и интегрируя дважды это уравнение с гранич- ным условием Т == 0 при х = хф, получим профиль температуры: ! Пв 1и Т= ~- — ~хф — х~ ~~ (10. 22) Он и показан схематически иа рис.
10.2. Координата фронта хф и скорость фронта г = — в этой формуле двф де представляют собой неопределенные функции времени. Они находятся путем реп1ения полной задачи для всего пространства. То, что температура обращается в нуль по закону (10.22), подтверждает и справедливость утвериедения о существовании резкой границы прогретой области — фронта тепловой волны.
Если показатель и -. О, коэффициент температуропроводности т не обращается в нуль при Т = 0 и уравнение (10.21) не имеет решений, обращающихся в нуль на конечном расстоянии, что и соответствует мгновенному характеру распространения тепла на сколь угодно большие расстояния. Из формулы (10.22) следует, что градиент температуры вблизи фронта 1 ,— — 1 тепловой волны 11Т/ох ~ хф — х» в Если п ) 1, градиент температуры на фронте (при х = хф) обращается в бесконечность — фронт крутой. Если и ( 1, (озТ/озх)„= О. "ф1 Поток же всегда равен нулю при х = хф. Я ТийТ/йх ~хф — х~"-+ 0 при п)0.
В з 12 и 17 гл. У11 при рассмотрении структуры фронта ударной волны с учетом электронной и лучистой теплопроводностей было показано, как перед скачком уплотнения, который распространяется по газу, вырывается «язык» прогрева за счет теплопроводности. Профиль температуры перед скачком описывается формулой (10.22) (если движением газа перед скачком можно пренебречь), причем скорость г. представляет собой скорость движения фронта ударной волны.
Профиль имеет вид, показанный на рис. 10.3, а. «Язык» вырывается на вполне определенное, конечное расстояние /Ах = хф — х, (рве. 10.3, а), которое ЗЗ Я, Б. Зеиьдавич, ю. и. Раваеэ 514 ткиловык волны !гл. х зависит от температуры на скачке уплотнения Т, 1 Т, = ~ — Лх 1, Лх па — ' =- - — = - - . х(тй а ' ла но ло В случае линейной теплопроводности у =- сопя«, «язык» прогрева простирается до бесконечности, хотя аффективная ширина его конечна и постоянна (ггри постоянной скорости движения ударной волны). Рентенне уравнения (10.21) прн т =- сопз1 имеет в этом случае вид а'-":1 Т = Т,е мт', Лх' = -Х Профиль температуры в прогрсвном слое показан на рис.
10.3, б. Как уже отмечалосьа температура обращается в нуль только на бесконечности. При молекулярной теплопроводности закон спадания температуры иа бесконечности за счет «прострельных» молекул отличается от того, который диктуется теплонроводиостной теорией, не принимающей во внимание движение отдельных молекул. т Подобно атому и при переносе тепла $ излучением профиль тепловой волны а) вблизи границы имеет вид (10.22) толь- ! ко в рамках приближения лучистой х д х теплонроводностн.
Если учесть суще- ~/ ствование <прострельных» квантов, т, е. неравновесность излучения на передл) нем краю волны, мы придем к экспо! ненцяальному закону спадания темпе- ратуры на переднемкраю тепловой вол- ~/ ны: Т е- тт, где 1 — длина пробега Ркс. $0.3. теплавровадкостнмй яра- излучения. Этот эффект был подробно гРев певец скачком УплотнениЯ: изучен в разделе 3 гл. р'11 прн а) при нелинейной теплопровапности; «1 при линезнон теплоправолности. ' рассмотрении СтруктурЫ фрОнта удар- ной воляы с учетом переноса излучения. До сих пор мы рассматривали распространение тепла в среде с нулевой начальной температурой. Если Т, чь О, то коэффициент нелинейной теплопроводности в невозмущенном веществе конечен и закон спадания температуры отличен от (10.
22); однако практически при небольших начальныхх температурах коэффициент лучистой теплопроводности при Т = Т„ столь мал, что этим эффектом можно пренебречь. Гораздо существеннее отмеченная выше неравновесность излучения на переднем краю тепловой волны, которая приводит к зкспоненциальному спаду температуры Т е "д вместо степенного закона (10.22). Отметим еще одно существенное отличие нелинейной теплопроводности от линейной.
В линейном случае имеет место принцип суперпознцин. Если имеется совокупность источников энергии. тепло от каждого из яих растекается совершенно независимым образом. Решение уравнения теплонроводности при наличии протяженных источников можно представить в виде интеграла «по источникам» от решений, соответствующих сосредоточенным источникам. При нелинейной тенлопроводности принцип супер- позиции несправедлив. Распространение тепла от одного источника зависит от температуры, до которой нагреется среда, за счет теплового возмущения, идущего от другого источника. В общем случае протяженных источников решение нельзя представить в виде интеграла по источникам.
1 1) твплОВАЯ ВОлнА От мгновкнного плоского псточникА 518 4 4. Закон распространения тепловой волны от мгновенного плоского источника заменяя на —, немедленно придем к тем же самым закономерностям. ХТ ха Обратимся теперь к случаю распространения нелинейной тепловой волны. Для коэффициента температуропроводностн примем степенную зависимость Х .— аТ", при которой уравнение теплопроводностн имеет вид дТ д „ дТ вЂ” =а — Т" — — —. д1 дх дх (10.23) Другой единсттолько фронта В уравнение входит единственный параметр а см'/сев.
град". размерный параметр — это ~) град см. Из них можно составить венную (независимую) размерную комбинацию, содержащую длину и время: а/У'схга+2 сев-1. Отсюда следует закон движения тепловой волны: 1 1 1 да/ хдз ( ()а)а-, 2 Ха+2 Скорость распространения тепловой волны порядка ! ! дхв а а+2 й.~-2 хФ а0" — — (а()а) д1 а+1 Ф Закон распространения тепла от источника легко получить и без точного решения уравнения путем оценки порядка величины характерного размера нагретой области, либо же из размерностных соображений.
Задачи о распространении тепла от мгновенного сосредоточенного источника (плоского, точечного, нитевого) регнаются точно (см. ниже). Однако подобные полукачественные оценки делают весьма наглядным фнзкческвй смысл закономерностей н, кроме того, часто бывают полезными прн рассмотрении более сложных задач, для которых точные решения найти не удается. Рассмотрим распространение тепла от плоского мгновенного источника. Результаты для случая линейной теплопроводности были уже изложены в предыдущем пара~рафе, где приводилось точное решение задачи. Для того чтобы продемонстрировать общий ход полукачественных рассуждений, мы повторим эти результаты снова.
Пусть коэффициент теплопроводности постоянен. В уравнение (10.18) входит один-единственный параметр — коэффициент температуропроводности Х ома/сев. Другим размерным параметром является энергия на 1 сага: б эргlедаа поверхности или же величина О град см. Если х — ширина области, в которой сосредоточено основное количество тепла к моменту Г, то из соображений размерности I' дх ясно, что х' ХС х ( 'ХГ. Скорость распространения тепла д1 — — Средняя температура в нагретои области порядка Х Х 1 Т вЂ” —,. Зги простые результаты, которые совпадают по порядку 0 0 )' Х1 величины с тем, что дает точное решение задачи (10.20), можно получить и непосредственно из уравнения (10.18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
