Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 137
Текст из файла (страница 137)
Ясно, что в слабой волне поток излучения с фронта Яз, заключенный в интервале оТ, ') о', ) оТ~ определен довольно точно *) Прп этом, однако, несмотря на близость Тс к Тм предполагается, что температурная эаэяснмость длины пробега ((Т) настолько резкая, что ( (Тс) ь ( (Тз). Последнее является условием самого существования эолам охяаждэняя. Уравнения переноса излучения вместе с уравнением энергии и граничными условиями полностью определяют структуру фронта волны, поток Яз и скорость и. » 443 ПОТОК ИЗЛУЧЕНИЯ С ПОВЕРХНОСТИ ФРОНТА ВОЛНЫ 499 в силу блиаости крайних значений, поэтому вопрос о потоке, являющийся главным, фактически не возникает: Яз ОТ, 4ж ОТ«. Аналитическое решение для слабой волны можно найти в работе [16); здесь мы на ием останавливаться не будем и перейдем прямо к рассмотрению сильной волны охлаждения.
В предыдущем параграфе было указано, что для нахо.кдения стационарного режима необходимо воспользоваться одним из двух приемов: либо ввести в энергетическое уравнение постоянный член адиабатического охлаждения, либо с самого начала определить температуру прозрачности Тю и считать, что при Т ( Т, газ абсолютно проарачен (1 = оэ), тем самым исключив из рассмотрения уже охлажденную иалучением область, которая поглощает свет очень слабо. Первый прием дает более полную картину распределения температуры, так как позволяет исследовать ход температуры в охлажденном воздухе и учесть слабое поглощение в нем. Однако он приводит к излишним математическим усложнениям при рассмотрении профиля температуры внутри самой волны (при температурах выше температуры прозрачности) и определении потока, уходящего с фронта волны на бесконечность. Между тем внутри волны адиабатическое охлаждение малб по сравнению с охлаждением за счет излучения, поэтому предпочтительнее исследовать внутреннюю структуру волны, воспользовавшись вторым приемом.
В $ 16 будут отмечены некоторые особенности режима, связанные с существованием адиабатического охлаждения. В отсутствие адиабатического охлаждения интеграл энергетического уравнения дается формулой (9.12), которую мы перепишем, полагая для простоты теплоемкость постоянной: Я нд,ср (Т, — Т). (9.19) Задача состоит в решении системы уравнений (9.15), (9.16), (9.19) вместе с граничными условиями (9.17), (9 18). Прежде чем исследовать зту систему, попытаемся оценить поток излучения Я„уходящий с фронта, исходя из самых общих физических соображений. Это рассмотрение подскажет нам и то приближение, которое можно сделать при решении системы уравнений и нахождении профиля температуры в волне.
В силу самой постановки задачи температура ни в одной точке волны не может быть ниже температуры прозрачности Т„так как, охлздившись до температуры Тю газ перестает поглощать и испускать излучение, и дальнейшее охлаждение прекращается. Следовательно, Т, есть наименьшая температура в волне и вблизи нижнего края волны температура растет по мере удаления от границы с «вакуумом» вЂ” с абсолютно прозрачной областью, где Т = Т» и 1 = оо. Таким образом, на нижнем «» краю при т = Π— > О.
Из энергетического уравнения (9.19) следует, что поток при удалении от нижнего края в глубь волны уменьшается, т. е. при т = О «(ЯЯТ ( О. Уравнение «непрерывности» излучения (9.15) свидетельствует о том, что при этом плотность излучения на нижнем 4аТ« краю волны не выше равповеснои 4'г ~( Ург = — (дивергенция потока 4(Я/пх не отрицательна; вещество не нагревается излучением). В диффузионном приближении поток на гравице среды с вакуумом связан с плотностью излучения условием (9.18): Я« = сО»/2.
Замечая, что Уз < Ор», 32* 800 1ГЛ. 1Х сВВТОВыв яВляния В удАРных ВОлнАх получим, что поток Яз ограничен сверху величиной 2ОТ,'. Действительно, С другой стороны, эффективная температура иалучения Т,э, определяемая равенством Яз = ОТ,'Э, совпадает с некоторой средней температурой излучающего слоя и, следовательно, не может быть ниже Тю так как температура вещества в излучающем слое, как и в любой другой точке волны, всегда вьлпе, чем Тз. Отсюда следует, что Яэ => ОТ,', и поток Яю уходящий с фронта волны на бесконечность, оказывается заключенным в весьма узких пределах: ОТ; < Я~ < 2ОТ,', (9.20) Т,«Т р(у'2Тз. (9.21) Таким образом, независимо от амплитуды волны, при сколь угодно высоких начальных температурах Т, излучает всегда самый нижний край волны, и поток излучения с поверхности фронта волны соответствует температуре, близкой к Т,. Ни в коем случае не следует думать, что здесь сыграло какую-то роль принятое нами для описания переноса излучения диффузионное приближение, приводящее к граничному условию (9.18).
В самом деле, диффузионное условие (9.18) соответствует предположению о том, что кванты, выходящие из среды в вакуум, распределены по углам изотропно, а 'из вакуума в среду кванты не поступают (в вакууме нет источников света). Даже если бы мы приняли другое крайнее предположение о том, что имеется резко выраженная анизотропия излучения на границе с вакуумом и все кванты выходят из среды нормально к ее поверхности, диффузионное условие (9.18) сменилось бы условием Юз = СГю что привело бы к неравенствам ОТ,' ( Яз ( 4ОТ„'Тз ( Т Э ( р'4Т„отличающимся от (9.20), (9.21) несущественным численным множителем. В действительности ограничение потока Яэ ( 2ОТ, 'связано со стациопарпостью режима охлаждения, в силу которой профиль температуры, полностью определяющий поток, не может быть произвольным и устанавливается вполне определенным образом в соответствии с уравнениями режима.
Из неравенства (9.21) вытекает важное следствие, которое позволяет решить всю задачу о структуре фронта, описываемую нелинейными уравнениями, простейшим способом. Излучение нагретого тела, граничащего с прозрачной средой (или вакуумом), генерируется в основном в слое около поверхности тела, имеющем оптическую толщину порядка единицы или нескольких единиц (кванты, рожденные в более глубоких слоях, не в состоянии выйти наружу, почти полностью поглощаясь по пути). Эффективная температура излучения совпадает с некоторой средней температурой этого излучающего слоя. Но в силу неравенства (9.21) аффективная температура очень близка к температуре нижнего края волны Т,.
Значит, температура вещества за точкой т = О, где Т = Т, меняется очень мало на оптическом расстоянии порядка нескольких единиц в глубь волны. Это поаволяет сделать следующие заключения. В сильной волне охлаждения, в которой Т~ Ъ Тю поток излучения на нижнем краю волны, в излучающем слое, мало меняется и почти постоянен.
В самом деле, при изменении температуры на ЬТ = Т, поток меняется на величину ( ЛЯ) ий,срйТ ~ ий,срТз, $153 РАспределение темпеРАТРРы ВО ФРОнте сильнОЙ ВОлны 501 а при Т, » Тг сам поток в точке т = О, Т = Тг равен приближенно 8г зи ж иа,срТ, (см. (9.19)). Следовательно, 1д~! Уг << 1 лг Поскольку поток на нижнем краю сильной волны почти постоянен, ситуация вполне аналогична полохсению в фотосферах стационарных звезд, где поток излучения есть строго постоянная величина. Таким образом, задача определения связи потока Яг с температурой прозрачности Т, (температурой на границе среды с вакуумом) в пределе сильной волны зквивалентна известной проблеме Милна (см.
у 15 гл. 11). Она имеет точное решение при строгом учете углового распределения излучения с ' ~Т4 рг3 (9.22) лишь немного отличающееся от решения в диффузионном приблнхсении: Яг = 2ОТ,'. (9.23) Отсюда, кстати скааать, видно, что в рамках диффузионного приближения величина потока Ог в пределе сильной волны совпадает с верхней границей неравенства (9.20). й 15. Распределение температуры во фронте сильной волны Тот факт, что температура мало меняется на протяжении излучающего слоя с оптической толщиной порядка нескольких единиц, свидетельствует о существовании локального равновесия излучения с веществом.
Относительное отклонение плотности излучения на нижнем краю волны от равновесной тем меньше, чем сильнее волна, т. е. чем больше отношение Т,~Тг. Действительно, из уравнения (9.15) следует, что Но в силу сказанного выше |ю ~ !дю~ тг тг — ~~ — — ~ Я вЂ” = 20Т' — —, ет~гдтгу1зТ1 так как ~ДО'~ ЯгТ,~Т, есть изменение потока на пРотЯжении оптического расстояния Дт — 1.
Следовательно, относительное отклонение плотности излучения от равновесной в сильной волне тг т — — — — — « 1. и ю у т Можно показать, что при удалении в глубь волны от ее нижнего края относительное отклонение, т. е. степень неравновесности излучения, только уменьшается, так что если волна достаточно сильная и отклонение на нижнем краю мало, то условие локального равновесия выполняется на всем протяжении волны*). Таким образом, уравнения, описывающие структуру фронта сильной волны охлаждения, можно решать *) Это доказывает, между прочим, что в случае сильной волны в качестве длввм пробега излучения мсжис пользоваться рссселзидсиым средним. 502 <гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
