Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 138
Текст из файла (страница 138)
тх сВетоВые яВления В удАРных ВолнАх в приближении лучистой тенлопроводности, полагая 16аТа ВТ Ю- — — =- — — . 3 4т 3 от Комбинируя это уравнение с выражением (9.19)„получим уравнение для функции Т(т), которое интегрируется в квадратурах. На нижнем краю волны получаем приближенную форму решения, которая, естественно, совпадает с диффузионным решением проблемы Милна, так как поток о жсопзС (см.
9 15 гл. Н): Т=тз(1+ — ) . (9.24) Аснмптотический профиль температуры на верхнем краю сильной волны имеет вид Т=Т,(1 — е а), т )) т„, (9.25) где величина т„, которая может рассматриваться как эффективная оптическая толщина волны, зависит только от амплитуды волны: Оптическая толщина волны реако возрастает с увеличением отношения Т,(Тз. Мьт не будем приводить здесь общего выражения для профиля Т'К гта' 03 и' г 7 а йз 43 йс" О/ Рис. 9.19. Распределение температуры по геометрической коордивате ва нижнем краю волвы охлаждевия; Тт = =10 000' К.
Рис. 9Л8. Распределевие температуры по оптической координате в волне охлаждепия с Тз)Т, = 5; та = 1670. Т (т), которое на нижнем и верхнем краях упрощается, приобретая формы (9.24) и (9.25) (см. [17)), а изобразим профиль температуры на графике. Рис. 9.18 относится к случаю Т,)Тз = 5, та = 1670. Зная профиль Т (т) и длину пробега в зависимости от температуры, легко найти распределение температуры по геометрической координате с помощью определения — л = ~ 1(Т) Ж ч). с *) Поскольку иа самом деле 1 (Тз) Ф со, температура иа иижиеи краю стремится к величиве Тс ие асвмптотически, а с отличвым от нуля иаклоиои.
Поэтому начало коордиват а = 0 можно поместить в точку, где т = О, Т = Те. $ !БА учит АдиАВАтического ОхлАждкния На рис. 9.19 представлено распределение температуры Т (х) на нижнем краю волны для случая больцмановской зависимости 1 (Т) = = сопз1 ехр ~1(ИТ). В качестве масштаба длины принята величина 1з = 1 (Тз); температура прозрачности взята равной Т, = 10 000' К. Рис. 9Л9 показывает, что волна имеет вид уступа. На самом деле больцмановская зависимость 1 (Т), обеспечивающая резкий уступ температуры в волне, имеет место только до температур 30 000 — 40 000' К, пока не начинается многократная ионизация газа. При более высоких температурах длина пробега проходит через минимум и начинает расти с возрастанием температуры.
Поэтому верхний край достаточно сильной волны с Т1 50 000 †1 000' К сильно растягивается (при 1 = сопз1 профиль Т (х) на верхнем краю совпадал бы с профилем Т (т)) по формуле (9.25). Примерное распределение тем- Т, пературы в волне с Т, = 40 000' К показано на рис. 9.20.
Вели отвлечься от растянутости верхнего ~н~ в.йо Рофнль темпера- туры в волне охлаждения. края волны, которая несущестненно сказывается на режиме охлаждения воздуха (так как поток и дивергенция потока, определяющая охлаждение на верхнем краю, очень малы), то геометрическая ширина уступа составит, как видно из рис. 9.19, несколько десятых долей длины пробега 1 (Тт).
При Тт 10 000' К и (Б 10 м ширина волны оказывается порядка нескольких метров, т. е. волна охлаждения, распространяющаяся по большому объему воздуха радиусом в сотню метров, действительно узкая и может рассматриваться как разрыв температуры и плотности вещества (но не давления, которое меняется мало на протяжении волны). $16. Учет адиабатического охлаждения В предыдущих параграфах путем искусственного обрезания поглощения при температуре прозрачности Т, (1 = оо при Т < Тз) была исключена из рассмотрения область охлажденного воздуха с температурами ниже температуры прозрачности. В действительности в этой области поглощение хотя и малб, но все яте конечно, поэтому естественно поинтересоваться тем, как ведет себя температура в зоне охлажденного газа и что происходит с потоком излучения, выходящим с фронта волны.
Процесс в атой области является существенно нестацнонарным, он зависит от конкретных условий: размеров, гидродинамического движения, механизмов поглощения света. Мы рассмотрим здесь тот практически важный случай, когда волна охлаждения распространяется не по неподвижному, а по расширяющемуся воздуху, и воздух, охлажденный излучением, продолжает охлаждаться адиабатически.
Лдиабатическое охлаятдение быстро выводит воздух в температурную зону полной проарачности, которая уже не оказывает никакого влияния на режим волны охлаждения. На протяжении сравнительно небольшого времени, пока адиабатически охлаждающийся воздух еще сколько-нибудь заметно поглощает свет, скорость аднабатического охлаждения меняется мало. Поэтому процесс с адиабатическим охлаждением приближенно можно считать стационарным и описывать его энергетическим уравнением (9.10) с постоянным членом А.
Интеграл этого уравнения: ий,срТ+ Ю = — Ах+ сопзФ. (9.26 504 1гл. <х ОВетОВые яВления В гдАгных ВОлнАх Константа интегрирования здесь проиавольна, так кан она определяется просто выбором начала отсчета координаты х; ее можно полон<ить равной нулю. На верхнем краю волны при х-э. — оо поток О' -р О. Может показаться, что это искусственно налагаемое условие противоречит факту существования градиента температуры, связанного с наличием адиабатического охлаждения. Однако предполагается, что длина пробега 1(Т) столь быстро убывает с ростом тем< и пературы, что Ю вЂ” 1 (Т) Тэ — „- стремится н нулю при Т -~ оо, что физически оправдано, так как поток лучистой теплопроводности изнутри, из зоны горячего воздуха, очень мал. На нижнем краю волны при х -~ + оо поток стремится к постоянной величине оэ — пот, току, уходящему на бесконечность *).
Поэтому температура в волне при х -~ — -<- со асимптотически стремится к хв двум прямым: ий,срТ = — Ах при х — — оэ, ий<срТ = — Ах — Оэ при х — р+ со. Эти прямые сдвинуты по ординате на величину О э (на рис. 9.21 сдвннУты на отРезок 8о/ир<ср). Задача заключаетсЯ в опРеделении этой величины О р. Мы не будем налагать здесь математического решения (см. [17)), ограничимся качественным рассмотрением хода процесса. 8э Проследим за последовательным изменением состояния частицы газа, вступаю- О щей в волну охлаждения, т. е.
будем продвигаться из — со в полол<ительном направлении оси х (рис. 9.21). Сначала, при очень больших температурах, лучистая теплопроводность ничтожна, и части- хэ х ца охлаждается чисто адиабатичесни, тем- р В Рис. 9.22. Распределение потока пеРатУРа ее понижаетсЯ вДоль ВеРхней ива~<ее < в в ляе охавждеяяя прямой. Затем частица начинает все боль- пря учете адвабатаческого охлаше и больше охлаждаться излучением ждевяя. и температура ее спускается ниже верхней прямой. Плотность излучения в частице при этом меньше равновесной (частица испускает света больше, чем поглощает), и поток Излучения в ней растет. В этой стадии скорость лучистого охлаждения значительно больше скорости адиабатического, и температура круто падает (частица проходит через волну охлая<дения). Так продолжается до тех пор, пока частица не охладится до столь низкой температуры, что скорость лучистого теплообмена не станет меньше скорости адиабатического охлаждония.
Вследствие чреввычайно резкого падения поглощения (и испускания) с поник<ением температуры уя<е неболыпое адиабатическое охлая<дение *) Этот ПОТОК, Кан ММ УВВДВМ ВкжЕ, НЕСКОЛЬКО ОтЛЯЧЕВ От ПатОКа 8э, УХОДЯЩЕГО с эффективным образом определенной поверхности фронта волны. « 1«1 УЧБТ АДИАБАТИЧЕСКОГО ОХЛАЖДБНИЯ после этого момента делает частицу совсем прозрачной и лучистый тепло- обмен вовсе прекращается.
При этом плотность излучения, которая определяется потоком, рождающимся в более нагретых слоях и проходящим через частицы, остается почти неизменной. Равновесная же плотность излучения, пропорциональная Т', быстро уменьшается. Поэтому в «прозрачной» области, в отличие от «непрозрачной», плотность излучения больше равновесной, поглощение превышает непускание, и частица нагревается излучением; поток излучения ослабляется, как показано на рис.
9.22"). Следовательно, на оси х существует такая точна х = хг (соответствующие ей температуру и поток обозначим через Т„о»), которая разделяет области «непрозрачного» воздуха, интенсивно охлаждающегося излучением, и почти прозрачного воздуха, слабо нагревающегося излучением. В этой точке плотность излучения в точности равна равновесной (гг = ург дивергенция потока равна нулю и поток максимален ямах =- о г. Естественно эту точку, в которой прекращается охлаждение воздуха излучением, считать нижней границей волны охлаждения, температуру в ней Т, — температурой прозрачности, а поток Яг — потоком, выходящим с поверхности фронта волны. Поглощение этого потока в «прозрачной» зоне невелико, так что па бесконечность уходит поток Яо, лишь немного меньший, чем Юг.
Профили температуры и потока Т (х), Ю (х), отвечающие описанной картине, изображены на рис. 9.21, 9.22. При низких температурах кривая Т (х) стелется ниже нижней асимптотической прямой, приблин«аясь к ней снизу„так как гаа нагревается излучением: максимум потока лежит в точке, где температура сильнее всего отклоняется от прямой вниз (это следует из уравнения (9.26)). Моя«но показать, что поток Лг связан с температурой прозрачности тем же соотношением, что и в волне без адиабатического охлаждения 5«=2оТг. Что касается самой температуры прозрачности, то ее можно оценить из условия, что при температуре, близкой к Т„скорость лучистого охлаждения сравнивается со скоростью адиабатического охлаждения А,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
